北京理工大学珠海学院电磁学解题指导

电磁学解题指导第5章静止电荷的电场5.1基本要求1、 掌握静电场的电场强度和电势的概念、电场强度叠加原理和电势叠加原理以及电场强度和电势的积分关系；2、 能利用线积分计算一些简单问题中的电场强度和电势；3、 理解静电场的规律、高斯定理和环路定理及其应用的条件和方法。能利用高斯定理和环路定理计算电场强度。5.2内容提要1、 电荷（1） 、电荷守恒定律电荷是物质的基本属性之一，它有正电荷和负电荷两种，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。物体的带电过程是物体经摩擦、加热、感应或辐射等使物体得到或失去电子而呈带电状态。在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。这就是电荷守恒定律，它是物理学中的基本定律之一。（2） 、电荷的量子性物体所带电荷量不可能取任意数值，而只能取某一基元电荷量的整数倍，这种性质称为电荷的量子化。这个电荷量就是电子所带电（荷）量的绝对值e，其国际推荐值为e=1.602177733x10-9C，其中C（库仑）是电量的单位。2、 库仑定律TOC\o"1-5"\h\z在真空中，两个静止点电荷之间相互作用的静电力与这两个点电荷所带电量q和q的乘积成正比，与它们之间的距离,（,或,）的平方成反比，作用力1 2 12 21的方向沿着它们连线的方向。数学表达式：F=Kq1q^，式中K=9.0x109Nm2/C2=—为比例常数；

r2 4兀80._.、一. ClClf矢量表达式：F= 12r4兀8r3式中80称为真空电容率，也称真空介电常数，其国际推荐值为8=8.854187817x10-12C2/Nm2，近似值为8=8.854187817x10-12C2/Nm2。°3、静电力叠加原理 0当空间有两个以上的点电荷（q,q,,q）时，作用在某个点电荷q所受的1 2n i，总静电力Ft，等于其它点电荷单独存在时作用在该点电荷上的静电力F^的矢量和，艮口F=弋F=-^也r， 这就是静电力叠加原理。i...ij4兀8r3..ij4、电场电荷之间的相互作用是通过“场”传递的，即任何电荷都在其周围空间激发电场。电荷之间的相互作用是其中一个电荷所激发的电场对另一个电荷的作用。电场对处于其中的电荷的作用力，称为电场力。相对于观察者静止的电荷，在其周围空间所激发的电场，称为静电场。电场是电磁场的一种特殊存在方式，是物质的一种形态。电磁场也具有能量、动量和质量等物质的基本属性。5、电场强度电场中某点处场强E的大小等于单位电荷在该点受到力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。数学表达式为E=F,电场强度是空间坐标的矢量函q勺数，其单位为：牛顿/库仑（N/C）或伏特/米（V/m）。6、 场强叠加原理电场中任一点处的总场强E等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。数学表达式：E=ZE=E1+E；+...+EL7、 电场强度通量（E通量）在电场中通过任何曲面S的电场线条数，称为穿过该面的电场强度通量，用@e表示。数学表达式为中=jd。=jEcos8dS=jE•dSs s s8、 点电荷q电场的电场中，电场力对试验电荷的功A=jF•dl=jEq•dl=jEqcosBdl=f—dr= （4一-!-）ab 0 0 4k8r2 4双rr结论:在点电荷q的电场中，电场力对试验电荷的功，只决定于运动路线的起点和终点位置，与路径无关，经任一闭合线路回到原处的功为零。9、 点电荷系电场的电场力对试验电荷的功试验电荷在电场中运动时，点电荷系电场的叠加的电场力的功等于各点电荷所做的功的代数和。qq1 1A=JF•dl=JqE•dl=J（E+E+…+E）•dl=乙qqo（-）ab 0 1 2 n 4兀8rr10、"电势 a a 0「b（1）、电势能电荷在电场中受场力的作用而移动时，电场力要对电荷作功，该功只与电荷移动路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。因而，电场力是保守力。电场力对电荷做功，使电荷在电场中相应位置的电势能发生变化，即Ab=jqE•dl=W-W^=-AW，式中Ab表示电荷在电场中从位置a移到位置ba电场力所作的功，AW表示电势能的增量。在电场中某点a处的电势能Wa等于电荷q0从a处移到电势能零参考点时，静电场力的功，W=A=j（0）Eq•dr。aa”a0（2）、电势的定义

