河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试-数学(理)-含答案

中原名校2014-2015学年上期第一次摸底考试高三数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.己知集合\，则下列结论正确的是A.B.3BC.D.2.己知．其中i为虚数单位，则a+b=A.-1B.1C.2D．33.设随机变量服从正态分布N(3，4)，若，则实数a的值为A.B.C.D．4某程序框图如右图所示，则输出的n值是A.21B22C．23D．245己知函数，则函数的零点所在的区间是A.(0,1)B(1,2)C.(2,3)D(3,4)6.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A.B.C.D.7.若，是第三象限的角,则=A.B.C.D．-28.已知a>0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，a=A.B.C.1D.29.已知等差数列的前n项和为，且，若数列在时为递增数列，则实数的取值范围为A.(-15,+)B[-15,+)C.[-16,+)D.(-16,+)10若，则等于A．B．-lC.D．11．”a<0”是”函数在区间上单调递增”的A.必要不充分条件B.充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件12已知一函数满足x>0时，有，则下列结论一定成立的是A．B．C.D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。）13设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________.14.如果双曲线的渐近线与撒物线相切，则双曲线的离心率为__________.15已知平行四边形ABCD中，AB=1，E是BC边上靠近点B的三等分点，AEBD，则BC长度的取值范围是____________.16．己知函数，为的等差数列，则_____________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分12分）在ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量，且(I)求角A的大小及向量与的夹角；(II)若，求ABC面积的最大值18.（本小题满分12分）设X为随机变量，从棱长为a的正方体,的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X=0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积．(I)求概率P(X=0)；(II)求X的分布列，并求其数学期望E(X)．19．（本小题满分12分）己知四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD为矩形侧棱PA底面ABCD，其中BC=2,AB=2PA=6，M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如右图所示：(I)求证：AN∥平面MBD；(II)求二面角B-PC-A的余弦值．20.（本小题满分I2分）己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4(I)求动点P的轨迹的方程；(Il)过点B的直线与，分别交于点M,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积21（本小题辅分12分）已知函数(d为常数）(I)当a=l对，求单调区间；(II)若函数在区间(0，1)上无零点，求a的最大值【选做题】请考生在22、23.24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22．（本小题满分10分）选修4-l：几何证明选讲如图，O是ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E(I)求证：：(II)若，O到AC的距离为1，求O的半径r23．（本小题满分l0分）选修4—4：坐标系与参数方程己知抛物线的顶点M到直线(t为参数)的距离为1(I)求m：(II)若直线与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求的值24(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为(I)求长方体体积的最大值：(II)设，求的最大值理数答案答案：DBACBCDBDADB13.414.315.（1，3）16.10017．解：（1）因为角为锐角，所以，……3分根据………………….6分(2)因为，，得：……9分即面积的最大值为……………….12分18.解（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有种不同取法.其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面).则P(X=0)=.…………………4分（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:①四点在相对面且异面的对角线上,体积为这样的取法共有2种.……………6分②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为.这样的取法共有种………………8分X的可能取值是0，，………………9分X的分布列为X0数学期望E(X)=.………………12分19.（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等份点，∴CM=CN，∴OM//AN，∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD4分．（2）易知为等腰直角三角形,所以BP为外接圆的直径,所以PB=,PA=3如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),设平面的法向量为,，并且,，令得,∴平面MBD的一个法向量为, 6分设平面法向量为,同理可得 8分 10分由图可知,二面角为锐角,QxPABOQxPABOy20．解：(1)不妨设点在点左侧，则设，则整理得：所以动点的轨迹C2的方程为--------5分没有y的范围扣1分(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C2的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点M的坐标为(xP，yP)，∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xM＝eq\f(k2－4,k2＋4)，从而yM＝eq\f(－8k,k2＋4)，∴点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2－4,k2＋4)，\f(－8k,k2＋4))).--------------------------------7分同理，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1）（k≠0），,y＝－x2＋1（y≤0），))得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．由题意可知AM⊥AQ，且．∴，即eq\f(－2k2,k2＋4)[k－4(k＋2)]＝0，∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(8,3).--------------------------------10分∴∴所以的面积为.…………12分答案：21．解：（Ⅰ）当时，函数，由得，由得故的单调递减区间为，单调递增区间为……………5分（Ⅱ）若函数在区间上无零点，则对，恒成立或者恒成立.由，得，，故若，恒成立；若，，所以，函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立.……………8分（后续步骤分为解法一和解法二）解法一：，当，即时，由得，由得，即在区间上单调递减，在区间上单调递增；此时，构造，，故，所以当时，，即对，不恒成立，舍去；…………10分当，即时，由得，由得，即在区间上单调递减，故，满足对，恒成立，综上，，即的最大值为2.…………12分解法二：由对，恒成立可得对，恒成立.令，令，由得在区间上单调递增，即，从而，即在区间上单调递减，由罗比达法则知，即，若对，恒成立，可得，即的最大值为2…………12分22.(1)证明：由D为eq\o(AC,\s\up6(→))中点知，∠ABD＝∠CBD，又∵∠ABD＝∠ECD，∴∠CBD＝∠ECD，又∠CDB＝∠EDC，∴△BCD～△CED，∴eq\f(DE,DC)＝eq\f(DC,DB)，∴DC2＝DE·DB；…………5分(2)∵D是eq\o\ac(AC,\s\up17(︵))的中点，∴OD⊥AC，设OD与AC交于点F，则OF＝1，在Rt△COF中，OC2＝CF2＋OF2，即CF2＝r2－1，在Rt△CFD中，DC2＝CF2＋DF2，∴(2eq\r(3))2＝r2－1＋(r－1)2，解得r＝3.…………10分23.解：（1）M(0，m),直线l的一般方程QUOTEM到直线的距离为QUOTE