2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析

2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=arccosx+arccotx的值域是（

）（A）(0，π)

（B）(0，)

（C）[，]

（D）[，]参考答案：D2.若tanθ=，则=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，结合同角三角函数关系，即可得出结论．【解答】解：∵tanθ=，∴==tanθ=，故选：A．3.等比数列中,则的前4项和为（

）

A．81

B．120

C．168

D．192参考答案：B4.函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈ZC．（k﹣，k﹣），k∈Z D．（2k﹣，2k+），k∈Z参考答案：D【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：从图象可以看出：图象过相邻的两个零点为（，0），（，0），可得：T=2×=2，∴ω==π，∴f（x）=cos（πx+φ），将点（，0）带入可得：cos（+φ）=0，令+φ=，可得φ=，∴f（x）=cos（πx+），由，单点递减（k∈Z），解得：2k﹣≤x≤2k+，k∈Z．故选D【点评】本题主要考查三角函数单调性的求解，利用图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键．5.方程的零点所在区间是（

）．

A.(0,2)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)参考答案：C6.设，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B7.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.若，则角是（

）(A)第一象限的角

(B)第二象限的角

（C）第三象限的角

(D)第四象限的参考答案：C9.已知函数定义域是，则的定义域是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B略10.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是

（

）

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.2log510+log50.25=

．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数运算法则nlogab=logabn和logaM+logaN=loga（MN）进行求解可直接得到答案．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故答案为：2．12.三条直线能围成三角形，则的取值范围是

．参考答案：分三直线两两互相平行或三直线相交于一点两类情形考虑，可分别求得，即实数的取值范围是.13.

．参考答案：14.设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____．参考答案：[－3,5]【分析】根据模长关系可求得，通过平方运算可将恒成立的不等式化为，根据的取值范围，可知若不等式恒成立，则当时，不等式均成立，从而构造出不等式组求得范围.【详解】

由得：即：则：为非零向量

则：恒成立

，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够通过平方运算将向量的模长关系转化为数量积运算的形式，进而将不等式转化为与夹角余弦值有关的不等式，进而根据余弦值的取值范围构造出不等式.15.设A是整数集的一个非空子集，对于,若,，那么是A的一个孤立元，给定.那么S含有3个元素的所有子集中，不含孤立元的集合个数为____________.参考答案：2略16.已知集合A={﹣1}且A∪B={﹣1，3}，请写出所有满足条件B的集合．参考答案：{3}或{﹣1，3}【考点】集合的含义．【分析】由题意列举集合B的所有可能情况．【解答】解：集合A={﹣1}，A∪B={﹣1，3}，所以B至少含有元素3，所以B的可能情况为：{3}或{﹣1，3}．故答案是：{3}或{﹣1，3}．17.右图茎叶图表示的是甲乙两人在5次总和测评中的成绩，其中一个数字被无损，则乙的平均成绩超过甲的概率为参考答案：1/10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=ln（ex+1）+ax是偶函数，g（x）=ex﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（ex+1）﹣ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）﹣f（x）=0，则ln（e﹣x+1）+ax﹣ln（ex+1）+ax=0，ln（ex+1）﹣x+2ax﹣ln（ex+1）=0，则（2a﹣1）x=0，即2a﹣1=0，解得a=．若g（x）=ex﹣be﹣x是奇函数．则g（0）=0，即1﹣b=0，解得b=1；（2）∵b=1，∴g（x）=ex﹣e﹣x，则g（x）单调递增；（3）由（II）知g（x）单调递增；则不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，等价为f（x）＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，即ln（ex+1）﹣x＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，则m＜ln（ex+1）+x，设m（x）=ln（ex+1）+x，则m（x）在[1，+∞）上单调递增19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．参考答案：【考点】5D：函数模型的选择与应用；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20.已知α、β∈（0，）且α＜β，若sinα=，cos（α﹣β）=，求：①cosβ的值；②tan的值．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】①根据α，β的范围计算cosα，sin（α﹣β），利用两角差的余弦公式计算．②利用①的计算结果和半角公式进行解答．【解答】解：①∵α、β∈（0，）且α＜β，sinα=，cos（α﹣β）=，∴cosα=，sin（α﹣β）=﹣，∴cosβ=[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×（﹣）=；②∵cosβ=，sinβ=，∴tan===．21.若f（x）是定义在（0，+∞），对一切x，y＞0，满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0（1）证明：f（x）在（0，+∞）是增函数；（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；（2）将不等式f（x+3）﹣f（）＜2．行等价转化，利用函数的单调性进行求解．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则＞1，则f（）＞0，又f（x?y）=f（x）+f（y），∴f（x1）+f（）=f（x2），则f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在定义域内是增函数．（2）解：∵f（2）=1，∴f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，即f（4）=2，则