真空中的静电场

关于真空中的静电场1第1页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五2电荷的基本性质1.两种电荷2.电荷守恒定律

在一个与外界没有电荷交换的系统内，不管发生什么物理过程，正负电荷的代数和保持不变。§1电荷库仑定律3.电荷量子化

物体带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷e

的整数倍,即粒子的电荷是量子化的。e=1.60210-19C(库仑)，为电子电量。密立根1923年诺贝尔物理学奖授予美国科学家密立根，表彰他对基本电荷和光电效应的工作。

第2页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五3库仑定律,静电力的叠加原理真空介电常量4.库仑定律1785年，法国库仑（C.A.Coulomb)叠加性有理化单位制q1q2q0q2r2q1r1第3页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五4

我曾经把库仑的文章拿来看了一看，发现他写出的那个公式同实验的误差达到30%以上，估计他写这个公式，一部分是“猜”出来的。猜测的道理是因为他已知道牛顿的公式。

所以要和大家讲这一点，是因为所有物理和数学最前沿的研究工作，很大一部分力量要花在猜想上；在别的方面可能也是这样，不过我不太熟悉罢了。当然这并不是说可以乱猜，猜必须建筑在过去的一些知识上面，你过去的知识愈正确、愈广泛，那么猜到正确答案的可能性就愈大。扬振宁：上海物理学会演讲，1978年7月6日。历史上的库仑实验第4页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五5§2电场与电场强度电场：1.

电场概念的引入2.

场的物质性体现在：a.

力的作用,b.电场具有能量,c.电场具有动量。历史上：超距作用（不需时间、不需媒介质）。变化的电磁场以有限的速度（光速）传播。场和实物是物质存在的不同形式。同：能量、动量、质量。异：实物不可入性，场可以叠加。电荷电场电荷第5页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五63.电场性质(1)力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力；(2)能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要对它作功。电场强度从力的角度研究电场它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。单位正电荷（检验电荷）在电场中某点所受到的力。

电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。第6页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五7场点源点q电场强度的计算电场强度的计算（1）点电荷的电场（2）场强叠加原理和点电荷系的电场（3）连续分布电荷的电场点电荷的电场电场强度叠加原理和点电荷系的场强qiq2q0q1球对称性第7页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五8电场强度叠加原理电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。电偶极子(Electricdipole)电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷。

l<<r

-q+ql0电偶极矩(Electricdipolemoment):由-q

指向+q电偶极子（是理论是处理电介质分子模型）场点场点到原点距离为rp第8页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五9例：求电偶极子中垂线上一点的场强解:用表示从

-q到

+q

的矢量，定义电偶极矩为：-qqlrPEPE+E-第9页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五10例:讨论电偶极子在均匀电场中所受的作用力。解:设在均匀外电场中，电偶极子电矩的方向与场强方向间的夹角为θ，作用在电偶极子正负电荷上的力的大小分别为F+

、F-。电偶极子在均匀外电场中所受的合外力

由于F+F-

不在同一直线上,故有力矩的作用–q+q第10页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五11dqP任意带电体（连续带电体)电场中的场强：（1）将带电体分成很多元电荷

dq,先求出它产生的场强的大小

dE和方向（2）按坐标轴方向分解，求得（3）（对带电体）积分，可得总场强：注意：直接对dE积分是常见的错误一般E

dE体密度面密度线密度第11页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五12解: dq=dl0aLxypldl例：计算均匀带电荷直线(棒)在任意一点p的场强。(已知L,

>0,

a)第12页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五130aLxypldl第13页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五14讨论若L,10,2,L,无限长均匀带电直线的场强轴对称性第14页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五15解：讨论：xR例：均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为q

，半径为R。xP当dq

位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。由对称性第15页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五16例:均匀带电圆盘轴线上一点的场强。设圆盘带电量为q

，半径为R。解：Px讨论：1.当x<<R

相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀场，场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。讨论：2.当x>>R

在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。[附录]泰勒展开：分析方向！第16页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五17练习：计算半径为R均匀带电量为q

的半圆环中心0点的场强。xyoRqddq或者分析对称性！第17页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五18

均匀带电长直线（电荷线密度为2）长度为b，与另一均匀带电长直线（电荷线密度为1）共面放置，如图所示，求该均匀带电直线受的电场力。解：取dx随堂小议第18页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五19电场线1.用一族空间曲线形象描述场强分布

电场线(electricfieldline)或电力线

2.规定

方向：力线上每一点的切线方向；

大小：定性定量疏密垂直面积规定条数定量规定：在电场中任一点处，通过垂直于场强

E

单位面积的电场线数等于该点电场强度的数值。第19页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五20第20页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五21非均匀电场任意曲面不闭合曲面：