电势是从做功的角度来描述静电场特性的物理量，静电场中某点«处的电W势，等于单位正电荷在该点的电势能，即U=a。° ^0由于电势能只具有相对的意义，因而确定电荷在电场中某一点的电势能的大小，必须选定一个作为参考的电势能零点。所以，静电场中某点a处的电势，等于单位正电荷在该点经任意路经到电势能零点的过程中，电场力所作的功，* 势能零点-艮口 U=JE•dl。a（3） 、电势差在静电场中，任意两点A和B的电势差，通常叫电压，用公式表示为uB=ua-ub=fE•dl.• 一一A一 ._ 一这就是说，静电场中，任意两点A和B的电势差，等于单位正电荷从A点经任意路经到B点的过程中，电场力所做的功。（4） 、用电势差表示电场力的功当任意电荷qo在电场中从A点移到B点时，静电场力所作的功也可用电势差表示，即 A=q（U—U）。11、电势叠加原理：“在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，即U=Yu。、 i=112、 等势面：电势值相等的点组成的面，称为等势面。13、 电势与场强的关系电场强度E与电势U都是描述同一电场中各点的特性的，它们之间有如下的关系$” •积分关系 U-JE•dl；a微分关系E=—VU=—gradU，或E=—dUn，dn. 8「3‘3‘ 一J 、一式中V=ki+kj k，称为梯度算子，VU和gradU称为电势梯度，它是一oxoycz一 …一-, … 0U、..个矢量，其方向沿着等势面的法向单位矢量n的方向，大小等于°U。该式表示，on静电场中各点的电场强度等于该点电势梯度的负值，也就是说，静电场中各点的电场强度的大小等于该点电势空间变化率的最大值，其方向平行于使空间变化率为最大的方向，指向电势降落的一侧。在直角坐标系中，场强分量与电势梯度的关系为CUE=ouE=—0U

d^y d^z Oz故有- -• -•CU-CU，CU•故有E=Ei+Ej+Ek=—(——i+——j+——k)xyz Cx Cy Cz总之，只要知道E和U中之一的分布，就可以利用上述关系求出另一个分布。一般来说，由于电势是标量，它的计算往往比场强简单。因此在很多情况下可以先直接算出电势的分布，然后利用其梯度来求出场强的分布。只有在带电体具有一定的对称性的情况下，才能较方便地先求出场强的分布，然后用场强的积分来计算电势的分布。14、 高斯定理：在真空中的任何静电场中，通过任一封闭曲面（高斯面）的电场强度通量中°等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和乘以1/80。数学表达式：中=jE•dS=—Sq=—s 0i 015、 静电场的环路定理：试验电荷在电场中运动时，经过任意闭合回路回到原来位置，电场力的功等今，艮即A=jF•dl=0,「.jE•dl=0 静电场环流为零，故称为无旋场。i i16、静电感应现象当一个不带电的导体放在电场强度E0的静电场中，在最初短暂的时间内（约10-14s数量级）导体内会有电场存在，驱使电子作定向运动，必然引起导体内部正、负电荷的重新分布，最后达到静电平衡。在导体的两端出现等量、异号的电荷，这种现象称为静电感应现象。17、 导体静电平衡状态导体静电平衡时，其内部场强处处为零，导体内部和表面都没有电荷的定向移动，导体所处的这种状态称为导体静电平衡状态。18、 导体静电平衡条件导体内任一点的电场强度都等于零。在带电导体上，电荷只分布在导体的表面上，导体内部处处都没有未被抵消的净电荷。推论一：导体是等势体，其表面是等势面b一.U=Ub,U-Ub=\E•dl=0；a推论二：导体表面的场强都垂直导体表面（力线正交等势面）。19、 导体的面电荷密度与场强的关系导体表面附近的场强在数值上等于该处面电荷。的1/80，方向为导体表面的法线方向，即 OE=—n。80导体表面各处的电荷分布与其曲率有关，凸出而尖端的地方曲率较大，电荷面密度较大；平坦的地方曲率较小，电荷面密度较小，凹陷的地方曲率为负，电荷面密度更小。在导体尖端的附近电场特别强，会发生尖端放电。20、 电容（1）、孤立导体的电容附近没有其他导体和带电体的孤立导体，它所带的电量Q与其电势U成正比，即 C=QU式中比例系数C称为孤立导体的电容，它与导体的形状和大小有关，而与Q和U无关。电容反映了导体储存电荷和电能的能力，其单位是F（法拉），在实际中常用RF（法微）和pF（皮法）。

