九年级总复习“矩形大法”

九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”“矩形大法”学生也要进入期末复习了，我和同事今晚在这里也来交流复习一下“矩形大法”，也是我们这些学生向于特交的一份作业也希望熟悉“矩形大法”的群友，一起和我完成这份作业讲座中肯定有许多不完善的地方，有不妥的地方还请大家多多包涵，也真诚地希望大家提出来，我们一起研讨！还有由于本人不会几何画板，所有的图都不怎么漂亮，大家也就将就点看咯我们主要从三个方面和大家交流：一：“矩形大法”的提出背景二：“矩形大法”的基本构造三：“矩形大法”的实例应用一、矩形大法”的提出背景问题：我们如何刻画一个角大小呢？是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式。但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识。作为南通人，我首先要提的就是南通2014年的28题第三问：不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么？能否在短时间中用传统方法解决？看到两角和差关系这样的条件想到什么？第3页共19页九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”第第3页共19页第第3页共19页本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题，这是由于：(1)他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够解决问题。⑵即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备的能力，从而无法解决原问题。⑶最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法。于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷中的难题位置．那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少时间直接攻破此题了呢！再譬如今年盐城的中考题第3问：(2016-盐城改编)如图，已知机隼)、0(1,0).G(0,3^3)屮⑶连＞CG,如图，P^jAACG內一点，连搖P氐PC.PG,分别以AP、£G为址在他们的左侧作等3&AAPR,等ilAAGQ,连接Q艮②求PA+PC+PG的最小值，芥求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.这题给出的答案也比较复杂，我想学生在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。那么这题究竟如何成功破解呢？而类似这样的问题不管小题，大题，其实在中考中是比较多的。现在的问题是，有些题目构思非常巧妙，但采用“因果确定法”思考，面临的困难就是：已知两个角的大小(边长刻画)，最后只有在解决了这两个角的和或差的问题后，才能真正解决原问题。那么有没有既遵从原始的“因果确定法”的思考方法，又付出代价不大，同时还易于操作的解法呢？也即如何做到“想有背景，解不超纲”呢？这就让人开始思考从比值刻画一个角的大小，就得出现一个包含这个锐角的直角三角形。那么两个角呢?就必须出现两个直角三角形。最后还要有两个角的和或差的大小的比值刻画，即出现了第三个角，又必须出现一个含有这个和角或差角的直角三角形。这样就需要三个直角三角形，那么怎样才能沟通彼此联系呢？在平时的基本构图模型中有吗？在这些想法的基础上，朦朦胧胧地继续探求构造，最后终于产生了那个精妙绝伦的矩形——一下子全部满足了要求！为了在网络上交流，既有一定的趣味性，又揭示方法的本质，于特将其取名为“矩形大法”。我们在课堂上有时为了表述的方便或激发学生的学习兴趣和积极性，也可以一起命些名称，不必太过计较说法，我的课堂里还有个“晨博公式”呢！（晨博是我现在的一个学生名字）二、“矩形大法”的基本构造下面我们以75°，15°这两个特殊角为例聊聊矩形的构造我们可以通过30°与15°的倍半角关系求出tanl5。的值，通过互余关系求出tan75°的值。那如果利用30°，45°这两角的和差关系又该怎样构图表示出75°与15°的正切值呢？