面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可正也可负；闭合曲面：

规定面元的法向单位矢量取向外为正。SdS第21页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五220穿出：穿入：闭合曲面：

规定面元的法向单位矢量取向外为正。通过整个封闭曲面的电通量就等于穿出和穿入该封闭曲面的电力线的条数之差。穿入穿出第22页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五23+q（1）当点电荷在球心时2.高斯定理第23页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五24（2）任一闭合曲面S包围该电荷

在闭合曲面上任取一面积元dS，通过面元的电场强度通量是dS在垂直于电场方向的投影。dS对电荷所在点的立体角为+q半径为单位长度的球面S''锥体的顶角第24页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五25（3）闭合曲面S不包围该电荷闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体角绝对值相等而符号相反。+q第25页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五26第26页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五27（1）当点电荷在球心时（2）任一闭合曲面S包围该点电荷（3）闭合曲面S不包围该点电荷（4）闭合曲面S内包围多个电荷q1,q2,…

qk

，同时面外也有多个电荷qk+1,qk+2,…qn.总结第27页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五28高斯定理:

表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。虽然电通量只与闭合曲面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。注意：

在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。点电荷系连续分布带电体高斯定理第28页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五29

古希腊的阿基米德，英国的牛顿，和德国的高斯.他们三个对数学的发展做出了不可估量的贡献,是其他人无法相比的.有一个共同点---都是通才,也都在物理上有很大的贡献.可见,物理和数学是分不开的。

高斯（CarlFriedrichGauss,1777～1855）德国数学家、天文学家、物理学家。童年时就聪颖非凡，10岁发现等差数列公式而令教师惊叹。因家境贫寒，父亲靠短工为生，靠一位贵族资助入格丁根大学学习。一年级（19岁）时就解决了几何难题：用直尺与圆规作正十七边形图。1799年以论文《所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因式这一定理的新证明》获得博土学位。1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台长，一直到逝世。

在物理学的研究工作，他涉及诸多方面。1832年提出利用三个力学量：长度、质量、时间（长度用毫米，质量用毫克，时间用秒）量度非力学量，建立了绝对单位制，1835年在《量纲原理》中给出磁场强度的量纲。1839年在《距离平方反比的作用引力与斥力的一般理论》中阐述势理论的原则，证明了一系列定理，如高斯定理，并研究了将其用于电磁现象的可能性。

为纪念他在电磁学领域的卓越贡献，在电磁学量的CGS单位制中，磁感应强度单位命名为高斯。第29页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五30高斯定理和库仑定律的关系①高斯定理和库仑定律二者并不独立。高斯定理可以由库仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理作为基本定律也可以导出库仑定律。②两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷直接联系起来,在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以求出场强的分布。而高斯定理将场强的通量和某一区域内的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下，由高斯定理能够求出任意区域内的电荷。③库仑定律只适用于静电场,而高斯定理不但适用于静电场和静止电荷,也适用于运动电荷和变化的电磁场。第30页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五31答:当带电体电荷分布具有对称性时,可以用高斯定理求场强。答:通过高斯面的电场强度通量仅与高斯面内电荷有关,但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷都有关。③当电荷分布已知时,能否用高斯定理求场强分布?如果能,在什么情况下?②高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系?第31页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五323.高斯定理的应用只有当电荷和电场分布具有某种对称性时,才可用高斯(Gauss)定理求场强.步骤:关键:

选取合适的闭合曲面（Gauss面）（3）应用高斯(Gauss)定理计算场强（1）由电荷分布对称性分析电场的对称性（2）据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面第32页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五33o例：求均匀带电球面的电场

(R,q)解:电荷分布球对称性电场分布球对称性，

方向沿径向。PoPrRo第33页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五34Rr例：均匀带电球体的电场（球半径为R，体电荷密度为）。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为r的高斯面rR时，高斯面内电荷rR时，高斯面内电荷解：

高斯定理的应用Er关系曲线EOrR第34页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五35

计算真空中半径为R,电荷电量体密度为(r)=kr

(

k是常量

)球体的场强分布。dV=4r'

2dr'r'dr'0Rr思考第35页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五36例：求无限长均匀带电圆柱面的电场分布(R,)解:e

=(r>R)0(r<R)E=(r>R)0(r<R)电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。rl第36页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五37例：求无限大均匀带电平面的电场分布(已知

)解:方向与平面垂直。电场分布也应有面对称性，方向沿法向。第37页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五38两无限大带电平面的电场II区:–+(I)(II)(III)思考?方向与平面垂直.第38页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五39

前面,我们从电荷在电场中受到电场力这一事实出发,研究了静电场的性质,并引入电场强度作为描述电场这一特性的物理量。而高斯定理是从

E

的角度反映了通过闭合面的E通量与该面内电荷量的关系,揭示了静电场是一个有源场这一基本特性。

下面我们从电荷在电场中移动,电场力对电荷作功这一事实出发,引入描述电场性质的另一物理量——电势，导出反映静电场另一特性的环路定理，从而揭示静电场是一个保守力场——从功能的角度来研究静电场的性质。第39页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五40§4电势1.

