高考总动员2016届数学人教文大一轮复习课件教师讲学案课时提升练第八章平面解析几何-第8章

考圆的位置关系.2.能用直由给定的两个圆的方程，判断两圆的位方法处理几何问题的思想．[基础

体验]考查角度[直线与圆的位置关系]1．(2014·

高考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1

和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C

上存在点P，使得∠APB＝90°，则

m

的最大值为(

)A．7

B.6

C．5

D．4【解析】

根据题意，画出示意图， ，则圆心C

的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝1

AB|＝m.要求m

的最大值，即求圆C2|上的点

P

到原点

O

的最大距离．因为|OC|＝

32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即

m

的最大值为

6.【答案】

B卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：【解】

由已知得圆

M

的圆心为

M(－1,0)，半径

r1＝1；圆N

的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P

的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P

与圆M

外切并且与圆N

内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C

是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方x2

y24

＋

3

＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C

上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以

R≤2，当且仅当圆

P的圆心为(2,0)时，R＝2，所以当圆

P

的半径最长时，其方

(x－2)2＋y2＝4.若

l

的倾斜角为

90°，则

l

与

y

轴重合，可得|AB|＝2

3.若l

的倾斜角不为90°，由r1≠R

知l

不平行于x

轴，设l

与xR1轴的交点为Q，则|QP|＝，可求得|QM|

rQ(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l

与圆M相切得|3k|1＋k22＝1，解得k＝±4

.当

k＝

2

24

时，将y＝

4

x＋x2

y22代入4

＋3

＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,27－4±6

2＝ ，所以|AB|＝

1＋k2|x2－x1|18＝

7

.418当

k＝－

2

形的对称性可知|AB|＝

.时，由图

7综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187

.[命题规律

]命题规律从近几年的高考试题看，对本节内容的考查主要体现在以下两方面：以直线与圆及圆与圆的位置关系为载体考查圆的方程求法、参变量的取值范围等．各种题型均有涉及，客观题以中低档为主，解答题多与圆锥曲线相结合，难度稍大．考向2016

年高考将会进一步将圆与圆锥曲线的知识相融合，综合考查学生分析问题和解决问题的能力.考向一

直线与圆的位置关系[典例剖析]【例1】(1)设直线kx－y＋1＝0

被圆O：x2＋y2＝4

所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C

与直线x＋y－1＝0

的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)与曲线

x2＝(3－y)(y－1)相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有

条．【解析】

(1)直线

kx－y＋1＝0

恒过点(0,1)，且点(0,1)在圆O

内，又所截弦的中点与点(0,1)的连线垂直于与点(0,0)的连线，则弦的中点的轨迹C

为以点(0,1)和点(0,0)为直径两

1

21端点的圆，其方

x2＋y－

2＝

.4

又∵10＋2－12＝2

14

2＜

，∴曲线C

与直线x＋y－1＝0

相交，故选A.(2)曲线x2＝(3－y)(y－1)，即x2＋(y－2)2＝1，表示圆心为(0,2)，半径为1的圆．当直线在两坐标轴上的截距都为零时，有两条直线与该圆相切；当两截距不为零且相等时，可设切线方a(a≠0)，由|2－a|2＝1

得

a＝2±

2，∴切线方故满足题意的切线共有4

条．【答案】

(1)A

(2)4判断直线与圆的位置关系常见的方法：几何法：利用d

与r

的关系．代数法：联立方程，然后利用Δ

判断．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[对点练习]

A.0，6

1．(2014·

高考)过点

P(－

3，－1)的直线

l

与圆

x2＋y2＝1

有公共点，则直线

l

的倾斜角的取值范围是(

)

π

πB.0，3

πC.0，6

πD.0，3【解析】

法一：如图，过点

P

作圆的切线

PA，PB，切1点为A，B.由题意知|OP|＝2，OA＝1，则sin

α＝2，所以α＝

30°，∠BPA＝60°.故直线

l

的倾斜角的取值范围是0

π.选

，3D.法二：设过点P

的直线方y＝k(x＋3)－1，则由直|

3k－1|线和圆有公共点知

≤1.1＋k2

解得

0≤k≤

3.故直线

l

的倾斜角的取值范围是0

π.

，3【答案】

D2．(2014·

二区县联考)在圆C：x2＋y2－2x－2y－7＝0

上总有四个点到直线

l：3x＋4y＋数

m

的取值范围是

．【解析】

圆

C

的标准方上总有四个点到直线

l：3x＋4y＋m＝0

的距离是

1，得圆心C(1,1)到直线的距离d＝|7＋m|5＜r－1＝2，解得－17＜m＜3.【答案】

(－17,3)考向二

圆与圆的位置关系[典例剖析]【例

2】

(1)圆

O1：x2＋y2－2x＝0

和圆

O2：x2＋y2－4y＝0

的位置关系是(

)A．相离

B．相交

C．外切

D．内切：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2

的圆心坐标为几何法求解．(2)①根据两圆外切求方程；②设出圆O2

方程，求出直线AB

的方程，根线AB

的距离，列方程求解．【圆O2

的圆心坐标为(0＝

5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则r2－圆相交．【答案】

B(2)①∵圆O1的方

：x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2，又|O1O2|＝

2－02＋1＋12＝2

2，∴r2＝|O1O2|－r1＝2

2－2，圆O2的方

(x－2)2＋(y－1)2＝12－8

2.②设圆O2

的方2(x－2)2＋(y－1)2＝r2，又圆

O1

的方

：x2＋(y＋1)2＝4，两式相减得两圆公共弦

AB

所在的直线方：4x＋4y2＋r2－8＝0，1作O

H⊥AB

于H，则|AH|＝12|AB|＝

2，1∵r1＝2，∴|O1H|＝

r2－|AH|2＝

2，1又|O

H|＝42＋422

2|4×0＋4×－1＋r2－8|

|r2－12|4

2＝

，∴2|r2－12|4

2＝

2，得r2＝4

或r2＝20，2

2圆O2

的方(x－2)2＋(y－1)2＝4

或(x－2)2＋(y－1)2＝20.判断圆与圆的确定两圆的圆心坐标利用平面内两点间的距离公式r2，|r1－r2|；比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．[对点练习](2014·威海模拟)在平面直角坐标系xOy

