初中数学竞赛专项训练三角形边角关系

9/6参考答案一、选择题1、如图过C作CE丄AD于E,过D作DF丄PB于F,过D作DG丄CE于G。显然DG=EF=2aB=5,CD三DG，当P为AB中点时，有CD=DG=5,所以CD长度的最小值是5。EPFB2、如图延长AB、DC相交于E,在RtAADE中，可求得AE=16,DE=8r；3,于是BE=AE—AB=9,在Rt^BEC中，可求得BC=3<3,CE=6・』3,是CD=DE—CE=2\3BC+CD=5、3。3、由已知AD+AE+EF+FD=EF+EB+BC+CF・•・AD+AE+FD=EB+BC+CF=1(AD+AB+BC+CD)=112AEDF•.•EF〃BC,・・・EF〃AD,=——EBFC、AEDFk56k设==k,AE=AB=,DF=EEBFCk+1k+1k+16k4k13k+313k+3‘AD+AE+FD=3++==11k+1k+1k+1k+1作AH〃CD,AH交BC于H,交EF于G,则GF=HC=AD=3,BH=BC—CH=9-3=6...EG=兰=£，.:eg=4BH=24.•・EF=EG+GF=24+3=39BHAB55555解得k=44、假设a、B、Y三个角都是锐角，即aV90°,B<90°,Y<90°,也就是A+BV90°,B+C<90°,C+A<90°oV2(A+B+CX270°,A+B+C<135°与A+B+C=180°矛盾。故a、B、Y不可能都是锐角，假设a、B、Y中有两个锐角，不妨设a、B是锐角，那么有A+B<90°,C+A<90°,・・・A+(A+B+C)v180°，即A+180°<180°,A<0°这也不可能，所以a、B、Y中至多只有一个锐角，如A=20°,B=30°,C=130°,a=50。，选Ao5、折叠后，DE=BE,设DE=x，贝VAE=9—x,在Rt^ABC中，AB2+AE2=BE2,即卩32+(9-x)2二x2，解得x=5，连结BD交EF于O,则EO=FO,BO=DO*.*BD=\；92+32=3、10・.DO=102310在Rt^DOE中，EO=i'DE2-DO2=.'52—(10)2=,\EF=22<10。选Bo6、设AABC中，AB=AC=a,BC=b，如图D是AB上一点，有AD=b，因a>b,故/人是厶ABC的最小角，设ZA=Q,则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q,从

而它与△ABC全等，所以DC=b,ZACD=Q，因有公共底角ZB,所以有等腰AADC—,BCBDba-b人a,、s等腰△CBD,从而得=，即一=,令x=,即得方程x2—x—1=0,ABBCabba解得x==■v5+1选B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角与外角互补,因此,内角中锐角最多不能超过3个,实际上,容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。118、Ao设点A的坐标为（y），则xy=1,故厶ABO的面积为—xy=—,又因为AABO与厶CBO同底等高，因此△ABC的面积=2X^ABO的面积=1。二、填空题如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N,MN=d,另一组对边是AD和BC,其长度分别为a、b,连结BD,设P是ab,a+bBD的中点，连结MP、PN,则MP=-,NP=-,显然恒有d<—当AD〃BC，由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，此时有,a+b十，,a+b,,「，、，土口‘‘a+ba+b、八d=—，所以d与—的大小关系是d<厂（或—>d）o12°o设ZBAC的度数为x,VAB=BBzAZBZBD=2x,ZCBD=4xVAB=AAZAZAAZB=ZABAz=ZCBD=4xVZAZAB=1（180o—x）21、2、3、NM2（180°—x）+4x+4x=180°，于是可解出x=12°o以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，95,11）、11）、（7,9,11）。由3+5V9,3+5V11,3+7V11可以判定（3,5,9）、（3,（3,7,11）这三组不能构成三角形的边长,因此共有7个数组构成三角形三边长。4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H。设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,AP2=a2+c2,则BP2=b2+c2,CP2=b2+d2,DP2=d2+a2于是AP2+CP2=BP2+DP2，故DP2=AP2+CP2—BP2=32+52—42=18,DP=3「25、①设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CE丄AB于点E,那么在△AEC中,ZAEC=90°,ZACE=30°,EC=20米。

所以AE=EC・tanZACE=20-tan30°=20x-^沁11.6（米）CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4（米）②设点A的影子落到地面上某一点C,则在△ABC中，ZACB=30°,AB=16米，所以BC-AB-cotZACB-16x时'3«27.7（米）。所BD以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。BD6、提示：由题意ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°，设ZPBC=a,ZABC=60°则ZABP=60°—a,・：ZBAP=ZPBC=a,APBP.•.△ABPsAbpc,-,BP2=AP・PCBPPCBP-JAP•PC-148-4*3三、解答题1、证明：如图延长AD至E,使AD=DE，连结BE。VBD=DC,AD=DE,ZADC=ZEDB・•・△ACD^△EBDAAC=BE在厶ABE中，AEVAB+BE,即卩2ADVAB+AC1•••ADV（AB+AC）1•••ADV（AB+AC）在厶ABC中，不妨设aWbWc*.*a+b>c=a+b+c>2cp即p>2c=c<—,p另一方面c三a且c三b=2c三a+bA3c工a+b+c—pnc>—。因此3-c<P3、证明：①VZACB=90°,DE〃BC,DF〃AC,・DE丄AC,DE丄BC,从而ZECF=ZDEC=ZDFC=90°oVCD是角平分线ADE=DF,即知四边形CEDF是正方形。②在RtAAED和RtADFB中，VDE〃BCAZADE=ZB