沪教版初二上数学详细讲义

二次根式第一节二次根式【知识要点】1.二次根式代数式叫做二次根式。读作“根号”，其中叫被开方数.2.二次根式有意义有意义的条件是3．二次根式的性质性质一性质二性质三性质四4.最简二次根式在化简后的二次根式里：(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数中不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.5.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【学习目标】1.掌握二次根式有意义的条件及性质.2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】1.二次根式的判定【例1】下列式子中哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）【答案】（1）、（3）、（5）、（7）、（8）是二次根式.【分析】二次根式要求根指数为2，所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数必须是非负数，所以（2）、（6）显然不是，（9）中只有当即时，才是二次根式，（10）中只有当时，才是二次根式.2.二次根式有意义的条件【例2】当实数取何值时，下列各式有意义？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。【答案】（1）；（2）取任何实数；（3）；（4）；（5）且；（6）。【分析】（1）由，得，所以当时，有意义；（2）无论取什么实数，都有，所以当取任何实数时，都有意义；（3）由，且，得，所以当时，有意义；（4）由，即，得，所以当时，有意义；（5）由且，得且，所以当且时，有意义；（6）由且，即，得，所以当时，有意义;3.二次根式的化简【例3】化简下列二次根式；（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）原式；（2）原式；（3）由且，得，所以原式=；（4）由且，得，所以原式。【例4】下列根式中哪些是最简二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）【答案】（1）、（5）、（7）是最简二次根式.【解析】因为与它们的被开方数中各因式的指数不都是，所以（2）、（6）不是最简二次根式.因为与，它们的被开方数含有分母，所以（3）、（4）不是最简二次根式.4.同类二次根式的判定【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）因为，所以，于是；（8）因为，所以，于是。因此（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式；（4）、（8）是同类二次根式.【基础训练】1．成立的条件是_______________.2．当x________时，式子有意义.3．当a________时，；当a________时，.4.代数式中，字母x的取值范围是___________.5.若，则_____________.6．若m＜0，化简=____________.7.若，则_____________.8．下列各式中，是最简二次根式的是（）A.B.C.D.9.式子成立的x取值范围为 A． B． C． D．x取任意实数10.下列各组式子中，同类二次根式的是（）.A.B.C.D.11．的值（）.A.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负12.x＜y，那么化简为（）.A.0B.2yC.－2xD.2y－2x13.化简下列各式：（此题中的字母均为正数）（1） （2） （3） （5） （6）【能力提高】化简并计算:己知x,y为实数,且,求：的值.2.己知与是同类根式，求的值.已知，求的值.在实数范围内分解因式（1）4x4–1（2）x3-x2-2x+2二次根式的运算【知识要点】1.二次根式的加减法先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.2．二次根式的乘除法二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.3．分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化.4.有理化因式两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.5．二次根式的混合运算在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用.【学习目标】会进行二次根式的四则混合运算.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【典型例题】1.二次根式的四则混合运算【例1】计算：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）（3）；【解析】（1）原式；（2）原式=（3）原式；【例2】计算：；（2）（其中）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）因为，所以由根式可知，再由根式可知.原式=2.分母有理化【例3】把下列各式分母有理化：（1）；（2）。【答案】（1）；（2）。【解析】（1）原式=（2）原式。【例4】计算：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）。【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式；（4）原式【例5】计算：（1）（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）原式=；（2）原式；（3）解法一：原式解法二：原式3.二次根式比较大小的常见方法（1）平方法：平方法比较两数、的大小时，当时，如果，那么；如果，那么。当时，如果，那么；如果，那么；（2）作差法：作差法比较两数、的大小时，如果，那么；如果，那么（3）作商法：作商法比较两数、的大小时，当时，如果，则；如果，则；当时，如果，则；如果，则；（4）倒数法（分子有理化法）倒数法比较两数、的大小时，当时，如果，则；如果，则；当时，如果，则；如果，则；【例6】比较下来各式的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）。【解析】第（1）题可以用“平方法“比较，第（2）题可用“作差法”比较，第（3）题可用“作商法”比较，第（4）题可用“分子有理化法”比较.4.一类特殊的二次根式求和问题用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便.【基础训练】1.计算：___________.2.计算：=___________.3.计算：，.4.计算：，.5.计算：，.6.计算：，.7.分母有理化：；.8.计算：.9.的倒数为______________10.若，y是x的有理化因式则y=，则，.11.下列各式运算结果正确的是（） A． B． C． D．12.下列各式化简结果正确的是（） A． B． C． D．13.根式化简结果正确的是（） A． B． C． D．14.的计算结果正确的是（） A． B． C． D．15.的倒数是（） A． B． C． D．设的小数部分为b,那么（4+b）b的值是（）Ａ.１Ｂ.是一个有理数；Ｃ.