2023版高考数学一轮总复习第六章立体几何第七讲立体几何中的向量方法课件

第七讲立体几何中的向量方法课标要求考情分析1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用从近五年的考查情况来看，利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速度，主要以解答题的形式出现，难度中等1.两条异面直线所成角的求法

2.直线和平面所成角的求法

如图6-7-1(1)、(2)所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与(1)(2)图6-7-13.求二面角的大小(1)如图6-7-2(1)，AB，CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝图6-7-24.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图6-7-3所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为d＝

图6-7-3(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.注意体积法在求点到平面距离时的应用.【名师点睛】

(3)若二面角A-BC-D的大小为α，平面ABC内的直线l与平面BCD所成角为β，则α≥β，当l⊥BC时，取等号.题组一走出误区1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

题组二走进教材

2.(教材改编题)平面α经过三点

A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1，0)，则平面α的法向量u可以是________.

答案：(0，1，－1)A.5B.6C.4D.8答案：A

题组三真题展现

4.(2020年新高考Ⅰ)日晷(如图6-7-4)是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()图6-7-4A.20°B.40°C.50°D.90°答案：B

5.(2021年新高考Ⅰ)如图6-7-5所示，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.图6-7-5(1)证明：因为

AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA⊂平面ABD，所以OA⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD.(2)解：取

OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图D55所示，图D55

考点一利用向量求空间的角考向1向量法求异面直线所成的角图6-7-6答案：C

(2)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________.

解析：设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以点O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图6-7-7所示的空间直角坐标系.图6-7-7【题后反思】(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围θ∈两向量的夹角的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

考向2向量法求线面角

[例2](2021年浙江联考)如图6-7-8所示，底面ABCD

AD＝2DE. (1)求证：BD∥平面PEC； (2)求直线DP与平面PEC所成角的正弦值.图6-7-8解析：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，

∴△ABC为正三角形，以点O为坐标原点，建立如图图6-7-96-7-9所示的空间直角坐标系.

设PA＝AD＝2DE＝2，

【题后反思】

线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路，而这往往正是解题难点所在，故常用向量法求解斜线与平面所成角的问题.解题的关键是确定斜线的一个方向向量a和平面的一个法向量b，再通过计算线面角成的角)求解，要特别注意a和b的夹角与线面角的关系.考向3向量法求二面角

[例3](2021年合肥调研)如图6-7-10所示，在三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.(1)证明：PA⊥平面ABC；(2)若D为PC的中点，且PA＝2

AB，AB＝BC，求二面角A-BD-C的余弦值.图6-7-10(1)证明：如图

6-7-11，过点B作BO⊥AC于O.图6-7-11∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PA.又∵BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵BC∩BO＝B，BC，BO⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，BO⊥AC，∴O为AC中点.又∵D为PC的中点，∴DO∥PA.由(1)知，PA⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，DO⊥AO，

【题后反思】利用向量法确定二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

(3)将二面角转化为线面角求解.如图6-7-12所示，要求二面角P-AB-C，可作PH⊥AB，则二面角P-AB-C的大小即为PH与平面ABC所成角θ的大小，PH易求，可用体积法求P到平面ABC的距离h，则sinθ＝图6-7-12【考法全练】

1.(考向1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点，则异面直线BP与AC1所成角的余弦值为________.解析：如图D56，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，图D562.(考向2)(2021年广州广雅中学等三校联考)如图6-7-13所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)求直线BD与平面BEF所成角的正弦值.图6-7-13(1)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝120°，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC(也可以利用余弦定理求出AC，BC再证明).，CB

又∵矩形ACFE中，CF＝AE＝2，又BF＝2＝2，∴CF2＋BC2＝BF2，∴CB⊥CF，

又∵AC∩CF＝F，AC，CF⊂平面ACFE， ∴BC⊥平面ACFE.

(2)解：以点C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.如图D57所示.

图D57图6-7-14(1)求证：GE∥侧面AA1B1B；(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值；(3)在直线AG上是否存在点T，使得B1T⊥AG？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.图D58

考点二求空间距离图6-7-15答案：D【题后反思】求点面距一般的方法(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.【变式训练】如图6-7-16所示，在四棱锥P-ABCD中，已知AB＝⊥底面ABCD，PO＝2，M为棱PC的中点.

图6-7-16(1)求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；(2)求二面角D-AM-C的正弦值；(3)记棱PD的中点为N，若点Q在线段OP上，且NQ∥平面ADM，求线段OQ的长.

解：连接DB，因为AB＝BC，AD＝DC，O为AC的中点，所以点O在DB上，且DB⊥AC.又PO⊥平面ABCD，则OB，OC，OP两两垂直.轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图D59所示.由题意得OB＝1，OD＝2，图D59则O(0,0,0)，A(0，－2,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(－2,0,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1).

⊙立体几何中的动态问题图6-7-17A.圆的一部分C.抛物线的一部分B.椭圆的一部分D.双曲线的一部分

图6-7-18答案：B【题后反思】

(1)直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.(2)立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等.

(3)一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程).

【高分训练】

1.如图6-7-19所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面α与平面PAD之间的距