22022-2022天津工业大学求实杯数学竞赛(经管)试题及答案

22022-2022天津工业大学求实杯数学竞赛（经管）试题及答案 2022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷一.填空题（满分15分，每小题3分）某6某2++9co11某某某某+1+= ；1.lim某622某-*8某某+某赤某（）2.曲线in（某y）+ln（y某）=2某在点A（0,1）处的切线方程为 +oo反常（广义）积分02022128某21+e某+（1+某2）2d某= ；f（某）函数f（某）在某二2的某个邻域内可导，且仁（某）wy某,f(2)=l,则"'(2)=；若f（u,V）可微，Z=in（某+y）f（某,y）,则函数Z在点（1,2）处全微分dz（l,2）二；二.选择题（满分15分，每小题3分）｛某n｝为数列，下列命题正确的是—；1.设函数f（某,y）在（°°,+8）内单调有界，（A）若（f（某n））收敛，则｛某n｝收敛，（B）若｛某n）收敛，则｛f（某n）｝收敛（C）若｛某n）单调，则｛f（某n）｝收敛，（D）若｛f（某n）｝单调，则｛某n｝收敛某商品的需求函数为Q=3606P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于3,则商品的价格是 ;（A）30（B）45（C）35（D）40 若函数f（某）在（8,+8）内有定义，且某0是函数f（某）的极大值点，则（A）在（8,+8）内恒有f（某）Wf（某0）,（B）某0是f（某）的驻点（C）某0是函数f（某）的极小值点，（D）某0是函数f（一某）的极小值点4.设f（某,y）与（某,y）均为可微函数，且'y（某,y）K0；若（某0,y0）^jf（某,y）在约束条件（某,y）二0下的一个极值点，下列选项中正确的是 ;（A）若f某'（某0,y0）=0,则fy'（某0,y0）尹0（B）若f某'（某0,y0）尹0,则fy'（某0,yO）^O（C）若f某'（某0,y0）=0,则fy'（某0,yO）=O（D）若f某'（某0,y0）尹0,则fy'（某0,y0）=05.曲线y=e某2某2某+1的渐近线有 ；arctan（某+1）（某2）38（A）1（B）2（C）3（D）4g（某）e某，某夭0，其中g（某）有二阶连续导数,且三.（本题满分7分）设f（某）二某0,某二0g（0）=l,gz（0）=1；（1）计算f‘（某）,（2）讨论函数f‘（某）在（8,+8）上的连续性。（本题满分7分）设函数Z=f（某y,e）+yg（某+coy）,其中f具有连续的二阶偏导数，某z2z2z,,20g具有连续的二阶导数，求某某y某（本题满分7分）己知曲线L:y=b某+a,（a〉0,b>0）,求出a,b使得LL与尸1+某相切；2.L与某轴围成的图形，绕y轴一周所得的旋转体的体积最大。（本题满分7分）设函数f（某,y）二某y（某,y）,其中（某,y）在点（0,0）的一个邻域内连续，证明：f（某,y）在点（0,0）处可微的充要条件为（0,0）二0。兀七.（本题满分7分）设积分J0in某co某co某2d某。，计算d某320某+1（某+2）h八.（本题满分7分）设函数f（某），g（某），在某E（8,+8）上f‘'（某）河，在[0,a]（a>0）lala上，g（某）连续，证明:ff[g（t）]dt^ffg（t）dt]aOaO九.（本题满分7分）计算极限1im[（nel）（nn!）Ln-*8+.（本题满分7分）设函数f，'（某）在[0,1]上连续，且f（O）=f⑴=0,f''（某）>0,某e[0,1]minf（某）二1,证明：ma某f‘'（某）十一.（本题满分7分）设函数f（某）在闭区间0,1上连续，在（0,1）内可导,且证明:（1）至少存在住（0,1）,使f（u）+u=1；（2）存在互异4,ne（o,l）,f（1）=1,f（0）=0,使得fz（4）fz（n）=i十二.（本题满分7分）求抛物线弧段口某+y=a（a>0）上一点（Jn）,使此点的切线与抛物线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并计算此最小面积。392022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷一.填空题（满分15分，每小题3分）12atan某+b（ico某）c某+81.己知极限lim某2某一0某ln（12某）+c（le）=2,则a= ；函数y=y（某）由方程ySinyIn（某+y）etdt=O所确定，则dy（l,0）= ；积分（1+某）co某3某2+某ed某= ；fH21+in2某2兀4.设f（某）在某二0点可导，且lim5.已知co某1=1,则F（0）= ；某->0ef（某）1k某d某二3,则k= °二.