３Ｄ.无法确定。18.19.20.【能力提高】化简与计算：己知，求的值.2.已知，,求和的值.3.已知，求下列各式的值.①；②二次根式单元测试题（时间100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1.在根式、、、、中，最简二次根式有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.在下列各式的化简中，化简正确的有()①＝a②5x-＝4x③6a＝④+＝10A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知二条线段的长分别为cm、cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A.1cmB.cmC.5cmD.1cm或cm4.已知a＜0，化简：的结果是()A.1B.-1C.0D.2a5.·的积为()A.1B.17C.D.6.当a＞0，b＞0时，n是正整数，计算：-的结果是()A.(b-a)B.(anb3-an+1b2)C.(b3-ab2)D.(anb3+an+1b2)二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7.a-的有理化因式是________.8.当m＞n时，化简：(m-n)·＝________.9.已知-2＜m＜-1，化简：-＝________.10.当a＜-b＜1时，化简：÷的结果为________.11.·＝________.12.计算：(a+2+b)÷(+)-(-)＝________.13.化简：÷x2y2(a＞0，b＞0)＝________.14.若菱形两对角线长分别为(2+3)和(2-3)，则菱形面积＝________.15.已知b＜0，化简：--+＝________.16.＝________.17.计算＝；＝。18.比较大小：；.三．解答题：（本大题共七题，满分78分）19.（本题满分为10分）计算：÷(+)+20（本题满分10分）化简：（x>0,y>0)21（本题满分10分）已知，求的值。22.（本题满分10分）计算：（本题满分12分）先化简，再求值：，其中（本题满分12分）设x、y是实数，且x2+y2-2x+4y+5＝0，求.（本题满分14分）已知（），求代数式的值。一元二次方程第一节一元二次方程的概念【知识要点】1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。其实质是：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.其中“未知数的最高次数是2”是指在合并同类项之后而言的.2.一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式，其中叫做二次项，为二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项。任何一个一元二次方程都可以化成一般形式.3.二次项系数含有字母的一元二次方程二次项系数含有字母的方程是否是一元二次方程，需要对二次项系数进行讨论，要保证未知数的最高次数2，只需要二次项系数不为4．对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断未知数的一个值是不是这个方程的根.5．特殊根的一元二次方程的系数和常数项的特征依据方程的根的意义，找出如果一元二次方程有一个根为、或的一元二次方程的系数和常数项的特征。如一元二次方程，当时，有一根为.【知识要点】掌握一元二次方程的概念.一元二次方程的一般形式，能找出方程中各项的系数.【典型例题】1.一元二次方程的判定【例1】判断下列方程哪些是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）【分析】本题是概念判断题，要牢记符合一元二次方程应满足的条件.【解答】（1）移项得：是一元二次方程（2）方程分母含有未知数，不是整式方程它不是一元二次方程（3）方程中含有两个未知数它不是一元二次方程（4）符合一元二次方程的条件它是一元二次方程（5）整理得：移项、合并得：二次项系数合并后为，未知数最高次数为1它不是一元二次方程。【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理，然后再根据条件：整式方程只含有一个未知数未知数最高次数为2只有当这三个条件全部满足时，才能判断为一元二次方程.2.一元二次方程的一般式及各项系数的求法【例2】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数（1）（2）（3）（4）是已知数【分析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式的前提下而言的.所以解此题的关键是准确把方程化简为一元二次方程的一般形式.【解答】（1）移项，得方程的一般形式：可知，方程中的二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是（2）整理，得方程的一般形式：可知，方程中的二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是（3）整理，得方程的一般形式：可知，方程中的二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是。（4）方程的一般式为：是已知数可知，方程中的二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是【点评】要认真区别方程的各项与各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号。对于字母系数方程的整理，应先明确其未知数，再确定各项系数.【例3】当为何值时，关于的方程是一元二次方程？【分析】在一元二次方程中，是一元二次方程的必要条件否则它就不是一元二次方程.【解答】移项、合并同类项得：当即时方程为一元二次方程。【点评】要先把方程整理为一般式，然后再确定二次项的系数的条件.3.一元二次方程根的判别【例4】判断3,-4是不是一元二次方程的根.【分析】能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的根。所以只需把代入原方程检验方程左右两边的值是否相等.【解答】把分别代入方程的左右两边，得坐左边的值为右边的值为因为方程左右两边的值相等，所以是这个一元二次方程的根.把分别代入方程的左右两边，得坐左边的值为右边的值为因为方程左右两边的值不相等，所以不是这个一元二次方程的根.【点评】从这个一元二次方程看到，它的根的个数与一元一次方程是不同的.【例5】在下了方程中，哪些方程有一个根为？哪些方程有一个根为？哪些方程有一个根为？（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】根据方程的根的意义，分别把或代入原方程即可.【解答】根据方程根的意义，可知方程（1）、（2）有一个根为；方程（3）、（4）有一个根为；方程（5）、（6）有一个根为.【点评】有一个根为0、1或-1的一元二次方程的系数和常数的特征是：如果常数项为0，则有一根为0；如果二次项系数与一次项系数的和等于常数项的相反数，则有一根为1；如果二次项系数与常数项的和等于一次项系数，则有一根为-1.【例6】方程（1）取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解；（2）取何值时，方程是一元一次方程？