2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷三

2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷03数学（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：八年级上册第11-13章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（2022·浙江丽水·八年级期末）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）下列各线段能构成三角形的是（

）A．7cm、5cm、12cm B．6cm、7cm、14cmC．9cm、5cm、11cm D．4cm、10cm、6cm3．（2022·河南·漯河市第二实验中学八年级期末）如图所示，图中的两个三角形全等，则∠α等于（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏·宜兴市和桥镇第二中学七年级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为多少度？（

）A． B． C． D．5．（2021·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校八年级期中）如图，（

）A． B． C． D．6．（2022·山东威海·七年级期末）已知点P是直线l外一点，要求过点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（）A． B．C． D．7．（2022·山东聊城·八年级期末）已知如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图：（1）以C为圆心，CA为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D；（3）连接BD，交AC延长线于点E明明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（）A．∠ABC＝∠CBE B．BE＝DEC．AC⊥BD D．S△ABC＝AC•BE8．（2020·天津市红桥区教师发展中心八年级期中）如图，△ABC中，点D是BC边上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且BD=FC，BE=DC，∠AFD=155°，则∠EDF的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°9．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．明明：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离．聪聪：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．以上三位同学所设计的方案中可行的是（

）A．乐乐和明明 B．乐乐和聪聪 C．明明和聪聪 D．三人的方案都可行10．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（

）A． B． C． D．11．（2022·重庆沙坪坝·七年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，点E在边BC上，将△ABE沿AE翻折，点B落在AC边上的点D处，连结DE、BD，若．下列结论：①AE垂直平分BD；②；③点E是BC的中点；④△CDB的周长比△CDE的周长大5．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2022·云南红河·八年级期末）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．813．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（）A． B． C． D．14．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，中，，于点．过点作//且，点是上一点且，连接，，连接交于点．下列结论中正确的有（

）个．①；②；③平分；④；⑤A．2 B．3 C．4 D．5第Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上.15．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可）16．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在中，，平分，垂直平分于．若，则的值是______．17．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校八年级期中）如图，，点D是BC的中点，若△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是_______cm2．18．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图所示，∠B0C=10°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图:以点A为圆心、1为半径向右画弧交OC于点得到第1条线段；再以点为圆心、1为半径向右画弧交OB于点，得到第2条线段；再以点为圆心、1为半径向右画弧交OC于点，得到第3条线段…这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=