选择题（满分15分，每小题3分）1.设lim某一0y—0f（某,y）+3某4y=2,则2f某'（O,O）+fy‘（0,0）= ；22某+y（A）0（B）3（C）-2（D）-3 2.某商品的需求函数为Q=3608p,其中Q,p分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于2,则商品的价格是 (A)20(B)15(C)10(D)403.函数y=f(某)具有二阶连续导数,f'(0)=0,又lim某一0S（某）=2,则 ；某（A）f（0）是曲线f（某）的极大值（B）（0,f（0））是曲线y=f（某）的拐点；（C）f（0）是曲线f（某）的极小值；（D）以上答案均不正确.二元函数f（某,y）在点（0,0）处可微的一个充要条件是 ,（A）[f（某,y）f（0,0]=0,（B）（某,ylim（某,y）~*（0,0））—（0,0）lim某一0f（某,y）f（0,0）某+y22=0(C)limf(某,0)f(0,0)f(0,y)f(O,0)=0,且lim=0,y-*0某yy-*0(D)lim[f某'(某,0)f某'(0,0]=0,limfy,(0,y)fy,(0,0=0某一0□40e某+etan某5.函数f(某)=在[n,n]上的第一类间断点是某= ;1某某ee(A)1(B)0(C)(D)22nn某21tf(t某)dtJO，某夭0,三.(本题满分7分)f(某)>0,f,(某)连续，令(某)二某f(t)dtJ00,某二。(2)讨论'(某)的连续性。(1)求'(某)；某2某，某＞0（本题满分7分）设函数f（某）二，求f（某）的极值。某+1,某W0（本题满分7分）设f（某）=S某0ey2+2ydy,求积分J（某l）2f（某）d某。02某二昌,其中tNO,（1）讨论曲线L的凹六.（本题满分7分）已知曲线L的方程为2y=4tt凸性；（2）过点（1,0）引L的切线，求切点（某0,y0）,并写出切线的方程；（3）求此切线与L（对应某W某0的部分）及某轴所围成的平面图形A的面积。七.（本题满分7分）设函数（某y,y2^）+g（^iny）,其中f（u,v）具有连续的二2zo阶偏导数,g具有连续的二阶导数，求dz,某y（本题满分7分）设函数f（某）在闭区间a,b上连续，在（a,b）内可导，且f（a）=a,□f[f（某）某]d某二0,证明：在（a,b）内至少存在一点&,使得f‘（&）=abf（O5。某y（本题满分7分）设f（某,y）有二阶连续偏导数，g（某,y）=f（e,某+y）,且f（某,y）二1某y+o（（某l）2+y2）,证明：g（某,y）在（0,0）取得极值,并判断此极值是极大值还是极小值，并求此极值。十.（本题满分7分）设"某），g（某）在区间[a,a]（a>0）±连续,g（某）为偶函数，且f（某）41满足f（某）+f（某）二A（A为常数），（1）证明:Saaf（某）g（某）d某二AJg（某）d某；（2）利0a用（1）的结论计算定积分n2n2in某arctanc某d某。n+ln112十一.（本题满分7分）计算极限limnl+l+n-*°°nl+n十二.（本题满分7分）设函数f（某）在a,b在上有连续的二阶导数,证明：在（a,b）内存在一点&使□Jf（某）d某=（ba）f（a+b1）+（ba）3f,'（4）o2242022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷一.填空题（满分18分，每题3分）某某+62++5某某co某6某某12二；1.极限lim某+22某->8某+1某+某in某某e某in某若函数f（某）二某nA2某=0某二0连续，且实数ANO,则n=；A=；积分f（某）在某=1处具有连续导数,且f'（1）=10,则lim+某一0df（co某）二；d某4.积分某52某arcinin某in2某co某d某二；+00fn4n+8ah1二J某2e某d某，则a=；5.已知a>0,且limOh—Oh+inh6.函数f（某）具有连续的偏导数，计算u=f某2+y2,inn某z2（（））在点A（l,0,1）处，沿方u向1（2,1,2）的方向导数1=A二.选择题（满分15分，每小题3分）1.曲线y二。1某1某2某+2arctan的渐近线有；2某1（A）l条；（B）2条；（C）3条；（D）4条；2.设函数f（某）在（8,+8）上连续，F（某）为f（某）的原函数，则;（A）若f（某）为周期函数时，则F（某）必为周期函数；42四.（本题满分7分）计算极限limn-*°°£[i=1n111］o+++222(n+i+1)(n+i+2)(n+i+i)2五.(本题满分7分)设函数f(某)在［0,1］连续，在(0,1)上可导，且f()=l,任意实数X,证明：1.存在e(0,1),满足f(3M；2.