15第十五章圆锥曲线四校高三数学习题详解

第十五章圆锥曲如果命题“坐标满足方程fx，y0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正 题是 曲线Cfx，yfx，y0的点有些在C上，有些不在Cfx，y0的点都不在曲线C一定有不在曲线Cfx，yfx，y0的点不都在曲线C上，故D若曲线yax与yxaa0有两个公共点，求实数a的取值范围． ，可得：1，．x22xx22x

yy01x题3解析x22x解：由原方程x22x yx1，即y x1x1x22xx22x

若曲线yx22与直线y3xk恰有三个公共点，则k的值为 P（2，4）点作两条互相垂直的直线l1l2，若l1交l1Al2yBABM解：设l1ykx

，则l2yk

（若两直线的斜率均存在A42，0B0，24 由中点坐标公式知，M的坐标为2 12k k Mx2y50x1，y2（1，2Mx2y50．能力提6PA和QBM

以及一直线l:yx

2AB在直线lyyP(-QlOxABM题6解析AB在直线l:yxABPA方程为a2xa2y4a0PB方程为axa1y20x2a1

2Aa，aa

.a联立两方程得 y2a3

xy2yx216所以M的轨迹方程为x2y22x2y807解析图aRt△ABCa和babABxy轴的正半轴上滑动，求直角顶点C解：设点C的坐标为x，

，连接CO，由ACBAOB90A、OB、C从而AOCABC．由tanABCbtanAOCyybybx a于a、b为常数，故C点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．可考查A与B两点在坐标轴上的位置，确定C点坐标的范围．如图b，当点A与原点重合时

1ABx1a21a2

xx

a2如图cBCxa2BC2BDABa2x

a2，有xa2a22 2由已知ab，所以 a2 a2a2故Cya2

a2≤xa2a yBaCyBaCbOAxyBaCb xyCab DAx

题7解析a0ABCDAB4BC4aOABEF、GBCCDDABECFDGP为GE与OF的交点（如解析图P yy CEGAO P题8解析Px，y的轨迹即直线GE与OF

，

，C

， BECFDGk0k≤1 直线OF的方程为2ax2k1y0， 直线GE的方程为a2k1xy2a0 kPx，y2a2x2y22ay0（1，4

B（3，2）y0P（2，4）ABy0A的距离，继而得x1

P525P2．圆x2y22x4y30上到直线xy

2解：圆方程为x

，圆心坐标（12

21121123

射到

Cx2y24x4y70相切（2）（1）根据对称性可知，入射光线与圆Cx轴对称的圆x22y2211k5k设入射光线的方程为ykx ， 1k1k5k 所以入射光所在直线方程为4x3y30或3x4y30

x轴对称的点

与圆Cx2y24x4y7设入射光线的方程为ykx ，

1k3，41k1k5k所以反射光线所在的直线的方程为4x3y30或3x4y30A到切点所经过的路程等于点3，3与圆Cx2y24x4y70322322

74x2y24x2y40y0心坐标为O2

r3

43

43．a224a224

7a224解得aa224故所求圆的方程为x2210a224a224

或x2210 76a224解得6a224故所求的圆的方程为x226 或x226 综合（1）（2）可知所求圆的方程为x2210 或x2210 x226 或x226 5a52aa25a52aa2b

2x

，半径为R， a

a 5b3或b5

，所以圆的方程为x

或x

y R

RPx，yx2y21上的任一点，求uy2x解：由uy2y2x

x2y21故点

d

≤1u3uuu2能力提xOy中，以Ox

3y4求圆O（2）圆OxABPPAPOPB成等比数列PAPB的取值范围．（1）

x

3y4

2x2y24100PAPBPO2Px，y，故为[x22y2[x22y2x2y22y2x2100P在圆内，所以4x2y2≥0x22，3，PAPBx2x2y22x262，0（2，0AD边所在直线上．ADABCD

ABx3y60，点TPN

ABCDP（1）

k

3AD过T．故直线方程为3xy20由题知，A点坐标为

M（20

PN

x2y21x2 2

2XOYMP

N

PX轴上移动，当MPN解：经过M，N两点的圆的圆心段MN的垂直平分线y

xa2y3

大，所以，当MPNMNPSPS值必须满足21a2a32，解得a1a7

MNMNP的半径，所以MPNMP＇NP（1，0）PMx2y22

AQB分别切MAB43如果AB （2）434MA4MA2 21222 3（1）

MP3

3由射影定理，得MB2MPMQ，得MQ3，在RtMOQ中yyMBPAO 题10解析MQ2MO32MQ2MO3255a5

a

AB52x5

5y

02x

5y

055MBMQPx，yQa，055MPQ在一直线上，得2 由射影定理得MB2MPMQ x2yx2ya2ay2x2y

744

1y21x轴同侧的两个圆：动圆C和圆4a2x24a2y24abx2ayb20外切a，b1

C1x轴相切，求动圆C1的圆心轨迹方程L7若直线 1abx4ayb2a26958a0与曲线L有且仅有一个公共点，求a，b之值7（1）

b

y

1

1 2a

4a 4aabxx轴上方，设动圆圆心坐标为x，y b 1 b 1x2ay4a 2

b2 by

bx4ax2a b2 b （2）y

bx4ax2a 7 1abx4ayb2a26958a 7y得4a2x247abxa26958a0由167a2b216a2a26958a0，整理得7b2a26 从③可知7a27aa7a，代入③可得b27a26958a 7b27b．再令b7b，代入上式得7b2a2994a 同理可得，7a，7b．可令a49n，b49m，代入③可得7m2n2 对④进行配方，得n71