【分析】解此题的关键是对一元二次方程和一元一次方程电脑概念的理解，不仅要对未知数的系数讨论，还应注意未知数的最高次..【解答】（1）当且时，方程为一元二次方程.由解得又得时方程为一元二次方程。将代入原方程，得方程无实数解.（2）由得，且这时方程为一元一次方程.时，和均无解【点评】此题应注意对项的指数与系数的讨论.【例7】已知是方程的根，化简.【分析】可将方程的跟代入方程，求出的值，再代入已知代数式化简之.【解答】将代入方程得,解得m=2【点评】方程的根就是能够使方程左右两边值相等的未知数的值，所以我们可以把它代入到原方程中，从而求出方程中其他字母的值.【基础训练】1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()A.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2.下列方程中,常数项为零的是()A.x2+x=1B.2x2-x-12=12；C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+23.把方程化成一般式，则、、的值分别是()A.B.C.D.4.如果是一元二次方程，则()A.B.C.D.5.关于的一元二次方程有一根为，则的值（）A.B.C.或D.关于的一元二次方程的一个根为2，则的值是（）A.B.C.D.7.方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是，它的二次项系数是.8.关于x的方程(m－3)x－x=5是一元二次方程，则m=_________.9.关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程，则m=.10.写一个一元二次方程，使它的二次项系数是－3，一次项系数是2：.11.若－1是方程x2+bx－5=0的一个根，则b=_________.12.已知方程ax2+bx+c=0的一个根是－1，则a－b+c=___________.13.若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_________.14.若一元二次方程(m－2)x2+3(m2+15)x+m2－4=0的常数项是0，则m为___________.15.如果x＝4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是_________.把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数(x+3)(x-2)=x+5(2)2(x2-1)=3(x-1)(3)17.已知函数，当时，,求的值.已知x2+（+1）x-2=0，求m2-3x+2的值．19.若3x2-x-1=0，求6x3+7x2-5x+2005的值．20.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,求a,b的值.第二节一元二次方程的解法（1）【知识要点】一．一元二次方程的解法1.开平方法方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解.2.因式分解法一元二次方程的一边是0，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分解法求解.3.配方法为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程，必须将方程形为的形式。配方法的步骤是：①把二次项系数化为1；②移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④将原方程变形为的形式.一元二次方程解法的运用及其思想方法配方法对所有的一元二次方程都适用，开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用.我们在解一元二次方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷.一般情况下：（1）形如的一元二次方程用开平方法或因式分解法（平方差公式）解；（2）形如的一元二次方程用因式分解法（提取公因式法）来解；（3）形如的一元二次方程用因式分解法（十字相乘法）来解.【学习目标】学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程.掌握配方法解方程及配方法的技巧.【典型例题】【例1】用开平方法解下列方程（1）（2）（3）（4）【分析】用开平方法解方程，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数常数的形式，再根据平方的定义求解。另外，“整体”思想在解方程时还是十分有用的.【解答】（1）移项得：将方程各项都除以4得：所以，原方程的根是（2）将方程两边同时除以得：即所以原方程的根是。（3）利用开平方法，得或解得或所以，原方程的根是（4）利用开平方法，得或解得或所以原方程的根是：【点评】对于第（2）题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根式的简化，而第（3）、（4）是利用“整体”思想解方程.【例2】用因式分解解下列方程（1）（2）（3）【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之也同样成立，由此可得方程的根。所以可以把方程等号一边化为零，另一边分解成两个一次因式的积的形式而求出方程的解.【解答】（1）原方程可变形为把方程左边分解因式，方程可化为得或解得所以原方程的解为。（2）原方程可变形为把方程左边分解因式，方程可化为得或解得或所以原方程的根是（3）原方程可变形为把方程左边分解因式，方程可化为得或解得或所以原方程的根是【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.【例3】用配方法解方程（1）（2）【分析】对于二次项系数是1的方程，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平凡即可完成配方。对于二次项系数部不为1，则先将方程各项同时除以二次项系数后，再配方.【解答】（1）移项，得两边同时加上一次项系数的一半的平方，得即开平方，得即或所以原方程的根为（2）两边同时除以3，得移项，得方程；两边都加上一次项系数的一半的平方，得即所以，原方程的解为。【点评】“方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步，是配方法的关键。“将二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提.【例5】用适当的方法解下列方程（2）（3）（用配方法）（4）【分析】此题是解一元二次方程的四种方法的综合运用，在解题时，一定要根据具体问题选择恰当方法，从而使解题过程准确、简捷.【解答】（1）移项，得方程两边都除以2，得解这个方程，得即所以，原方程的根是（2）展开，整理，得方程可变形为或所以，原方程的根是（3）移项，得方程两边同时除以3，得方程两边都加上一次项系数的一半的平方，得解这个方程得：所以，原方程的根是（4）移项，得提取公因式，得整理，得或所以，原方程的根是【点评】当一元二次方程本身特性不明显时，需要先将方程化为一般形式，若，异号时，可用开平方法求解，如题（1）。若时，可用因式法求解，如题（2）。式法求解，配方法做为一种重要的数学方法，也应掌握，如题（3）。而有一些一元二次方程有较明显的特征时，不一定都要化成一般式，如题（4）。