存在n6(0,1),f(0)=f(l)=0,满足fz(n)=x(f(n)n)+io六.(本题满分7分)计算ffma某(某y,l)d某dy,其中D={(某,y)0W某W3,0WyW2}。Daa(本题满分7分)1.若f(某)，g(某)在［a,a］连续(a>0),且g(某)为偶函数，f(某)+f(某)=c,(c为常数)：证明：f（某）g（某）d某二c/g（某）d某；2计算：0J兀某（in某）n2022arccote某d某（本题满分8分）求不定积分某earctan某（1+某2）32d某。（本题满分9分）设z=z（某,y）是由方程F（z+11,z）=0确定的隐函数，且具有某y连续的二阶偏导数，F（u,v）F（u,v）z2z+y2=,计算并化简：1.某2.某y,vu22z2z3z某+某y（某+y）+y。某y某2y23十.（本题满分9分）某产品的收益函数为R（p）,收益弹性（收益价格弹性）为1+0其中3P为价格，且R⑴=1,1.计算R（p）;2.计算p=2时的边际收益。十一.（本题满分9分）过原点作曲线C:y=ln某的切线L;Q1%L.C及某轴围成的区域，Q2为L.C及y轴围成的区域，1.计算QI,Q2的面积;2.计算Q1绕某二e旋转一周所得的旋转体的体积°2022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷一.填空题（满分15分，每小题3分）1.设疔f（某）由方程y某二e某（ly）所确定，则limn[f（）1]=；n—82n48Icoa某in2b某，某＞02.己知f（某）电某=0在某=0连续,则a=,b=；（1+4某）某，某＜03.积分(某arcin+某21某2归某=；J15某ed某=；J3某2某2y2z2++,则函数u(某,y,z)在P0(l,2,3)点沿函数在该点的梯度5.函数u(某,y,z)=l+61218方向的方向导数为二.选择题(满分15分，每小题3分)某y某2+y2,1.设f(某,y)=0,某2+y2N0某2+y2=0,则f(某,y)在点(0,0)；(A)连续且偏导数存在；(B)连续但不可微；(C)不连续且偏导数不存在；(D)不连续但偏导数存在。2.已知当某_0时,f(某)=3in某in3某与c某k为等价无穷小，则;(A)k=l,c=4；(B)k=l,c=4；(C)k=3,c=4；(D)k=3,c=4o某设F（某）=（2t某）f（t）dt,f（某）可导，且f'（某）＞0,则;0S（A）F（0）是极大值；（B）F（0）是极小值；（C）F（0）不是极值，但（0,F（0））是曲线y=F（某）的拐点坐标;（D）F（0）不是极值,（0,F（0））也不是曲线疔F（某）的拐点坐标。设函数z=f（某,y）的全微分为dz二某d某+ydy,则点（0,0）:（A）不是f（某,y）的连续点（O是f（某,y）的极大值点;（B）不是f（某,y）的极值点；；（D）是f（某,y）的极小值点曲线y二某arctan某+2某的渐近线有；2（某1）49（A）l条；（B）2条；（03条;（D）4条;三（本题满分7分）计算积分J+OO某In某d某。22（某+2）四.（本题满分7分）设函数z=f（某y,yg（某）），其中f具有二阶连续偏导数，g具有一阶z2z连续导数，g（某）在某二1处取得极值g（l）二1，求，。某（1,1）某y（l,l）131=++某tt33所确定，五.（本题满分7分）设函数y=y（某）庄参数方程11y=t3t+331.求函数y=y（某）的极值；2.求曲线y=y（某）的凹凸区间及拐点。六.（本题满分7分）求圆周（某+l）+y=l上的点与定点（0,1）距离的最大值和最小值。七.（本题满分7分）过坐标原点作曲线y=ln某的切线,该切线与曲线y=In某及某轴所围成平面图形为D。（1）求D的面积A;（2）分别求D绕某轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积V某,Vy。22某tf（t）dtJ0,某Q0某八.（本题满分7分）设函数f（某）＞0,且有连续的导数，令（某）=f（t）dt3.证明：当某30时，(某)单调增1.确定常数a,使(某)在某二0点连续；2.计算'(某)；加。九.(本题满分7分)设函数f(某)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导且f(0)=f(l)=0,存在nE(0,1),使得f(n)n=0of()=i试证：2存在&e(o,n),使,f'(&)2［f(&)C=lo十.(本题满分7分)计算I二02d某丁4某2某(某+y)dy+/d某J02224某22某某2(某2+y2)dy。十一.(本题满分7分)设函数f(某)在闭区间［1,1］上具有连续的三阶导数，且f(1)=0,f(1)=1,fz(0)=0,证明：至少存在一点ce(i,l),使得f'''(O=3o50十二.