_________.三、解答题：本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分.19．（2021·河南·安阳市第五中学八年级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=72°，求∠AEC和∠DAE的度数．20．（2022·四川眉山·七年级期末）点C为BD上一点，△ABC≌△CDE，AB=1，DE=2，∠B=110°．(1)求BD的长；(2)求∠ACE的度数．21．（2022·上海市曹杨第二中学附属学校七年级期末）如图，中，，且、、分别是、、边上的点，，，点是的中点，猜想和的位置关系，并说明理由．22．（2021·贵州毕节·八年级期末）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点，交的延长线于点．(1)求证：；(2)求的长．23．（2020·福建龙岩·八年级期末）如图，射线的端点是线段的中点，请根据下列要求作答：（1）尺规作图：在射线上作点，连接，使＞；（2）利用（1）中你所作的图，求证：．24．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．(1)当运动时间为t秒时，BQ的长为厘米，BP的长为厘米．（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形；(3)如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，△CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．25．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．(3)在（2）的条件下，若，CE=15，请直接写出BF的长．26．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）如图①，在中，，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过A作AD⊥l于D，过B作BE⊥l于E．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)如图②延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰，，连接AG交l于H．试探究BF与CH的数量关系．并说明理由；2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷03（人教版2022）数学·全解全析1234567891011121314BCBDBBADDACBAD1．B【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．选项B不能找到这样的一条直线折，使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意；B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意；C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意；D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意故选：C【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】解：根据题意，如图：根据三角形内角和定理，第一个三角形中边长为b的对角为：，∵图中的两个三角形是全等三角形，∴第一个三角形中边长为b的对角等于第二个三角形中的∠α，∴∠α=．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．4．D【分析】先根据角平分线的定义以及三角形外角的性质证明，同理，，，由此得出规律，从而得到答案．【详解】解：∵和的平分线交于点，∴，∵，∴，，∴，同理，，，，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知三角形外角的性质是解题的关键．5．B【分析】先根据三角形的外角性质可得，，，，，正好是五边形的外角和为．【详解】解：如图：∵，，，，，，∴．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及多边形的外角和，解题的关键是得出，，，，．6．B【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP=BP，AQ=BQ，∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，∴直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；B、B选项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；C、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP=AQ，BP=BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；D、如图，连接AC、BC、DP、PQ，∵AC=BC，AD=BD，∴点C在线段AB的垂直平分线上，点D在线段AB的垂直平分线上，∴直线CD垂直平分线线段AB，∴由作图痕迹可知：，∴，∴∴PQ⊥AB，本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键．7．A【分析】根据作图得到AC=CD，AB=BD，证明△ABC≌△DBC，从而得到结论．【详解】解：由作图可知：AC=CD，AB=BD，∵BC=BC，∴△ABC≌△DBC（SSS），∴∠ABC=∠CBE，无法证明其余三个选项的结论，故选A．【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．D【分析】证明Rt△FDC≌Rt△DEB（HL），由全等三角形的性质得出∠DFC＝∠EDB＝25°，即可得出答案．【详解】解：∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠DEB＝90°，在Rt△FDC和Rt△DEB中，，∴Rt△FDC≌Rt△DEB（HL），∴∠DFC＝∠EDB＝25°，∴∠EDF＝180°−∠BDE−∠FDC＝180°−25°−90°＝65°．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．D【分析】在三个图中分别证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．【详解】解：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE，故乐乐的方案可行；∵AB⊥BF，∴∠ABC=90°，∵DE⊥BF，∴∠EDC=90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=ED，故明明的方案可行；∵BD⊥AB，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB=BC，故聪聪的方案可行，综上可知，三人方案都可行，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．A【分析】过点作于于于，先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后根据三角形三边的关系对各选项进行判断．【详解】解：过点作于于于，如图，和的角平分线相交于点，，，，，．故选：．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．11．C【分析】根据翻折后图形大小不变，三角形的外角和，三角形周长，即可判断出正确．【详解】∵是翻折而得的∴，∴垂直平分故正确；∵中，，∴∴∴∴故正确；∵是翻折而得的∴，∴∵∴∴∴，但∴不是的中点故错误；∵∴故正确．故正确的结论的是：．故选：C．【点睛】本题考查翻折的性质和三角形的知识，解题的关键是掌握翻折的性质，三角形外角和定理，三角形周长等．12．B【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．【详解】解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值为6．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．13．A【分析】先根据定理证出，从而可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据定理证出，从而可得，根据平行线的判定可得，从而可得，然后根据可得，最后根据三角形的面积公式即可得．