中，圆C

的方x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1

为半径的圆与圆

C

有公共点，则

k

的最小值是(

)A．－4

B．－3

45

35C．－5

D．－3的圆心为(4,由题意知，直线1

为半径的圆与圆C

有公共点因为

AC＝

k2＋1，所以|4k＋2|

|4k＋2|2k

＋1≤2，4所以k

的最小值是－3，选A.【答案】

A考向三

圆的切线与弦长问题[典例剖析]【例

3】

(2014·洛阳模拟)已知点

M(3,1)，直线

ax－y＋4＝0

及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.求过点M

的圆的切线方程；若直线ax－y＋4＝0

与圆相切，求a

的值；若直线ax－y＋4＝0

与圆相交于A，B

两点，且弦AB的长为

2

3，求

a

的值．【思路点拨】

(1)设出圆的切线方程，利用圆的切线性质求解，注意检验直线斜率不存在时的情况；(2)直接利用圆心到切线的距离等于圆的半径列式求解；(3)利用圆的几何性质：弦长|AB|＝2

r2－d2(r

为半径，d为弦心距)求解．x＝3.当过点M

的直线的斜率存在时，设方y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知|k－2＋1－3k|3k2＋－12

＝2，解得k＝4.∴方

y－1＝3

x4(－3)，即3x－4y－5＝0.故过点

M

的圆的切线方

x＝3

或

3x－4y－5＝0.a2＋－124(2)由题意有

|a－2＋4|

＝2，解得

a＝0

或

a＝

.3a2＋1(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0

的距离为|a＋2|

，

|a＋2|

2a

＋1∴

2＋2

32342＝4，解得a＝－.计算直线被圆截得的弦长的常用方法：几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB|＝

1＋k2|xA－xB|＝

1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].[对点练习](1)(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1

的两条切线，切点分别为

A，B，则直线

AB

的方

(

)A．2x＋y－3＝0C．4x－y－3＝0B.2x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0(2)(2014·重庆高考)已知直线ax＋y－2＝0

与圆心为C

的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4

相交于

A，B

两点，且△ABC

为等边三角形，则实数

a＝

.2

(x－2)

＋

y—2＝

，①(2)圆心因为△

ABC

为等边三角形，|a＋a－2|2a

＋1

2＋12＝22，解得

a＝4±

15.【答案】

(1)A

(2)4±

15满分指导12与圆有关的探索性问题的求解策略[典例剖析]【典例】

(12

分)在平面直角坐标系

xOy

中，已知圆

x2＋y2－12x＋32＝0

的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q

相交于不同的两点A，B.求k

的取值范围；是否存在常数k，使得向量O→A＋O→B与P→Q共线？如果存在，求k

值；如果不存在，请说明理由．【审题指导】信息提取破题技巧直线与圆相交于A，B

两点法一：(几何法)用圆心到直线的距离小于半径求k

的范围．法二：(代数法)联立方程组，转化成关于x的二次方程有两解，即Δ＞0问题．向量O→A＋O→B与P→Q共线由向量共线的条件求k

的值，注意检验其是否满足(1)中k

的范围.【规范解答】

(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)，半径为2.过

P(0,2)且斜率为

k

的直线方

y＝kx＋2.代入圆方程得，x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，2

分4

分整理得，(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.

①直线与圆交于两个不同的点A，B

等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36×(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，

3

3解得－4＜k＜0，即k

的取值范围为－4，0.6

分(2)设则O→A＋O→B＝(x1＋x24k－3由①知，x1＋x2＝－

1＋k2

.

②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4，③而P(0,2)，Q(6,0)，P→Q＝(6，－2)，所以O→A

＋O→B

与P→Q

共线等价于－2(x1

＋x2)＝

6(y1

＋y2)．

④

10

分3将②③式代入④式，解得k＝－4.3

3因为k＝－4∉－4，0，所以没有符合题意的常数k.12

分【名师寄语】(1)由于P→Q的坐标已知，故采用向量的坐标运算展示O→A＋O→B与P→Q共线较为直观，因此本题第(1)问回避几何法求参数k

的范围，是为第(2)问向量共线的运算作辅垫．(2)探索性问题的求解，常从假设条件成立出发，探寻满足题设的结果，并最终通过验证结果的正确与否来判断假设是否成立．[对点练习]已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A，B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．【解】

圆

C

的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C

上存在两点A，B

满足条件，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1

上，即k＝－1.2

分于是可知，kAB＝1.设lAB：y＝x＋b，代入圆C

的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，即b2＋6b－9＜0.解得－3－3

2＜b＜－3＋3

2. 6

分设点

A，B

的坐标分别为

A(x1，y1)，B(x2，y2)，1

2

11则x

＋x

＝－b－1，x

x2＝2b2＋2b－2.由题意知OA⊥OB，则有x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0. 10

分∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.解得b＝－4

或b＝1，均满足Δ＞0，即直线

AB

的方x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.12

分课堂达标训练1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0

的位置关系是()A．相离C．相交B．相切或相交D．相切【解析】即点(1,1)