方程不必展开整理成一般式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得，用因式分解法求解，得，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边同时除以，这回丢掉一个根。也就是方程两边不能同时除以含有未知数的整式.【基础训练】1.方程的根是，方程的根是.2.方程的两根为.3．已知与的值相等，则的值是.4．（1），（2）5.已知6x2+xy-2y2=0，则的值为________．6.一个两位数的个位数字与十位数字的平方和等于29，且个位数字与十位数字之和为7，则这个两位数为_______．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2-b2,根据这个规则，方程(x+2)﹡5=0的解为.8.若一个等腰三角形的两边长是方程的两根，则这个三角形的周长是____.9.若x2－kx+4满足完全平方公式，则k=.10.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A.B.C.D.11.下列方程适合用分解因式解法解的是（）A．x2-3x+2=0B．2x2=x+4C．（x-1）（x+2）=70D．x2-11x-10=012.关于的方程有实数根，则整数的最大值是（）A.6 B.7 C.8 D.913.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是()A.±5B.5C.4D.不能确定14．（直接开平方法）15.（因式分解法）16.（配方法）17.解方程：9（x-1）2=4（x+1）218.解方程：2y2-7y-4=019.解方程：(x+3)(x－1)=520.解方程：21．已知关于x的一元二次方程的一个根为0，求k的值和方程的另外一个根.若分式的值为零，求的值.23.对于二次三项式x2-10x+36，小颖同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值一定大于零。你是否同意她的说法？说明你的理由.24.已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程=3的解相同.(1)求k的值;(2)求方程x2+kx-2=0的另一个解.公式法解一元二次方程【知识要点】1.一元二次方程的解法：公式法一元二次方程求根公式。它对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。如：，化成一般式，得利用求根公式来求出方程的根.公式法的运用及其思想方法公式法对所有的一元二次方程都适用，形如的一元二次方程用因式分解法（十字相乘法）或公式法来解.3.一元二次方程根的判别式我们把叫做的根的判别式，用符号来表示。对于一元二次方程，其根的情况与判别式的关系是：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.特别的：当时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。即当方程有两个实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；4.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式的值，最后根据的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.5.利用根的判别式解题时的几点注意①运用“”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“；的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【学习目标】会用公式法解一元二次方程.利用根的判别式确定根的情况.【典型例题】1.公式法解一元二次方程【例1】用公式法解方程（1）（2）（3）（4）是已知数【分析】应用求根公式解一元二次方程，通常写成一般形式，并写出的数值以及计算的值.【解答】（1）这里即或所以原方程的根为（2）移项，得这里即或所以，原方程的解是（3）把原方程化成一般式，得这里即或所以原方程的根为（4）这里即或所以原方程的解是【点评】用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把一元二次方程化成一般式；②确定的值；③求出的值（或代数式）；④若，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算要求。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程.2.根的情况的判定【例2】不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（2）（3）【分析】一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的，计算出的值，判断的符号.【解答】（1）即方程有两个不相等的实数根.（2）将方程整理为一般式：即方程有两个相等的实数根.（3）将方程化为一般式：即方程没有实数根.【点评】运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号.【例3】求证方程必有两个不相等的实数根.【分析】欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论取任何实数，都有即可.【证明】此方程是关于的一元二次方程不论取任何不为1的值时都有即方程必有两个不相等的实根.【点评】证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义.【例4】当为何值时，关于的方程有两个不相等的实根？有两个相等的实根？无实数根？【分析】根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。此题中二次项系数不含字母，则直接运用判别式可求出字母系数的取值范围.【解答】若方程欲有两个不相等的实根，只需即当时，方程有两个不相等的实根（2）若方程欲有两个相等的实根，只需即当时，方程有两个相等的实根（3）若方程无实根，只需即当时，方程无实根【点评】：正确算出方程的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式.【例5】已知关于的方程有实根，求的最大整数.【分析】解此题时，首先要准确地计算出判别式的值或它的表达式，然后再分别根据题目的要求，进行分析、判断，计算出正确答案.【解答】已知方程有实根即解出。由于，所以满足条件的最大整数是【点评】一元二次方程有实根，包括有不等两根或相等两根的情况，所以。同时要注意解不等式时的变不变号的问题.【例6】解关于的方程【分析】字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法.【解答一】原方程可变形为或因为，所以或所以，原方程的根为。【解答二】这里又，所以原方程的根是【点评】解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给车的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.【例7】已知，试解关于的方程【分析】由，容易得到或，整理关于的方程，得。