2023学年山东省烟台一中高三第二次联考数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则()A．9 B．5 C．2或9 D．1或52．A． B． C． D．3．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A． B． C． D．4．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种5．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A． B． C． D．6．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（）A．4 B． C． D．7．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()A． B． C． D．8．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．9．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A． B． C． D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．811．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．12．已知集合，，则等于()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．14．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①的值可以为2；②的值可以为；③的值可以为；15．设双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于，两点若，则的离心率为________．16．曲线f(x)=(x2+x)lnx在点(1，f(1))处的切线方程为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求的前100项和．19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.22．（10分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．附表及公式：．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】

根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.【题目详解】由于，所以，又且，故选：B.【答案点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.2、A【答案解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【题目详解】本题正确选项：【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3、D【答案解析】

根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【题目详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【答案点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).4、B【答案解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【题目详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【答案点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.5、C【答案解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【题目详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选：C【答案点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.6、D【答案解析】试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.考点：线性规划.7、C【答案解析】

据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．【题目详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为，集合，，表示的平面区域即为图中的，，根据几何概率的计算公式可得，故选：C．【答案点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．8、A【答案解析】

根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程.【题目详解】因为直线：过双曲线的一个焦点，所以，所以，又和其中一条渐近线平行，所以，所以，，所以双曲线方程为.故选：A.【答案点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、C【答案解析】

由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【题目详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选C.【答案点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10、A【答案解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【题目详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，．故选：A．【答案点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．11、B【答案解析】

由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案.【题目详解】由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称故的最小值为故选：B【答案点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.12、B【答案解析】

解不等式确定集合，然后由补集、并集定义求解．【题目详解】由题意或，∴，．故选：B.【答案点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度．【题目详解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，则该几何体的体积为，，，因此，该棱锥的最长棱的长度为.故答案为：；.【答案点睛】本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．14、②③【答案解析】

根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.【题目详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故所在的直线的倾斜角为，，故：，解得，此时，，此时.故答案为：②③.【答案点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.15、【答案解析】

设直线的方程为，与联立得到A点坐标，由得，，代入可得，即得解.【题目详解】由题意，直线的方程为，与联立得，，由得，，从而，即，从而离心率．故答案为：【答案点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16、【答案解析】

求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程.【题目详解】解：∵，

∴，

则，

又，即切点坐标为（1，0），

则函数在点(1，f(1))处的切线方程为，

即，

故答案为：.【答案点睛】本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【答案解析】

（1）由化为，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到是首项为，公差为的等差数列求解.（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【题目详解】（1）可以化为，，，，又时，数列从开始成等差数列，，代入得是首项为，公差为的等差数列，，.（2）由（1）得，，，两式相减得，，.【答案点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、（1）证明见解析；（2）.【答案解析】

（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．【题目详解】解：（1）由题意知，即，①当时，由①式可得；又时，有，代入①式得，整理得，∴是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∵是各项都为正数，∴，∴，又，∴，则，，即：.∴的前100项和．【答案点睛】本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.19、（1）；（2）【答案解析】

方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式；（2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和.其余两个方案与方案一的解法相近似.【题目详解】解：方案一：（1）∵数列都是等差数列，且，，解得，综上（2）由（1）得：方案二：（1）∵数列都是等差数列，且，解得，.综上，（2）同方案一方案三：（1）∵数列都是等差数列，且.，解得，，.综上，（2）同方案一【答案点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.20、（1）证明见解析（2）【答案解析】

（1）解法一：作的中点，连接，.利用三角形的中位线证得，利用梯形中位线证得，由此证得平面平面，进而证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.（2）利用平面和平面法向量，计算出二面角的余弦值.【题目详解】（1）法一：作的中点，连接，.又为的中点，∴为的中位线，∴，又为的中点，∴为梯形的中位线，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.另解：（法二）∵在长方体中，，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，，，，，，.（1）设平面的一个法向量为，则，令，则，.∴，又，∵，，又平面，平面.（2）设平面的一个法向量为，则，令，则，.∴.同理可算得平面的一个法向量为∴，又由图可知二面角的平面角为一个钝角，故二面角的余弦值为.【答案点睛】本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.21、（1）；（2）；（3）存在，1.【