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热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院1工科高等数学

广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东2第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结3一、利用柱面坐标计算三重积分要求：简单地说，柱面坐标就是xoy面上极坐标+z坐标4柱面坐标与直角坐标关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．5如图，柱面坐标系中体积元素为于是，再依据中z，r，关系，化为三次积分。普通，先对z积分，再对r，最终对积分。6例1利用柱面坐标计算三重积分其中解(1)画图(2)确定

z，r，上下限将向xoy面投影，得或过(r,)∈D做平行于z轴直线，得7即过(r,)∈D做平行于z轴直线，得于是，89解求交线：将向xoy面投影，得或10即过(r,)∈D做平行于z轴直线，得或11例3计算三重积分其中是由曲解将向xoy面投影，得或过(r,)∈D做平行于z轴直线，得12即或过(r,)∈D做平行于z轴直线，得13即14二、利用球面坐标计算三重积分要求：15如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．球面坐标与直角坐标关系为16球面坐标系中体积元素为如图，再依据再中r，，关系，化为三次积分。普通，先对r积分，再对，最终对积分。17例4用球面坐标计算其中解画图。确定

r，，上下限。(1)将向xoy面投影，得(2)任取一过z轴作半平面，得(3)在半平面上，任取一过原点作射线，得18(3)在半平面上，任取一过原点作射线，得即1920例5计算其中由曲面和围成。将向xoy面投影，得任取一过z在半平面上，任取一过原点作射线，得解轴作半平面，得21即在半平面上，任取一过原点作射线，得22解由三重积分性质，有23解由三重积分性质，有24柱面坐标体积元素球面坐标

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