九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”第第3页共19页第第3页共19页酋了有T亍，想到平行萌相等，所以构拒形屮具体操作的时候可以揑如下歩骤：具体操作的时候可以揑如下歩骤：（1）作一个45°甫（山）如图，水平的那条线为第一条绻另—条为二号箜俩个角公共辺）卩（2）在二号线上取点.A向角的外部作垂趺，构造ZAOB=30°（也即以OA为公共辺向+■'外构造一个含獪的直角三角形JXBO）+-1门）过点.包BQ三点分别作坐标轴的垂线，框成一个矩OCDE,有此得到ZEBO=ZBOC=75°BDBD（4）由一线三直毎得到两个阴彫的三角形相伪相愎比天MB和廊的比1=73,不妨辱BD沖h由45°则AD=BD=1,由相愎比知0C=扎C=語,所胡OE=CD=^+1,EB=ED-bD=73-l顺时针标出距形边上各线段的值（如图）得出1aiLZEBO=tJanZBOC=tan7542、15°即45°与30°差的构造B/V5刚才两角和是在一个角的基础上向外“扩张”，现在是两角差，该如何构造呢?口｝昨B/V5刚才两角和是在一个角的基础上向外“扩张”，现在是两角差，该如何构造呢?口｝昨—M5*诸20秤二碎上眾点血向箱的内隸作垂誌，构殖疋豹职知"（颐从0丸边为处我迴囱桶造一4含酬焙的矍培三兔形桶E时⑶过点需ELO三点5鸭惟坐潘的垂绻框馬一管矩醪CICDE、有此構至詔爾就酋15*癲(4)由一线三直弟得碍前个三角彫相似，相似比黄直B和0A的比hJL不塢令EJD为4逆时轻可标出坯形边上各线段茁值(如團》得岀仏艺阳沪七曲=2-75-tana二丄，求tan加"-,|+"-"="-3、已知即构图说明223借用上次纪博士讲座中的图：33一十—=22借用上次纪博士讲座中的图：33一十—=22nI"「特版r2345M?rr-)na+pM5°现在如何用矩形构造呢？【江苏苏晓艺向外作是求和，向里作是求差】总结的好！这里我们可以仿照上面的15°,75°，的构造，得到如下的构图九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”第第3页共19页第第3页共19页构造如图得到矩形■OCDEL,因为由相似知tanZBM)=tanZAOC=-,所毅ED：ADP：2,2不妨令BD=1?则期二比两个三角形的相似比^AB：OA=1：2,所UAAC二2,0C=4.4可得t3nZEBO-1an2(T——3掌握了矩形大法，要解释为什么有：“1/2”+“1/3”=45°,“1/2”+“1/2”=“4/3”等，就显得非常容易了哦！其基本步骤是：构直角，框矩形，用相似，表线段。下面先来几个小题，热下手哦！己知：tan优二2,tan©二!求tan(氐+Q)的值九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”第第3页共19页第第3页共19页2>如圈，点A〔2,4）,ZB=90°,0E二A3,求点E的坐标.E2BO解法一：这里启点.确定，所liU/XO区确走，又"0B确定，于是求点.B就是求ZBOXJPZAOXHZAOB,两角的公共边为0A,所以过点£向內作0A的垂线交0B延长践于点C,过点.扎CQ构矩形ODEF岗知血CVM据点.咼坐标可求出矩形边上各绽段的长，则点C坐标沟（①力，易知点B为0C中点，所段点B坐标为R1）如果是填空或选择的小题，那就可秒了哈九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”第第3页共19页第第3页共19页这里A,B点的坐标是确定的，所IxiZOBA的大小也是确走的，而ZABC的犬小也是确宦的,所以这里就可以看咸求ZOBA-nZABCT,两甫的顶点.齿B,公共辺为昭所以过点岂作AB的垂绕交BC延长线于点D,然后依权过三竝上的点框矩理，（如圏）易知点C為BD的中点，可求得C点坐标為（2+丄卮三+2击）22°*川37T解法二：根据等边三角形的特殊性，作AB边上的高，过垂足构一线三直角框矩形也是比较方便的。本题中求ZODB的正切值的关键是什么呢？本题中求ZODB的正切值，一边OD确定，所以只要确定点B的坐标即可。这题就和上一个小题一样了。这里既可以看成ZOAC+60。角，也可以是ZOCA+60。角的和差关系，可构如下图：九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”由B由B洵CIVI中点可知其坐标術®亦h所以tanZODB=—5、再来个中考小题C0腿：掏這如图所示的矩册OASC,C0腿：掏這如图所示的矩册OASC,砲点尸⑺1>,由此可设点卩(叭亦)(加沁代入求舜得就二ZJ5L囲此p,三血八77这里求出F(7,1)，知tanZF0A=7,P在射线OF上，所以增量巧设P点左标为(7m,m)，将其代入解析式即可。