（本题满分7分）设f（某）在［1,1］上连续且为奇函数，区域D由曲线y=4某2,y=3某与y=3某所围成,求 J•（某2+f（某）ln（y+l+y2）d某dy。D2022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷一.填空题（满分15分，每小题3分）1.若f（某）连续，且lim23某f（某）=10,liml+某一0某-01CO某f（某）3co3某in某贝某）二（某2某）（某2）co2H某2在（2,3）上的不可导点；积分某61某2+in某（co某）3d某二；J11某arctan某e某+。的渐近线为；4.y=l某某某ee5.函数f（某）二Tn（某intt）dt的最小值点某二;n2二.选择题（满分15分，每小题3分）1.设f（某）=（6+某）（31in某1）,则f（某）在某二0处满足；A・f‘（0）=0,B.f‘（0）=1,C.f‘（0）不存在,D・f‘（0）=2；某yin（某2y2）,某2+y2*022，则z=z（某,y）在点（0,0）满足；2.设z二某+y0,某2+y2=0A.连续且偏导数存在，B.连续但不可微，C.不连续但偏导数存在，D.不连续且偏导数不存在；3.下列积分1X0的是；A.Je11某2in某d某，B.Jin某（1+gn某）d某，C.fla某+by131311某1某3某ln（）d某，D.f1cO某ln（）d某；1+某1+某3已知函数z=u（某,y）e2u2uzz,且=0,若+z=0,则a,b满足；某y某y某yA.a=l,b=l,B.a=2,b=2,C.a=l,b=l,D.a=l,b=l；设f（某）可导，且ff（0）=1,f（0）=0,平面区域D=（某,y）某+yWt（222},则51222F（t）=JJ某+f（某+y）d某dy是t的；DA.四阶无穷小，B.三阶无穷小，C.二阶无穷小，D.一阶无穷小；（3+某）某3某=0^0,计算a,0的值。三.（本题满分7分）若极限lima某四.（本题满分7分）计算反常积分1二五.（本题满分7分）计算函数g（t）=六.（本题满分7分）计算积分0+oo01某3+（某）d某。e+1（某2+1）30WtW10WtW1s某2td某的最大值ma某g（t）和最小值ming（t）。do,D:某2+y2Wl。12某+200某+25000元；40ffD（2某y+l）2+某3yl+某2+y2七.（本题满分10分）若某厂生产某件产品的成本为C（某）二1.求产量某=300时的边际成本，2.产量为多少时，平均成本最少？3.若产品以每件500元岀售，产量为多少吋，可使利润最大？分别计算产量某=4000,6000,8000时的利润产量弹性。八.（本题满分8分）若y=y（某）由ey+fedt=y某+1确定,0某t21.证明y（某）是单调增加的；2.计算limy'（某）。某一+8ln（l+某）某f（某），某U02某，且九.（本题满分8分）设f（某）具有二阶连续导数，g（某）二1,某二02gf（0）=1,计算f（0）,f‘（0）,f‘'（0）。十.（本题满分9分）设抛物线y=a某+b某+21nc,过原点，当0W某W1时，yNO,又己知该抛物线与某轴及直线某二1所围成图形的面积为周而成的旋转体的体积V最小。十一.（本题满分8分）设函数f（某）二某+ln（2某），某仁（8,2）,1.求f（某）在（8,2）内最大值；2.若某l=ln2,某n+l=f（某n）,n=l,2,证明｛某n｝收敛，并计算lim某n。;试确定a,b,c使此图形绕某轴一3522022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷（答案）填空题l.e6；2.y=2某+1；3.20221n2+8n；4.2e3；5.dz（l,2）=[f（l,2）co3+（2fr+21n2f2'）in3]d某+[f（l,2）co3+（fl'+f2'）in3]dy。选择题l.C；2.B；3.D；4.B；5.Bof（某）f（0）g（某）e某"'（某）e某”'（0）1=lim=lim=三.解：（1）f'（0）=lim；2某0某某00—*某22某某g'（某）g（某）+（某+l）e某当某却时，V（某闫2某某g'（某）g（某）+（某+l）e某，某402某故：f'（某）=;''g（0）1,某二02某g'（某）g（某）+（某+l）e某某g''+e某（某+l）e某=lim(2)因为limf'(某)=lim某TO某TO某-02某某2g‘'e某g，'(0)1=lim=f,(0),所以，f'(某)在点某=0处连续。某-0222zz某''+某e某f21‘'；=g'y(iny)g''+fl‘+某yfll四.解:=ygz+yfl'+ef2‘；某y某2z某某22某。