不等式型双变量存在性或任意性问题

不等式型双变量存在性或任意性问题不等式型双变量存在性或任意性问题不等式型双变量存在性或任意性问题V:1.0精细整理，仅供参考不等式型双变量存在性或任意性问题日期：20xx年X月不等式型双变量存在性或任意性问题1．形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”。此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域是g(x)的值域的子集”来求解参数的取值范围。【典例1】已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝eq\f(19,6)x－eq\f(1,3)，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围。【解】由题意知，g(x)在[0,2]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，6))，令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－eq\f(1,3)。当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))时，h′(x)<0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－a2－2a－eq\f(1,3)。又由题意可知，h(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，6))的子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h－1≤6，,－a2－2a－\f(1,3)≥－\f(1,3)，,h1≤6，))解得实数a的取值范围是[－2,0]。2．形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集”来求解参数的取值范围。【典例2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x3,x＋1)，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，,－\f(1,3)x＋\f(1,6)，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，))函数g(x)＝ksineq\f(πx,6)－2k＋2(k>0)，若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围。【解】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－2k，2－\f(3k,2)))，并且两个值域有公共部分。先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－eq\f(3,2)k<0，解得k<eq\f(1,2)或k>eq\f(4,3)，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))。3．形如“对任意x1∈A及x2∈B，都有f(x1)<g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]max<[g(x)]min”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例3】已知函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若对于任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围。【解】解法一：因为不等式f(x1)≤g(x2)的左右两端函数的自变量不同，x1与x2在[－3,3]内的取值具有任意性，所以使不等式f(x1)≤g(x2)恒成立的充要条件是[f(x)]max≤[g(x)]min。因为f(x)＝8(x＋1)2－k－8，所以[f(x)]max＝f(3)＝120－k。又因为g′(x)＝6x2＋10x＋4＝(3x＋2)·(2x＋2)，由g′(x)＝0得x＝－eq\f(2,3)或－1，g(－3)＝－21，g(－1)＝－1，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(28,27)，g(3)＝111，所以[g(x)]min＝－21，由120－k≤－21，解得k的取值范围是[141，＋∞)。解法二：令φ(x)＝8x2＋16x，则对于任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有φ(x1)－k≤g(x2)成立，故k≥[φ(x)]max－[g(x)]min＝120－(－21)＝141，即k的取值范围是[141，＋∞)。4．形如“存在x1∈A及x2∈B，使f(x1)<g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]min<[g(x)]max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例4】已知函数f(x)＝7x2－28x－a，g(x)＝2x3＋4x2－40x，如果存在x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，使f(x1)≤g(x2)能成立，求实数a的取值范围。【解】解法一：由题意知，[f(x)]min≤[g(x)]max。因为f(x)＝7(x－2)2－a－28，所以[f(x)]min＝f(2)＝－a－28。又因g′(x)＝6x2＋8x－40＝(6x＋20)(x－2)，由g′(x)＝0得x＝2或－eq\f(10,3)(舍去)，g(－3)＝102，g(2)＝－48，g(3)＝－30，所以[g(x)]max＝102。由－a－28≤102解得a的取值范围是[－130，＋∞)。解法二：令φ(x)＝7x2－28x，存在x1∈[－3,3]，x2∈[－3，3]，使φ(x1)－a≤g(x2)成立，故a≥[φ(x)]min－[g(x)]max＝－28－102＝－130。即a的取值范围是[－130，＋∞)。5．形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)<g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]max<[g(x)]max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例5】已知函数f(x)＝eq\f(3x＋4,x2＋1)，g(x)＝eq\f(6a2,x＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,3)))，若对任意的x0∈[0，a]，总存在相应的x1∈[0，a]，x2∈[0，a]，使得g(x1)≤f(x0)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围。【解】由题意知，f′(x)＝eq\f(－3x－1x＋3,x2＋12)。令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(1,3)或－3(舍去)。当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，f′(x)>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，a))时，f′(x)<0，所以[f(x)]max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(9,2)。又f(0)＝4，f(a)＝eq\f(3a＋4,a2＋1)，f(a)－f(0)＝eq\f(a3－4a,a2＋1)，所以，当eq\f(1,3)<a<eq\f(3,4)时，[f(x)]min＝f(0)＝4，当a≥eq\f(3,4)时，[f(x)]min＝f(a)＝eq\f(3a＋4,a2＋1)。因为g(x)在[0，a]上单调递减，所以[g(x)]min＝g(a)＝3a，[g(x)]max＝g(0)＝6a。由题意知，只需在区间[0，a]上[f(x)]max≤[g(x)]max，[f(x)]min≥[g(x)]min，即e