、平板电容器的电容厂esC=—0—d(3)、(4)、圆柱形电容器的电容(3)、(4)、2neC= o——lnR/R孤立导体球电容器的电容C=4双£R式中R为球面半径。°’、球形电容器的电容设内、外球半径分别为R1和R2,其间介质的相对电容率为£’，则其电容为C_4兀£°£R1R2一R-R21、电介质中的高斯定理 21通过任一封闭曲面(高斯面)的电位移通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和数学表达式 £D•dS_q。s22、 电位移矢量 B- ► ―rD_£E+P，在各向同性、线性介质中I ——►D_£0£E_£EB式中P为电极化强度，电位移单位为C/m2。23、 静电场的能量密度W£E2w_——_ V25.3解题思路1、 场的概念赋予空间各点一种局域性，要求确定一个物理量(如电场强度)在空间的分布。对电场来说，要求具体求出电场强度的分布和场源电荷的关系、能确定一个电荷所在电场中各处受的力，从而决定其运动；2、 对电场的求解，要注意参考系，本章讨论在场源电荷静止的参考系内的电场分布。电场强度公式的定义中的检验电荷q0，在参考系中是静止的；3、 在数理逻辑推理中求电场强度时，一般都是用矢量或矢量积分。在应用叠加原理求电场强度时，是矢量和的数学方法，不能只是代数相加；4、 用高斯定律求解电场强度时，只有在场源电荷的分布具有一定的空间对称性时，才有数学上的可能性。只有在这中情况下，才有可能将表示电场强度大小的量E从积分号下提出来，得出解析的结果。电场强度方向的分布，要根据对称性来分析。

5、 求电势有两种方法：一是在已知电荷分布的情况下，求出电场分布，再用电场的线积分来求。积分的起点是其电势待求的场点，终点是零势能点。另一种方法是用点电荷的电势叠加，这时要注意电势零点以选在无穷远处了。6、 分析电容器的问题时，要注意Q是两极板表面上各自所带的电量的大小。两极板间电压和电场强度的关系要具体分析，平板电容器、圆柱形电容器和球形电容器的U-E关系是不相同的；7、 有电介质存在的情况下，求电场E分布时，一般应先根据自由电荷的分布求出D的分布，然后利用 b D=£0£E求出E的分布。6.4例题解答5-5.直角三角形ABC的A点上，有电荷q1=1.8x10一9C，B点上有电荷q=—4.8x10一9C，试求C点的电场强度(设BC=0.04m,AC=0.03m)。图5-52图5-5分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。已知：q1=1.8X10-9C,q2=-4.8X10-6C、BC=0.04m，AC=0.03m。解：qi在C点产生的场强E1=0q2在C点产生的场强E=麻EcC点的合场强E=+C点的合场强E=+E2=3.24x1045-6长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度人=5.0x10-9C・m-1的正电荷.试求：在导线的延长线上与导线B端相距，=5.0cm处p点的场强;题5-6图在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强.题5-6图解：如题5-6图所示(1)在带电直线上取线元位，其上电量dq在p点产生场强为dEP1 人dEP4ns(a—x)20E=jdE=-^j2—d^-PP4ns—l(a—x)2

