2023届四川省金太阳大联考高三上学期10月联考数学（理）试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2023届四川省金太阳大联考高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次不等式求解可得，再求交集即可.【详解】由题意可得，则．故选：A2．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，再令可得解.【详解】由，得，令，则，解得，故选：B.3．一艘轮船从A处沿正东方向航行10千米到达B处，再从B处沿北偏东30°的方向航行15千米到达C处，则A，C之间的距离是（

）A．千米 B．千米 C．20千米 D．千米【答案】D【分析】根据余弦定理计算得解.【详解】在中，千米，千米，，则由余弦定理可得，则千米．故选：D.4．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据中间量比较大小.【详解】因为，，，所以．故选：C5．在中，角B是最大的内角，“”是“是钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】充分性：由，平方化简得，所以，则是钝角三角形，必要性：举反例证明即可.【详解】由，平方得，所以，角B是的内角，所以，所以，则是钝角三角形，反之，不一定成立，不妨设，则，故“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A.6．已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用诱导公式对已知等式化简可求得，然后利用正切的二倍角公式可求得结果.【详解】由题意可得，则，所以，所以．故选：B7．已知函数（，且），若，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】通过计算，发现，故，由此可求.【详解】因为，所以，所以，所以．因为，所以．故选：A.8．已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数的性质可得，进而即得.【详解】因为，所以，所以，解得．故选：C.9．已知，则和1的大小关系是（

）A． B．C． D．与m的取值有关【答案】A【分析】根据不等式的性质进行判断即可.【详解】因为，所以，则．故选：A10．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】连接PO，根据平面向量的线性运算可得，再根据正八边形的性质可得的取值范围，结合即可求得的取值范围.【详解】如图，连接PO．因为，，所以．因为正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，，所以．因为，所以，所以，即的取值范围是．故选：D11．已知，，且，若恒成立，则满足条件的整数m的个数是（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解.【详解】，，且，当且仅当时等号成立，则，即，解得，所以整数m可取，共4个.故选：C12．函数的最大值是（

）．A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用两角和（差）的余弦公式及同角三角函数的基本关系将函数化简得到，令，则问题转化为求，的最大值，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解.【详解】解：因为．设，则，则问题转化为求函数，上的最大值，故．由，得，由，得或，则在和上单调递减，在上单调递增．因为，，，所以，即的值域是．故选：B二、填空题13．已知向量，，若，则______．【答案】3.25【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标运算，即可求解.【详解】因为，，所以．因为，所以，即，解得．故答案为：14．已知函数，若，则______．【答案】3【分析】运用换元法和代入法进行求解即可.【详解】令，得，则．因为，所以，解得．故答案为：315．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，，且的周长和面积分别是14和，则______．【答案】4【分析】根据三角形面积公式和余弦定理列方程，解方程求即可.【详解】因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以，所以．由余弦定理可得，即，所以，则，解得，故答案为：4.16．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是______．【答案】【分析】构造函数，由题意可知不等式等价于，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.【详解】设，则．因为，所以，即，所以在上单调递减．不等式等价于不等式，即．因为，所以，所以．因为在上单调递减，所以，解得．所以不等式的解集是故答案为：三、解答题17．设函数．已知p：在上单调递减；q：存在，使得，其中是的导函数．(1)若p是真命题，求a的取值范围；(2)若“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，求m的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】(1)根据函数的单调性与导数的关系列不等式求a的取值范围；(2)化简命题，由条件关系列不等式求m的取值范围．【详解】(1)由题意可得．因为p是真命题，所以在上恒成立，则，即，解得，即a的取值范围为．(2)因为在内有解，所以在内有解，因为函数在单调递增，所以函数在上值域为，所以．因为“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，所以，又，所以，解得，即m的取值范围为．18．已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.【详解】(1)因为，令，解得，则的单调递增区间是；(2)由（1）可得．因为，所以，所以，所以，即在区间内的值域为．19．为了更高效地推进乡村振兴，某乡村振兴小组计划对甲、乙两个项目共投资100万元，并且规定每个项目至少投资20万元依据前期市场调研可知甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额（单位：万元）的数据情况如下表所示．投资金额t4055100收益307.530设甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元）．(1)根据所给数据，从①；②；③三个函数中选取一个合适的函数描述乙项目的收益与投资金额t的变化关系，并求出该函数解析式．(2)试问如何安排甲、乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值．【答案】(1)合适，；(2)对甲项目投资60万元，乙项目投资40万元，才能使总收益取得最大值630万元．【分析】（1）根据函数单调性选择函数，利用代入法，通过解方程组进行求解即可；（2）利用导数的性质进行求解即可；【详解】(1)由表格中的数据可知函数不单调．因为在①②中，均为单调函数，所以乙项目的收益与投资金额t的函数关系为．把，，分别代入，得，解得．故；(2)设甲项目投资金额为x万元，则乙项目投资金额为万元，因为每个项目至少投资20万元，所以，解得．由题意可得设，则．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则．故，即对甲项目投资60万元，乙项目投资40万元，才能使总收益取得最大值630万元．20．如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中，米．现将该三角形菜地分成三块，其中．(1)若，求的长；(2)求面积的最小值．【答案】(1)米(2)平方米【分析】（1）利用正弦定理求出的长，分析可知为等腰三角形，可得出的长，进而可求得的长；（2）用表示、的长，利用三角恒等变换化简面积的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得面积的最小值.【详解】(1)解：在等腰中，因为，则，在中，由题意可得米，，．且，由正弦定理可得，则米．因为，，所以，则米，故米．(2)解：设，其中，则，．在中，由正弦定理可得，则米．在中，由正弦定理可得，则米．的面积．因为，，则，所以当，即时，，故面积的最小值是平方米．21．已知函数．(1)当时，证明：．(2)记函数，若为增函数，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证，即证，设，然后利用导数可证得，则可得，从而可证得结论，（2）由题意可得在上恒成立，则在上恒成立，由（1）可得，化简得，从而可得，进而可得答案.【详解】(1)证明：当时，（）．要证，即证．设，则．当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则．所以，所以，即，当且仅当时等号成立．(2)解：因为，所以．因为为增函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立．由（1）可知，则，即，从而，即，当且仅当时，等号成立．故，解得，即a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数求函数的最值，第（2）问解题的关键是将问题转化为在上恒成立，再利用（1）的结论可得，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.【详解】(1)由（为参数），得，故曲线C的普通方程为．由，得，故直线l的直角坐标方程为．(2)由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，设A，B对应