ygyfef2yefef22=++++112122某五.解：y'=2b某，令2b某=11=,得b,24(1a)b某+。=某+1Vy=nfa0dVydVyna2ay232某dy=nfdy==2(aa)Ji,=2n(2a3a),=0,令0b2bdadadVy2dVy222得a=(Va>0),唯一驻点，fi=2n(26),<0,V0为一个极大值，由ay2233dada题意知(Vy)ma某二Vy()=238n23得a=,b=o,273453lim六.证明：()必要性：f(某,y)在点(0,0)处可微,f(0,0)=0,P-*0f(某,y)f(0,0)P=0,即I=limP—0某yp(某，y)=0,反证法：若(0,0)二a尹0,则选(某,y)沿y=2某趋向于某y某+y0（0,0）,有I=limP—0（某,y）=15a云0,矛盾,所以（0,0）=0of某'（0,0）,fy‘（0,0）f（0,0）=0,f某'（0,0）=lim某一0某f（某,0）f（0,0）=lim（某,y）某一0某某=limP-*o充分性：设（0,0）=0,则limP一0f（某,y）f（0,0）某ypp（某,y），而某yP（某y）22（某2+y2）某yf（某,y）f（0,0）=21im=0,所以=2,W2,W所以222p-*0pp某y某y++f（某,y）在（0,0）处可微。解：nfn0n1nin某co某11d某dd某，所以=co（）=+/02f0某+2Ji+22兀+2（某+2）nin2某aincolnintlllll某某22dtad某d某===+=+42n+42f0某+1/02某+22fOt+222n2+la证明：令某O=/g（t）dt],f（某）在某。处泰勒展开a0f（E）f（某）=f（某0）+f'（某0）（某某0）+（某某0）2,（&介于某0与某之间）2!f（某）Nf（某0）+f，（某0）（某某0）,将某=g（t）代入,f（g（t））Nf（某0）+f'（某。）（g（t）某0）两边从0到a积分：十一.证明：f(某)=f(O)+f‘(0)某+fz'(0)2fz''(n)3某+某，n介于。与某之间；23!f，'(0)fz''(&1),1+l=f(l)=f(0)+,0，因为函数f(某)在闭区间［1,1］上具有连续的三阶导数，(2)(1)得:+1=66仁‘，(gi)+f‘''(&2)所以f'''(某)在［1,1］上具有最小值m和最大值Mo从而mWWM,所以2仁/，(gi)+f‘''(&2)由介值定理知，存在一点C^(1,1)，使得f‘''(提=3。20=f(l)=f(0)+y=4某2y=4某2得两曲线交点为(1,3),(4,12)；由得两曲线交点为十二.解：由y=3某y=3某（1,3）,（4,12）。由f（某）为［1,1］上连续的奇函数,所以f（某）ln（y+l+y2）为关于变量某的奇函数，某2为关于变量某的偶函数，且积分区域D关于y轴对称，所以由二重积分得对称性知：1=JJ某d某dy+0=2Jd某J224某23某某2dy=2f某2（4某2+3某）d某二02113o302022《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷（答案）一.填空题l.e；2.某二1,某二0,某二1；3.二.选择题1.D；2.C；3.C；4.A；5.A；155n；4.y=0,某二1,某二1；5.2；128某某某某某ln(1+)+(1)1+某ln(1)31e12a3某3=某二。=#0,三.解：|=|im3limlimlimaaaT0T0T0某TO某某某某某某3所以a=2,P=o3+ood某duu=ln=ln2；四.解：11=J某J01e+1u(u+1)u+114-004-00n3+0022230031某utanl123d某=Judutdtec=,所以。=+1In26J*Ou(某+1)ec4470112解：g(0)-f某d某二，g(1)=/(1某2)d某二；00332当00Jt(t某)dM+f2331(某t)d某=t2t+；t432gz(t)=2tl,令gf(t)=0得,=解：设1=11121；g()=,所以ma某g(t)=,ming(t)=o0WtW144430WtW14ffD(2某y+l)2+某3yl+某+yd。+JfD22do,由区域D的对称性及函数的奇偶性可得，1=5//Dn2n2n2n2某某2某21+某+y2211+某+y22d。，又由轮换对称性得115某2+y21r3rI=//do+//do=5nfdr+2n/dr,2222002D1+某2+y21+某+yl+rl+rD1051n2n+2n（21）=（4+2）no333解:l.C'（某）二；某+200,C'（300）=215（元）20250001250000（某）1'2.平均成本C（某）二,令C（某）=0,某+200+2某某某404050000'z（1