题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此得对二次项系数要进行讨论，当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程。【解答】由，得整理原式，得当，原方程为，解得当，原方程为，解得综上，当时，原方程的根是当时，原方程的根是忘记绝对值的运算法则；②解一元二次方程一般情况下先化为一般式，再确定解法.【例8】解关于的方程【分析】此方程的字母没有任何限制，则为任何实数，所以次方程不一定是一二次方程，因此需分和，两种情况讨论.【解答】（1）当且（即有）时，原方程可变为所以（2）当时，因为所以所以【点评】通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想.【例9】取何值时，关于的方程有实数根？【分析】由于“解关于的方程”与“解关于的二次方程”是不同的，所以应注意区分两种情况求解.【解答】当时，原方程变为，此时方程有实数根当时，是关于的一元二次方程.若要方程有实根，须，即，解得所以，综上所述，当时，原方程有实数根.【点评】在没有具体说明的情况下，应对字母系数进行讨论求解.【例10】已知是三角形的三边，求证：方程没有实数根.【分析】因为是三角形三边，均为正值，的系数，所以原方程为一元二次方程。欲证方程无实根，只需证证明：是三角形三边方程为一元二次方程为三角形的三边原方程无实数根.【点评】三角形的三边，均为正值，且在证明的过程中还要应用三角形中三边间的关系为论证的依据.【基础训练】1.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A.＞B.＞且C.＜D.且2.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)＝0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根关于的方程有实数根，则整数的最大值是（）A.6 B.7 C.8 D.94.关于的方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定如果关于x的方程：有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____.6.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－，x1·x2＝.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为．7.方程(x＋2)(x－1)=0的解为．8.如果关于的方程有两个相等的实数根，那么．9.请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．10.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？11.关于x的二次方程中系数a,b,c分别是∆ABC的三边长，判别此方程根的情况。12.已知两个关于x的二次方程有且仅有一个相同的实根。求（1）m的值；（2）两个方程相同的根；（3）两个方程不相同的根第四节一元二次方程的应用（1）【知识要点】一.二次三项式的因式分解1．二次三项式在实数范围内的因式分解公式设是方程的两实根，则任何一个二次三项式均可在实数范围内因式分解为，即=。2．二次三项式在实数范围内的分解因式①当时，方程有两个不相等的实根，可分解为；②当时，方程有两个相等的实根，可分解为一个完全平方式；③当时，方程没有实根，在实数范围内不能分解.3．二次三项式在实数范围内的因式分解的一般步骤①求出方程的两个实根；②写出分解式，注意分解式中的因数不要漏写.二.一元二次方程的实际应用1．一元二次方程的应用的常见类型①与面积相关的几何问题。如：有长比宽多20米的矩形菜园一块，它的四周有宽1米的道路。已知道路的面积是164平方米，求此菜园的面积。可设菜园宽为米，则长为米，列方程，得。②有关增长率的问题。如：某工厂七月份生产值为100万元，计划八、九两月的产值要达到114万元，如果每月增长率相同，求这个增长率。可设平均每月的增长率为，列出方程：2．列方程解应用题的几点注意①首先要多角度、全方位地理解题意，对关键词要细心揣摩，并注意发现题目中的隐含条件；②选择适当未知数，列出方程；③要抓住各类题型中的“基本量“及所具有的等量关系，并熟悉它们的变形。如增长率问题：增长率=或增长率=【学习目标】会列一元二次方程解应用题.掌握解应用题的步骤与关键.【典型例题】1.实数范围内分解因式【例1】在实数范围内分解因式：（1）；（2）（3）（4）【答案】（1）（2）；（3）；（4）。【解析】（1）对于方程，，所以该方程的两个实数根是。所以.（2）把方程看做是关于的一元二次方程，则它的两个实数根是所以（3）易得对于方程，所以在实数范围内无解对于方程，所以所以（4）令，则方程的，所以该方程的两个实数根是所以所以2.利用配方法求最值问题对一个二次三项式进行配方得，如果，那么当时，原式有最小值；如果，那么当时，原式有最大值【例2】某种时装，平均每天销售件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多售件。（1）如果以较小的投资达到每天盈利的目的，每件可降价多少元？（2）如果要想盈利达到最大值，则每件可降价多少元？【答案】（1）元；（2）元.【解析】（1）设每件可降低元，由题意得所以（舍去）答：如果每天要盈利元，则每件可降价元.（2）设每件可降低元，则每天的赢利为元.因为.所以当时，原式有最大值答：当每件降价时，每天盈利达到最大值元.【基础训练】1.某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率是，则列出的方程是（）A.B.C.D.2.用一块长80㎝、宽60㎝的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为㎝的小正方形，然后做成底面积为1500㎝2的没有盖的长方体盒子，为求出，根据题意列方程并整理后得（）A.B.C.D.3.已知关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则方程的实数根的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.不能确定4.五羊牌电视机连续两次降价20%后，再降价10%，或者连续两次降价25%，则前者的售价比后者的售价（）A.少2%B.不多也不少C.多5%D.多2.4%5.两个连续自然数的积是56，那么这两个自然数的和是_____________.6.直角三角形两条直角边长分别为，，斜边长为，那么=___________.7.2003年10月15日，上证指数为1608点，到2003年10月17日上升为1622点，若平均每日指数增长率为，则可列出方程为________________________.8.某厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年与上一年的增长率相同，那么这增长率是_______________.9.梯形的下底比上底长3，高比上底短1，面积为26，如果设上底为，那么可列出的方程______________.10.某小组每人给他人送一张照片，全组共送了90张，那么这小组共有_________人.11.把棱长为30mm的正方体钢材锻压成半径为mm，高为100mm的圆柱形零件毛坯，那么可列出的方程是_________________________________.12.