现在我们再回过头来看南通的这道中考题：第3页共19页九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”第第3页共19页第第3页共19页现在看到“ZDAO+ZDPO=Za,”这个条件，有想法了吗?aI’试想我们找到了aI’试想我们找到了P点，由上图可知，这里点.D11,4）,点越丄①韶是确定的，所以tanZmO=2显然是确定的，0的大小显然也是确定的，那么如果求出^DPO的犬小，那么这道题目立刻就“土崩瓦解"了.*229AA根据229AA根据ZDPO=Za-ZDAO现在估计很多朋友在“施法”框矩形了！切我2由图可知taiiZD^OtanZ^-9而DF=4,所以FP=18，所以P点坐标为（19,0）或（-17,0）如果在原图外另构图的话，那是不是分分钟的事情呢!即使我们不向学生介绍这种方法，作为教师掌握了这个“大法”，当学生来问你题时，你能快速地报出答案，那学生岂不对你佩服的五体投地呢！

尸｛-17,尸｛-17,0)9由点D坐标（1,4）不难发现图中隐藏的乙凶就是ZDOX则构图如下；|在原图上就可以如上构图利用平行关系可知ZGDO=ZDOX=tana=4,在ZGDO内部过点O作垂线构造tanZEDO=tanZDAO=2的直角三角形，所以两阴影的三角形的相似比为1:2,贝V可表示出矩形FDGH边上各部分线段长，可得P点坐标为（-17,0）再根据对称性得另一点坐标（19,0）除了这种矩形构造，我们还可以构造更具一般性的矩形。试想我们找到了点Ps刚ZHDA=ZDAO+ZDPO=tanZot=4卍由此拢们可以先构造一牛正切值対4的珀，再构袒形，如图；*本想静静地学习，发现实在不行。黄萍老师是一位优秀的数学老师，其他老师能否静静聆听讲解呢？您上课讲的时候学生也讲，有何效率？有问题能否课后问？得罪了。

/J片/J片4图中tanZHDA=—所以两相似三:角形的相似比＞04:1,依次标出矩影辺上各线段的长，DF=4,AF=2S由相似比得AG=16,GH=8,HE=GF=1S,ED=4,可知D次EF中点,所以易知FF=HE=1汛所LMOFT9.所以F1点坐标为(19』)，由对■称得另一点.F1(-17,0)屮这里由于题中D点的坐标特征，利用tanZD0F=4,命题人存在构思巧妙的方法倘若我们没有发现这一点呢？但这里用“矩形大法”，我们可以无视这个条件譬如把“tanZa=4”改成3也许原先的巧妙构思就不再可以了，而“矩形大法”在此可再显其神威无论怎么变，只要两角的值是确定的，都可以“强行破门”，“直接碾压”.大家可以一试其实只要在上图中改动几个数据即可：图中tanZHDA=3,所以两相似三角形的相似比为3:1,依次标出矩形边上各线段的长就OK了！P(-27,0)或(29,0)7、再来破解今年盐城的这题：九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”九年级总复习“矩形大法”第第3页共19页（2016-盐城）如虱已知复3』卜G（叮語）（3）连接CG,如图，P?gAACG內一点.，连接FA、PC.PG,分别以AP、启G対边，在他们的左侧作等辺扛APR,等边AAGQ,连接QR屮②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点F的坐标.卩由图3易知，Q点坐标齿（-6,玉打），是确定的，点C（1』）也是确定的，所l^ZQCA也是确定的，tanNQC站琴，而ZQCA+ZPAC^Z^SO0,所l<AZPAC也是确定的，这里AC=4是确定的，所也点P是确定乱ZPAMO0-ZQCA,即可构造矩形求出UnZPAC」的值-2⑷心（3）d47573厂由附求出论P込石二亍在摯中，不妨设呻注口叭H沁AH=l.mJ所处皿+4加飞卩的坐标犬（-寻呼），叫申肌最小值証亦第3页共19页打&（2016^厂西贵港市）如图，抛物线-5打&（2016^厂西贵港市）如图，抛物线-5&工⑴与瓦轴交于点也（-5,0）和点B（3,0）,与卩轴交于点C.a（1）求该抛物裟的解析式：^=|fr+W-3）^⑵若点.E酋黑轴下方抛物箜上的一动母当誇ABe=S直巩时，求点E的坐标：E（-2.-5>⑶在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P,使ZBAP=ZCAL?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，谙说明理由.屮K328RA2£本题第三间，求点P328RA2£本题第三间，求点P的坐标，