【详解】解：∵是等边三角形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，，，即，在和中，，，，又，，，，（同底等高），∵，，∴，∴，∴，∴，即的面积为，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键．14．D【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质判断可求解．【详解】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥AD，∴∠FAD=∠BAC=90°，∴∠FAE=∠BAD，故①正确；在△ABD和△AEF中，，∴△ABD≌△AEF（SAS），∴BD=EF，∠ADB=∠AFE=90°，故②正确；∵AF=AD，∠DAF=90°，∴∠AFD=45°=∠EFD，∴FD平分∠AFE，故③正确；∵△ABD≌△AEF，∴S△ABD=S△AEF，∴S四边形ABDE=S四边形ADEF，故④正确；如图，过点E作EN⊥EF，交DF于N，∴∠FEN=90°，∴∠EFN=∠ENF=45°，∴EF=EN=BD，∠END=∠BDF=135°，在△BGD和△EGN中，，∴△BDG≌△ENG（AAS），∴BG=GE，故⑤正确，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）【分析】根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AE＝AC，∴再添加AB＝AD，利用“SAS”可以证明△ABC≌△ADE；添加∠B＝∠D，利用“AAS”可以证明△ABC≌△ADE；添加∠C＝∠E，利用“ASA”可以证明△ABC≌△ADE．故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．16．6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，设，则，在中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：平分，，垂直平分，，，，又，，解得，设，则，在中，，，，即，解得，即，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．17．5【分析】利用平行线之间的距离相等可得△ABC和△BDE的高相等，再根据点D是BC中点可得△ABC的面积是△BDE面积的2倍，从而可得结果．【详解】解：∵，∴△ABC和△BDE的高相等，∵点D为BC中点，cm2，∴S△ABC=2S△BDE=10cm2，∴S△BDE=5cm2，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，利用平行线之间的距离处处相等得出△ABC和△BDE的高相等是解题的关键．18．8【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，依此得到规律，再根据三角形外角需要小于90°即可求解．【详解】解：由题意可知：…；则…；∵∠BOC=10°，∴，同理可得，∴第9个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，∴最多能画8条线段；故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．19．∠AEC=75°，∠DAE=15°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE=∠BAC=33°，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据直角三角形的性质求出∠DAE．【详解】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=42°，∠C=72°，∴∠BAC=66°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=33°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=90°-∠AEC=15°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．20．(1)BD的长为3；(2)∠ACE的度数为110°．【分析】（1）利用全等三角形的性质得到CD=AB=1，BC=DE=2，据此即可求得BD的长；（2）利用全等三角形的性质得到∠ECD=∠A，再利用三角形的外角性质即可求解．（1）解：∵△ABC≌△CDE，AB=1，DE=2，∴CD=AB=1，BC=DE=2，∴BD=BC+CD=2+1=3；（2）解：∵△ABC≌△CDE，∴∠ECD=∠A，∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B，∴∠ACE=∠B=110°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．21．垂直平分，理由见解析【分析】根据题意，证明≌可得，根据等腰三角形三线合一，结合是的中点，即可得证．【详解】垂直平分，理由如下：，，，，，在和中，，≌，，又点是的中点，垂直平分．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明≌是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）如图所示，连接BD，CD，先利用SAS证明△BGD≌△CGD得到BD=CD，再由角平分线的性质得到DE=DF，即可利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFC则BE=CF；（2）证明Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得到AF=AE，由（1）得BE=CF，则AE=AF=AC+CF，据此求出BE的长，即可求出AE的长．（1）解：如图所示，连接BD，CD，∵G是BC的中点，DG⊥BC，∴BG=CG，∠BGD=∠CGD=90°，又∵DG=DG，∴△BGD≌△CGD（SAS），∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，又∵DB=DC，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AF=AE，由（1）得BE=CF，∴AE=AF=AC+CF，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=8，AC=4，∴BE=2，∴AE=AB-BE=6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)根据尺规作图的步骤作图即可；（2）延长至点使得，连接，先证明，再证明△DBE是等腰三角形即可.【详解】（1）如图1,即为所求.（2）如图2，延长至点使得，连接∵，，，∵，，，，，，.【点睛】本题考查了尺规作图和全等三角形，解题的关键是做辅助线把所证的角或线段放到两个全等的三角形中.24．(1)t，（6﹣t）；(2)2或4；(3)△CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米；（2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可；（3）只需要证明△ABQ≌△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化．（1）解：∵点P、Q的速度都为1厘米/秒．∴BQ＝t厘米，AP＝t厘米，∴BP=AB-AP=（6-t）厘米，故答案为：t，（6﹣t）；（2）解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米，①如图1，当∠PQB＝90°时，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，解得，t＝2，②如图2，当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），解得，t=4，∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；（3）解：∠CMQ不变，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，∴∠CMQ不会变化．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键．24．(1)(2)①，理由见解析；②；③【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；（1）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∴∠P