一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字大2，若设个位数字为，列出求这个两位数的方程__________________________.13.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．墙⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?墙⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?DCDCBABA14.有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。求原来的两位数.15.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？16.某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元/件）符合一次函数，且时，；时，；（1）写出销售单价的取值范围；（2）求出一次函数的解析式；（3）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？第五节一元二次方程的应用2【知识要点】1.利率问题利息本金利率期数本息和本金利息本金（利率期数）2.数字问题表示三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，我们可以用代数式表示它的值，即=【典型例题】1.利率问题【例1】小李在银行里存入万元。一年后，他全部取出并加了万后又存入银行。一年后，共获得万元。如果每年的年利率相同，求年利率.【答案】【解析】设年利率为，由题意得整理得所以（不符合题意，舍去）。答：年利率是。2.数字问题【例2】（1）有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.（2）两个连续技术的积是323，求这两个数.【答案】（1）24（2）17,19或-19，-17【解析】（1）设这个两位数的个位数字是，则十位数字为，则这个两位数是，根据题意得整理得所以（不符合题意，舍去）所以答：这个两位数是24（2）设其中一个较小的奇数为则另一个奇数为根据题意得方程整理得所以即所以当时，另一个奇数为；当时，另一个奇数是【拓展与提高】1.可化为一元二次方程的分式方程的解法可以通过在方程的两边乘以各分式分母的最简公分母，把分式方程转化成整式方程来求解。因为在化成整式方程时可能产生增根，故对于整式方程根要代入最简公分母中进行检验，排除增根.【例3】甲、乙两地相距千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。小张骑车从甲地到乙地用了个小时，而从乙地沿原路回甲地要用小时。已知自行车下坡比上坡每小时多行了千米，求小张骑车的上坡速度.【答案】千米/小时【解析】设小张骑车的上坡速度是每小时行千米，则下坡速度是每小时行千米。有题意得：方程两边同时乘以，得整理，得解得（不符合题意，舍去）经检验，是原方程的解，且符合题意答：小张上坡每小时行千米.【基础训练】1.王明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税，结果精确到0.0001）2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.3.A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?4.甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．5.某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？6.某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？7.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.一元二次方程单元测试(时间100分钟，满分150分）选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1.方程x2+4x=2的正根为()A．2-B．2+C．-2-D．-2+2.方程x2＋2x－3＝0的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－33.已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是()A．1B．0C．0或1D．0或-14.关于x的一元二次方程x2＋2kx－1=0的根的情况是()A.有两个不相等的同号实数根B.有两个不相等的异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根5.已知、是方程的两个根，则代数式的值（）A．37B．26C．13D．106.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7.x(x-5)+3(x-1)=8的二次项系数为________.8.已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+的值为________．9.方程的解为10.一元二次方程(2x－1)2＝(3－x)2的解是_______________________11.设x1，x2是方程x(x-1)+3(x-1)=0的两根，则│x1-x2│=。12.设一元二次方程的两个实数根分别为和，则，＝．13.某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______14.关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是．15.已知一元二次方程的一个根为，则．16.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克元．17.写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：______.18.一元二次方程7x2－x－5＝0的两个根之和为_______.三．解答题：（本大题共七题，满分78分）19.（本题满分为10分）解方程：20.（本题满分10分）先化简，再求值：，其中，是方程的根．21.（本题满分10分）已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x＋m＋2＝0．(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；(2)若方程的两实数根之积等于－9m＋2，求的值．22.（本题满分10分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?（本题满分12分）蔬菜种植区域前侧空地某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为蔬菜种植区域前侧空地（本题满分12分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？（本题满分14分）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高。第十八章正比例函数和反比例函数第一讲正比例函数【知识要点】1．变量：可以取不同数值的量叫做变量。【注意】保持数值不变的量叫做常量。2.