2023年北京高考理科数学试卷含答案

20238540分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1A＝{x||x|＜2}，B＝{–2，0，1，2}，A∩B＝A．{0，1} B．{–1，0，1} C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}【解析】因|x|＜2，故－2＜x＜2，因此A∩B＝{–2，0，1，2}∩(－2，2)＝{0，1}，选A．在复平面内，复数1 的共轭复数对应的点位于1－iA．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限1 1＋i 1 1 1 1 1 12【解析】 ＝21－i

＝2＋2i，其共轭复数为2－2i，对应的点为(2，－2)，应选D．执行如以下图的程序框图，S值为A 1 5 7 7．2 B．6 C．6 D．121 1【解析】初始化数值k＝1，S＝1，循环结果执行如下：第一次：S＝1＋(－1)1•2＝2，k＝2≥3不成1 1 5 5立；其次次：S＝2＋(－1)2•3＝6，k＝3≥3S＝6，应选B．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的进展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．假设第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为3 3 12 12A．2f B．22f C．25f D．27f【解析】从其次个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f．由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为122的等比数n 8a．则第八个单音频率为a＝·(122)81＝127f．5．某四棱锥的三视图如以下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为n 8A．1 B．2 C．3 D．4【解析】在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥3，是△PAD，△PCD，△PAB．6a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a•b＋9b2＝9a2＋6a•b＋b2a，b均为单位向量，故a•b＝0，即a⊥b，即“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．选C．7．在平面直角坐标系中，记dP(cosθ，sinθ)x－my－2＝0θ，m变化时，d的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因cos2θ＋sin2θ＝1，故P为单位圆上一点，而直线x－my－2＝0A(2，0d的最OA＋1＝2＋1＝3，选C．8A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y＞4，x－ay≤2}，则A．对任意实数a，(2，1)∈A B．对任意实数a，(2，1)∉AC．当且仅当a＜0时，(2，1)∉A

3 (2，1)∉Aa≤2时，【解析】假设(2，1) 3 (2，1) 3 3∈Aa＞2a≥0，即假设则有(2，1)∉A，应选D．6530分。

∈A，则a＞2，此命题的逆否命题为：假设a≤2，设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为 ．【解析】设等差数列的公差为da1＝3a2＋a5＝2a1＋5d＝36d＝6an＝3＋(n－1)·6＝6n－3．在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a＞0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝ ．ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθρcosθ＋ρsinθ＝a(a＞0)得，x＋y＝a(a＞0)ρ＝2cosθ得，ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，因直线与圆相切，|1－a|/ 2＝1，故a＝1±2a＞0a＝1＋2．设函数＝cosx π ＞0假设≤f

对任意的实数x都成立则ω的最小值为 ．－6)(

(4)π π π πωf(x)≤f(4)x＝4f(x)f(4)＝14－π 2 26＝2kπ(k∈Z)ω＝8k＋3(k∈Z)ω＞0ωmin＝3．假设x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是 ．＝，【解析】作可行域，如图，＝， 得交点坐标(，2，则直线2－x过点A(，2时取最小值3．【解析】令f(x)＞f(0)x∈(0，2]f(x)在[0，2]上不是增能说明“假设f(x【解析】令f(x)＞f(0)x∈(0，2]f(x)在[0，2]上不是增函数．又如，令f(x)＝sinxf(0)＝0，f(x)＞f(0)x∈(0，2]f(x)在[0，2]上不是增函数．14

x2 y2 x2 y2．椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1．假设双曲线NMa2 b2 m2 n2的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ．【解析】F(c，0)NMA，由题c 3c

c2 3c24a2 意可知A2，2，由点A在椭圆M上得， ＋ ＝1，故b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因b2＝a4a2 故(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，故e2＝4＋2 －2 30＜e＜1e＝3－1．680分。解同意写出文字说明，演算步骤或证明过程。在△ABC中，a＝7，b＝8，cos 1(Ⅰ)求∠A；(Ⅱ)AC边上的高．

B＝－7．1 4 3 asinB(1ABCcosB＝sinB＝－co2B＝3 π π π

sinA＝b＝2．由题设知2<∠B<π0<∠A<2．所以∠A＝3．(2)在△ABC中，由于sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsin 3 3

sinC＝7 3 3 3 3

B＝14

ACa×14＝2．1 1 1 1 1 1 1 1 的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1 2．＝求证：ACBEF；的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1 2．＝求证：ACBEF；B－CD－C1的余弦值；(3)FGBCD相交．1AC⊥EFAB＝BCAC⊥BE．又EF∩BE＝EACBEF．1 (2)解由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC，又CC⊥平面ABC，故EF⊥平面ABC，因BE 平0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1)．1 → → n·→ 0，故BC＝(－1，－2，0)，BD＝(1，－2，1)．设平面BCDn＝(x，y，z