静电场力的功1.1点电荷的电场计算把q0从a点移到b点电场力所作的功显然,在点电荷形成的电场中,电场力作功与路径无关,只与路径的起点终点位置有关。

abqq0rbradr第40页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五411.2任意带电体系的电场将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性电场力对试验电荷q0做功为总功也与路径无关。结论：

试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。静电场是保守场，静电场力是保守力。第41页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五421.3静电场的（安培）环路定理电场力做功与路径无关，故即

静电场的环路定理

在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。反映了静电场的另一基本特性——保守性。安培(Ampére，1775—1836)是法国物理学家、数学家。被麦克斯韦誉为“电学中的牛顿”。第42页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五432.电势2.1电势能静电力的功，等于静电势能的减少。由环路定理知，静电场是保守场。保守场必有相应的势能，对静电场对应的则为电势能。选B为静电势能的零点，用“0”表示，则A点电势能WA2.2电势某点电势能Wp与q0之比只取决于电场，定义为该点的电势电势零点的选取是任意的。第43页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五44电场中某点的电势,等于单位正电荷从该点经过任意路径到达零电势点处电场力所作的功。1.电势是标量,可正可负;取决于电荷电性和零势点的规定。2.电势是描述静电场性质的物理量,它是空间坐标函数。3.电势的量值是相对的,取决于电势零点的选取。讨论4.电势零点规定的一般原则:当电荷分布在有限区域内时,规定无限远处电势为零;当电荷分在无限远区域时,可令电场中任一点P0

为电势的零点;实际中常取接地点为零势能点第44页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五452.3电势差电场中两点电势之差

电场中

A、B两点的电势差,等于单位正电荷从

A点运动到

B点电场力所作的功。静电场力的功与电势差的关系电势差与零电势的参考点选择无关。第45页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五463.电势的计算3.1点电荷的电势解:取无限远作为电势零点.若

q>0,Up

>0,离电荷越远,电势越低;若

q<0,Up

<0,离电荷越远,电势越高。Ur+qP第46页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五47电场叠加原理—电势叠加原理.如果电荷是连续分布在有限空间,则电场中某点的电势3.2电势叠加原理dqP第47页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五48L–LyxP(x,y)o解:方法一、利用点电荷电势公式及电势叠加原理求电势ldlr3.4电势的计算例:电量

q

均匀分布在长为2L的直线上,求空间任一点

P

的电势。第48页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五49L–LyxP(x,y)oldlr第49页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五50解:PoxxRdq例：求均匀带电细圆环轴线上任意一点

P的电势。(已知

R,q)第50页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五51例：半径为R

的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。解：以0为圆心，取半径为rr+dr的薄圆环，带电dq

=

ds=

•2

rdr到P点距离P点电势：PRx第51页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五52方法二、例：求均匀带电球面

(R,q)

电场中电势的分布解:已知E=0

(r<R)(r>R)当

r>R

时,当

r<R

时,rRoURoE沿径向，选取沿半径方向的直线为积分路径第52页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五53思考：两个同心的均匀带电球面，内外半径分别为RA

和RB,分别带有电量qA

和q

B

。求：该带电体系的电势分布。(1)当r≤RA

时(3)当r>RB时由已知的均匀带电球面电势分布和电势叠加原理可得(2)当RA(RA≤

r≤RB

）时结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。qBRARBorpqA++++++++++++++++++++++++++++++++第53页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五54例：求无限长均匀带电直线的电势分布.(已知电荷线密度为)rP当电荷分在无限远区域时,可令电场中任一点P0为电势的零点解:取无限远处电势为零用场强的线积分来计算电势，将得出电场任一点的电势值为无限大的结果，显然是没有意义的。第54页，共62页，2022年，5月20日，13点36分，星期五55例：求无限长均匀带电直线的电势分布.(已知电荷线密度为)AAr1P'rP当电荷分在无限远区域时,可令电场中任一点P0为电势的零点解:取无限远处电势为零用场强的线积分来计算电势，将得出电场任一点的电势值为无限大的结果，显然是没有意义的。令A为电势的零点由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1m处作为电势零点，则很方便地表示P点的电势。