函数：如果变量y随着变量x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。3.函数解析式：表达两个变量之间依赖关系的数学式子叫做函数解析式。（1）y是x的函数记为：y=f(x),f表示y随着变量x的变化而变化的规律。（2）同一问题中同时研究几个不同函数，可用f,g,h和F…以示区别。4.定义域：函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。【注意】定义域既要考虑函数解析式的要求，又要考虑实际问题的要求。5.函数值：x在定义域内取定值a,y的对应值叫做x=a时的函数值，记为f(a).正比例：如果两个变量每一组对应值的比值是一个不为零的常数，那么就说这两个变量成正比例。【分析】注意这个常数一定要不等于零。7.正比例函数：解析式形如y=kx的函数叫做正比例函数.【注意】（1）常数k叫做比例系数，且不等于零.（2）定义域：一切实数。（3）图像：经过点O(0,0)和点M(1,k)的一条直线。（4）性质：当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。8.函数图像画法：列表：取x自变量的一些值，计算相应函数值，列表；描点：所取x的值和相应函数值作为点的横纵坐标，描出各点；连线：用光滑曲线把描出各点顺序联结起来。【学习目标】理解函数、函数解析式的概念；理解函数定义域和函数值的概念，并会求函数定义域和函数值；理解正比例和正比例函数的概念，掌握正比例函数解析式，掌握正比例系数求法；掌握正比例函数的图像和性质，并能将二者结合起来领会。【典型例题】1．比例系数的判定【例1】下列函数中，是正比例函数的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．【分析】利用正比例函数的定义来判定。小技巧：只有一次项，无其他项【解答】（A）只有一次项，所以是（A）。【例2】已知正比例函数，若y随x的增大而增大，k的取值范围是（）（A）0．（B）0．（C）．（D）．【分析】利用题意来判定。【解答】（D）.若y随x的增大而增大，即，求解得到【例3】设m、n（m0）为常数，如果正比例函数中，自变量x增加m，对应的函数y增加n，那么k的值是（）（A）．（B）．（C）．（D）．【分析】y的增量同x的增量的比例也是k。【解答】（B），2．正比例函数解析式的求解【例1】正比例函数，当x增加2时，y增加3，则其解析式为_________________．【分析】y的增量同x的增量的比例也是k.【解答】，所以，【例2】若y与x成正比例，且当时，，则当时，x的值是___________．【分析】利用y与x成正比例，且y与x已知，可以求出比例系数k，之后代入x得到y。【解答】，，，所以，，代入，得到【点评】牢记正比例函数的定义，只有一次项，无其他项.【例3】已知与成正比例，当时，，求y与x的函数解析式【分析】直接根据题目和正比例函数的定义列出方程。【解答】代入，，得到，所以【点评】还是根据正比例函数的定义，一步一步计算即可。3．正比例函数的图像和性质【例1】如图所示，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系．则他们行进的速度关系是（）（A）甲比乙快．（B）乙比甲快．（C）甲乙同速．（D）不能确定．【分析】图像斜率和比例系数的关系，，谁高谁大，谁高谁小。【解答】（A）在第一象限，，甲高，所以甲的比例系数大，所以甲比乙快，选（A）【例2】已知直线经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当时，有，则m的取值范围是_____________．【分析】判断正比例函数的增减性，根据增减性判断比例系数的符号【解答】根据A（x1，y1）、B（x2，y2）的位置，画图得到为减函数，所以，解方程得到【例3】如果点P（，3）在过原点的一条直线上，那么这条直线的解析式为____________．【分析】根据正比例函数的定义，列出方程求解比例系数【解答】，所以，得到【基础训练】下列关系中的两个量成正比例的是（）（A）从甲地到乙地，所用的时间和速度；（B）正方形的面积与边长（C）买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；（D）人的体重与身高2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）（A）y=4x+1（B）y=2x2（C）y=-x（D）y=3．下列说法中不成立的是（）（A）在y=3x-1中y+1与x成正比例；（B）在y=-中y与x成正比例（C）在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；（D）在y=x+3中y与x成正比例4．若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（）（A）m=-3（B）m=1（C）m=3（D）m>-35．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（）（A）y1>y2（B）y1<y2（C）y1=y2（D）以上都有可能6．试问：下面哪个式子能表示这种关系（）d5080100150b25405075（A）．（B）．（C）．（D）．7．关于函数，下列判断正确的是（）（A）图象必过点（，）．（B）图象经过第一、三象限．（C）y随x的增大而减小．（D）无论x为何值，总有0．8．在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为-2，求△POA的面积（O为坐标原点）．【能力提高】1．下列问题中，是正比例函数的是（）（A）矩形面积固定，长和宽的关系．（B）正方形面积和边长之间的关系．（C）三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系．（D）匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系．2．若y与x成正比例，且当时，，则当时，x的值是___________．3．若是关于x的正比例函数，则b的值为___________．4．如果是正比例函数，且图象经过第一、三象限，那么这个函数的解析式是________________．购买某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知，则这种国债的年利率为______________．正比例函数，当x增加2时，y增加3，则其解析式为_________________．试给出正比例函数一个实际意义．在同一坐标系中画出，，的图象，试说明k值变化时，函数图象有什么变化．已知函数是正比例函数，求代数式的值．已知y与成正比例，且时，，解答下列问题：（1）求y与x的函数解析式；（2）当时，求x的值；（3）若x的取值范围是，求出y的最大值与最小值．蜡烛点燃后缩短长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）之间的关系为，已知长为21cm的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛变短3.6cm，求：（1）y与x之间的函数解析式；（2）自变量x的取值范围；（3）此蜡烛几分钟燃烧完．如图，B的坐标为（，0），AB垂直x轴于点B，交直线l于点A，如果△ABC的面积为3，求直线l的解析式．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，求k值．

