2022-2023学年福建省厦门市第四中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省厦门市第四中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点是的重心，若，，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为点是的重心，所以，又，，所以，所以，所以的最小值是。2.下列结论正确的有①集合，集合，A与B是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有5个元素；④集合是指第二和第四象限内的点集．A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：A略3.设,则的值为_

_____.参考答案：略4.已知集合，则A∪B=（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】解不等式可得集合，根据并集的概念即可得结果.【详解】由，，则故选B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题.5.某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（

）．A．

B．C．

D．参考答案：答案:D6.已知f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当x∈[0，]时，f（x）=2x2，则f（5）=（）A．8 B．2 C．﹣2 D．50参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用函数的周期性以及函数的解析式，转化求解即可．【解答】解：f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=f（2）=f（﹣1）=f（1）=2．故选：B．【点评】本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用，函数的解析式求解函数值的求法，考查计算能力．7.已知奇函数在上是减函数，且，，

，则的大小关系为

A.

B.

C.

D.

参考答案：B8.已知双曲线E：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B． C． D．3参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．9.已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是(

).A.

B.

C.

D.参考答案：B三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，所以，这个几何体的体积10.已知数列{an}的通项为，我们把使乘积a1a2a3…an为整数的n叫做“优数”，则在内最大的“优数”为（）．A.

510

B.

512

C.

1022

D.

1024参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出以下四个命题：①已知命题；命题.则命题和都是真命题；②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；③函数在定义域内有且只有一个零点；④先将函数的图像向右平移个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为．其中正确命题的序号为

．（把你认为正确的命题序号都填上）参考答案：①③略12.如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为；在滚动过程中，的最大值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意便可知道，点B的轨迹为两个圆心角都为的圆弧和一个点，这样即可求出点B的轨迹长度，分别求出点B在滚动前后的纵坐标的最大值，并求出P（），这样即可求出的最大值．【解答】解：根据题意知，点B的轨迹为两个圆心角为所对的圆弧和一个点；且圆弧的半径为2；∴顶点B运动轨迹的长度为；，设B（x，y）；①没滚动前点B坐标；∴；②第一次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；③第二次滚动后B点坐标（3，0）；∴；④第三次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；∴的最大值为．故答案为：．13.若tanα=，则tan（α+）=．参考答案：3【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案为：3．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．14.已知偶函数的图象关于直线对称，且时，，则=___________．参考答案：略15.给出下列几个命题：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；④设函数的最大值和最小值分别为和，则；⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是____________.（写出所有正确命题的序号）参考答案：①④⑤略16.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为

．(注：方差，其中为x1，x2，…，xn的平均数)参考答案：6.8，.17.已知函数，则不等式的解集为_______．

参考答案：函数的导数为，则x>0时,f′(x)>0,f(x)递增，且，则为偶函数,即有，则不等式,即为，即为，则,即,解得，即解集为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数；（II）现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（III）在（II）的结论下，设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望.参考答案：(Ⅱ)分数段内共名毕业生,设其中男生名,女生为名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件,则则解得或(舍去)即名毕业生中有男生人,女生人…8分(Ⅲ)表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,所以的取值可以为当时,当时,当时,所以的分布列为所以随机变量数学期望为………12分19.已知椭圆：的离心率为，且过点.(1)求C的方程；(2)设过点的直线，与C相交于A、B两点（点B在点P和点A之间），若，求的取值范围．参考答案：(1)(2)，且.【分析】（1）由椭圆的离心率为，且过点（1，）．列方程组，求出a，b＝1，由此能求出C的方程．（2）直线l的斜率存在且不为0，设其方程为x＝my+2，联立，得（2+m2）y2+4my+2＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出λ的取值范围．【详解】解：（1）∵椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．∴，解得a，b＝1，∴C的方程为1．（2）易知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，代入椭圆方程，整理，得.由，得.设,，则，.由，得，所以.（，同号）将代入，得，由，得，所以，解得，且.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查参数的取值范围，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．20.（本小题满分10分）某厂生产产品x件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？参考答案：21.从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．参考答案：【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；（2）计算样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数；（3）计算抽取的6人中分数在[130，150]的人数，求出ξ的所有取值与概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）；…（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[130，150]的人有2人，依题意ξ的所有取值为0、1、2，当ξ=0时，；当ξ=1时，；当ξ=2时，；∴．…22.已知函数的最大值为3，其中。（1）求m的值；（2）若，，，求证：参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab≥1，再构造函数利