，对此式进行奇偶分析，可知mn均为偶数．所以7m271 8m4r，则112r2712r245rr0，4712112r2

a6272ab0不合，舍去b b784 P是椭圆

1上异于长轴端点的任意一点，F1F2分别是其左、右焦点，O为中心，求

OP2P的坐标x，yPFPFOP2aexaexx2y2a225 设F，F是椭 1的两个焦点，是椭圆上的点，且PF∶PF

，求△PFF5 5

1解PF1

6PF1

，则△PF1F2PF1F23已知椭圆x2y21的左右焦点分别为F与F，点在直线l:x 3

上．当FPF 大值时，

3y8 解：由平面几何知，要使F1PF2F1F2P三点的圆必定和直线lP设直线lxA823，0，则APF1AF2P，即△APF1∽△AF2P1又由圆幂定理，AP2AF 1233

8438844884423x2y21ab

已知椭圆

A、B，若椭圆上存在点，使AQB120ebsinb 3 a acos 31b bsin acosaacos将b

a111

sin33 33

≤e636等腰直角△ABC中，斜边BC42，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点段AB上，且椭圆经AB22D与点C的连线平分三角形的周长，三角形的周长为842222644 644

2，同时解得CD长为26，所以椭圆方程 1

是椭圆的右顶点，并且P1FP2P2FP3P3FP4P24FP124SS2解：a3b2，故c

5F

3FPix轴正向的夹角为idiPia12a1idiecosi1 c． ic同理1c

．

1

2c5222 24 从而i

65S180did2过椭圆C:2

1P，作椭圆CPH（H为垂足PH到点Q HQ

P在椭圆C上运动时，求点QQx，yx3H点的坐标为HQPHHP

1

31

y132232212Qx2

2

1，所以离心率e 2

3 34

1F1F2MF1MF22MF1F2IMIcosMMABIO 题8解析MAMBF1AF1CF2BF1C．则2MB2F1C2F2C423，333MB4 4 333MB23MIcos23x2y21ab0PQFx R，使△PQReePQ的斜率．解：PQM．yyRQMCxBOA题9解析PM、Q、11

． 32假设存在点R，则RM 3232 PQ，所以e 332 13e2则13e2

3 3 1313e2

1

e

时，过点F作斜率 的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述运算知13e13e232RM32

PQ．故△PQR若PFQF，则由对称性得kPQ

又e1a2b21ab0e的取值范围是e3，1 13e2直线PQ13e215—16A，B，C4A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心OBC2且ACBC0 BC2BOBOC图15-PQ如果椭圆上两点P，Q使直线CP，CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数 PQ（1）（2，0yyCOAxQBPx2y210b2

题10解析如解析图所示，O为椭圆中心，南对称性知OCOB BC ，所以OCACBC则△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1将（1，1）代入椭圆方程得b243

3y2 （2）由直线CP、CQxx轴上的等腰三角形，设直线CPk，则直线CQ为kCPyky

CQykx1CP13k2x26kk1x3k26k1 因为C（1，1）x1xP

3k26k

xQ

3k26k．

yPyQ1B

，所以 1，即

x

PQ所以PQ∥AB，存在实数PQ15—17．航天器运行（2方向）2

y2

对称轴、M

，（8，0（4，0，7

时航天器xA、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出解（1）yax2640a6464 yyMCO11 Bxa17y1x2646x≤8 （2）设变轨点为Cx，y，根据题意可

图15-x2y2 y

1x264 得4y27y360y4y9（不合题意，舍去4y4x6x6（不合题意，舍去（6，4ABACBC2541215—18Ax2y21ab0ABACF、F xAF1∶AF2yyAOBxC图15-2 ，试判断12（1）

2aAF3a，AFa 在Rt△AFF中AF2

，解得e 212（2）由e22

a2，则ba2

12 122x2y2 焦点坐标为F1b，0F2b，0，则椭圆方程Ax0，y0Bx1，y1Cx2，y2

1x2y2bACACy

x0b

xb 代入椭圆—方程有3b22bxy2

byb2y200由定理得yy0

b2

y

b20．0000 3b2 3b2002所以 y03b2x0，同理可得2

6b6

ACx

b，1，

3b2b5 则12612已知点A为双曲线x2y21的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上 是等边三角形，的面积是 （A）3

（B）32

（C）33

3123 解：设点B

和点Cx

，则

x2y2x2 ，因为点B和点C在双曲线的右分支上，所以xx， 3y3x

ABy

x1，联立 ，3x2y2AB23，S△ABC33，故选C已知一条直线lx2y21ba0P、QO为原点，当OP 时，求双曲线的中心到直线ld．解：OP1，OQ/r/