第二讲反比例函数【知识要点】1．反比例：如果两个变量每一组对应值的乘积是一个不为零的常数，那么就说这两个变量成反比例。【注意】这个常数一定要不等于零。2.反比例函数：解析式形如的函数叫做反比例函数.【注意】（1）常数k叫做比例系数，且不等于零；（2）定义域：不等于零的一切实数；（3）图像：双曲线，有两支；（4）性质：当k>0时，函数图像两支分别在第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图像两支分别在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；图像两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与之相交。【学习目标】理解反比例、反比例函数的概念，掌握反比例函数解析式；掌握待定系数法，确定反比例函数解析式；掌握反比例函数的图像和性质，并能将数形结合起来领会。【典型例题】反比系数的判定【例1】已知y与x成反比例，并且当x＝2时，y＝－1，则当时x的值是____．【分析】根据定义直接求解.【解答】，所以，代入，得到【例2】在反比例函数y=图像的每一条曲线上，y随x的增大而减小，求k的取值范围_________．【分析】y随x的增大而减小可以知道，反比系数大于0【解答】，求解得到【例3】在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）（A）k＞3（B）k＞0（C）k＜3（D）k＜0【分析】y随x的增大而减小可以知道，反比系数大于0【解答】，求解得到2．反比例函数的解析式【例1】是反比例函数在第一象限内的图象，且过点与关于轴对称，那么图象的函数解析式为（）．【分析】先根据已知条件确定，再根据关于轴对称得知，和异号，可解【解答】，所以为，从而为【例2】反比例函数y=中，当x的值由4增加到6时，y的值减小3，求这个反比例函数的解析式．【分析】利用告知的两个得到两个，作两个的差，求解可得【解答】，所以得到，解方程得到,从而【点评】熟练使用定义，一步一步即可求解【例3】反比例函数的图象经过点．（1）求这个函数的解析式；（2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）从定义出发，直接求解；（2）代入B点，等式两边还是相等则B在图像上【解答】（1），所以；2）左边，右边，所以B在图像上3．反比例比例函数的图像和性质【例1】若点（－3，－4）是反比例函数图象上的一点，则此函数图形必经过点（）（A）（2，6）（B）（2，－6）（C）（4，－3）（D）（3，－4）【分析】代入点（－3，－4），求出，检验选项。【解答】，解方程可得【例2】当x＜0时，反比例函数y=-．()（A）图象在第二象限内，y随x的增大而减小（B）图象在第二象限内，y随x的增大而增大（C）图象在第三象限内，y随x的增大而减小（D）图象在第三象限内，y随x的增大而增大【分析】根据反比例系数，画出图像，可以看图自行判断【解答】（B）反比例系数小于零，函数图像在第二、四象限，看图得到答案（B）。【例3】反比例函数的图象的两个分支分别位于象限．【分析】根据的符号判定【解答】反比例系数，所以在一、三象限【基础训练】已知反比例函数，则这个函数的图象一定经过（）（A）(2，1)（B）(2，-1)（C）(2，4)（D）(-，2)2．设A(，)、B(,)是反比例函数y=图象上的任意两点，且y1<y2，则x1，x2可能满足的关系是()（A）（B）（C）（D）如图，双曲线y=的一个分支为（）（A）①（B）②（C）③（D）④如下图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为（）（A）（B）（C） （D）已知，则函数和的图象大致是（）yxyxOyxOyxOyxO（A）（B）（C）（D）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于B（4，n），求k，n的值．已知函数，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．（1）求与的函数关系式：（2）当时，求的值．【能力提高】设y＝y1＋y2，且y1与x成正比例，y2与成反比例，则y与x的函数关系是（）（A）正比例函数

（B）一次函数

（C）二次函数

（D）反比例函数2．在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）（A）（B）（C）（D）3．已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是图（）hahaOhaOhaOhaO（A）（B）（C）（D）4．P是反比例函数在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴，随着x的逐渐增大，△APO的面积将（）（A）增大（B）减小（C）不变（D）无法确定5．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当时，气体的密度是（）（A）5kg/m3（B）2kg/m3（C）100kg/m3 （D）1kg/m36．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点B．随的增大而减少C．图象在第一、三象限内 D．若，则7．某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与可变电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为_______Ω．已知点P在函数(x＞0)的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为__________．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为（为常数）。如下图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？某气球内充满了一定质量的气球，当温度不变时，气球内气球的压力p(千帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位)(1)写出这个函数的解析式；(2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕(3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米。

第三讲函数的表示法【知识要点】1．函数的表示法：（1）列表法：把两个变量之间的依赖关系用表格来表达；（2）图像法：把两个变量之间的依赖关系用图像来表示；（3）解析法：把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达；【注意】解析法是比较常用的方法，也是考试重点考察的方法。2．正、反比例函数与实际问题根据实际问题，判断两个变量是成正比例还是反比例；设函数解析式，待定系数法确定函数解析式；确定函数定义域；【学习目标】1.掌握函数的三种表示法，并掌握列表法与解析法的相互转化、图像法与解析法的相互转化；2.对于实际问题，熟练确定函数解析式并给出定义域。【典型例题】由图表和图像求函数关系【例1】下面给出的是函数的部分数值对应表，1-2324-4345410则与相对应的自变量的取值至少应该有（）（A）-2 （B）1 （C）2 （D）【分析】理解了列表法，即能直接从表中找到对应的关系．【解答】（D），在表中找关系，当，yyOxOxOxO