BC＝x2y

＝0，

0 0 0

→·BD＝0，即0

y＝－1，则x

＝2，z＝－4n＝(2，－1，－4)．又平面CC

D的法向量0 0 x2y＋z0. 0 0 0 0 0 → → n·→为EB＝(0，2，0)cos〈n，EB〉＝

EB＝－

21．由题知二面角B－CD－C

为钝角，故其余→ 21 1|n||EB|弦值为－21．21→ →证明n·FG＝2×0＋(－FGBCD相交．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0．40．20．150．250．20．1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设全部电影是否获得好评相互独立．从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估量恰有1部获得好评的概率；假设每类电影得到人们宠爱的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们宠爱，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们宠爱(k＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．000，第四类电影200×0．25＝50．故所求概率为50＝0．025．2000AB为“从第五类电影中随机选出．故所求概率为PA－＋－B＝PA－＋P－BPA)(PB(－APB．由0类电影没有得到人们宠爱，由题意可知，定义随机变量如下：ξ＝ 则ξ

明显听从两点分k 1，类电影得到人们宠爱， k布，故D(ξ1)＝0．4×(1－0．4)＝0．24，D(ξ2)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ3)＝0．15×(1－0．15)＝0．1275，D(ξ4)＝0．25×(1－0．25)＝0．1875，D(ξ5)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ6)＝0．1×(1－0．1)＝0．09．综上所述，D(ξ1)＞D(ξ4)＞D(ξ2)＝D(ξ5)＞D(ξ3)＞D(ξ6)．(Ⅰ)y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与轴平行，a；18f(Ⅰ)y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与轴平行，a；(Ⅱ)f(x)x＝2处取得微小值，a的取值范围．Ⅰ因＝a2(a＋1＋＋3]f[a－(a1)]＋a－(a1＋a＋］ex(x∈R)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex．f′(1)＝(1－a)ef′(1)＝0，即(1－a)e＝0a＝1．此f(1)＝3e≠0a1．1 1f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)exa＞2x∈(a，2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0．故f(x)＜0在x＝2处取得微小值．假设a 1

时，x－2≤2，则当＜0，ax–1 1－1＜0f′(x)＞02f(x)的微小值点．≤2x综上可知，a的取值范围是1 ∞)．(2，＋19C：y2＝2pxP(1，2)Q(0，1)lC有两个不同的交点A，BPAyMPByN．l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，→＝λ→，→＝μ→ 1 1QM QO QN QO，求证：λ＋μ为定值．【解析】(1)y2＝2px过点(1，2)2p＝4p＝2Cy2＝4x．由题24，意知直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由 得k2x2＋(2k－4)x＝k1＋1＝0．依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0k＜1k≠0k＜00＜k＜1PA，PB与yl不过点(1，－2)k≠－3．故直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，

2k－4 1

y－2证明

＋x＝－

，xx＝PAy－2＝11 1 2 2

1 2

12

x－1(x－1)x＝0My

－y＋2 2

－kx＋1

1＝ ＋2Ny＝＝ ＋11＝ ＋M x1－1 x－1 N11＝ ＋－kx2＋1

→ → → →

11 1 1 1

x－1＋ ＝ 1x－1

M N λ μ 1－y

1－y

〔k－1〕x22 2k－4＋

M N 1x－1 1 2xx－〔x＋x〕 1 k2 k2 1 1＋ 2 ＝

12 xx

2 ＝

1 ＝2．故λ＋μ＝2为定值．〔k－1〕x2 k－1 12

k－1k21 2 n 20nA＝{α|α＝(t，t，…，t)，t∈{0，1}，k＝1，2，…，n}1 2 n α＝(x，x，…，x

)β＝(y，y，…，y

)，记M(α，β) 1 x＋y－|x－y|)＋(x＋1 2 n

1 2

＝2[(1 1 1 1 22 2 2 n n n y－|x－y|)＋…＋(x＋y－|x－y2 2 2 n n n (Ⅱ)n＝4时，BA的子集，且满足：Bα，β，α，β一样时，M(α，β)是奇数；α，β不同时，M(α，β)B中元素个数的最大值；(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α，β)＝0B，使其元素个数最多，并说明理由．【解析】(Ⅰ)因α＝(1，1，0)，β＝(0，1，1)，故M(α，α) 1 ＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＝2[(1＋0－|0－0|)]＝2，M(α，β) 1[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1．＝2( α ( ) (α α) {0 1}Ⅱ)设＝x，x，x，x ∈B，则M ，＝x＋x＋x＋x．由题意知x，x，x，x∈( α ( ) (α α) {0 1}1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 M(α，α)x，x，x，x1131 2 3 {(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，/