[_^__^]4淀[ii」0a——a+—2 2Xl用l用l=15cm双(4a2—l2)0人=5.0x10-9C-m-1,E=6.74x102n・C-1a=12.5cm代入得方向水平向右(2)同理dE(2)同理dEQ方向如题5-6图所示由于对称性即即Eq只有y分量，Xdx d2dEQy 4兀80X2+d2寸X2+d2E_fjQylQy 4n8 —2(x2+d2)22 2Xl2n£JI2+4d2以X=5.0x10-9C-cm-1,l=15cm,d2=5cm代入得EQ=EQy=14-96x102N.C—1，方向沿y轴正向。5-11(1)点电荷0位于一边长为a=1的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少？解： (1)由高斯定理bsEdS=80立方体六个面，当0在立方体中心时，每个面上电通量相等・.・各面电通量(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使0处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量①=乏e68对于边长a的正方形，如果它不包含0所在的顶点，则中=«

e2480，如果它包含0所在顶点则①e=0。5-13半径分别为10cm，和20cm的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为10-9C/m3，求距球心为5cm、15cm及50cm各点的电场强度.

分析由于电荷分布具有球对称性，所以电场分布也是球对称的，在半径为r的同心球面上各点场强大小相等，沿径向，可以用高斯定理求解.本题也同样可用场强叠加原理，由均匀带电球面的场强积分求出空间场强分布.解球壳内外半径分别为R=0.10m，R=0.20m，题中所求三点到球心的距离分别为2SCrc为半径作球形高斯面S「S「SC，如图5-13所图5-13SCrc为半径作球形高斯面S「S「SC，如图5-13所图5-13示.由于电场分布的球对称性，对各球面的高斯定理表达式均可写为fE-dS=E-4兀r2=―^q (1)0(1)rA=0.05m，即rAVR1，在七面内包围的电荷£q=0，代入(1)式得A A1 B SaEA•4兀r2=0 EA=0(2)rB(2)rB=0.15m，即RVrBVR2在SB 包围的电荷为、 p4兀4兀r2-dr= (r3—R3)B

代入(1)式得一正方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心o点的距离均为5cm。代入数字得 EB3p(3-R3)10-93x8.85x10-代入数字得 EB3p(3-R3)10-93x8.85x10-12x0.15[0.103)0.152)(3)r=0.50m代入(1)式得P380rB-§I rBJN/C=3.98N/C，即rC>R2，在SC面内包围的电荷为£q=fpW=pfR24兀r2-dr="丸pSc R13(r2-R13), 4兀( )-4兀r2=——pR—R3/0代入数字得E 10-9x・203-0.103)CN/C3x8.85x10-12x0.502=1.06N/C。5.16、点电荷q】、q2、q‘、44的电荷量各为4X10-9C，放置在计算o点处的场强和电势；将一试探电荷q0=10-9C从无穷远移到o点，电场力作功多少？问(2)中所述过程中q。的电势能的改变为多少？已知：qi=q2=q3=q4=4X10-9C,(=5cm,q0=1.0X10-9C求：(1)E0,U°；(2)A；(3)AW解：(1)由于电荷的对称分布，电场强度矢量E0=0,U=工性+q+q+%=上.q=2.88X103V；° 4k8rrrrK8r电场力作功A=q°(U-U°)=10-9x2.88x103=-2.88x10-6Jq0的电势能的改变AW=W-W=0-(-2.88x10-6)=2.88x10-6J5-19两个同心球面，半径分别为10cm和30cm。小球面均匀带有正电荷10-8C大球面带有正电荷1.5X10-8C。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。已知：r1=10cm,r2=30cm,qj10-8C,q2=1.5X10-8C求：ut/u2 2解：由均匀带电球面电势公式和电势叠加原理，可得U=—q—+—q^=9X109(上+15)X10-8=900V14双r4双r 0.20.3U=q1+q=9X109X1+15X10-8=450V2 4双r 0.5图5.215.21、如图5.21所示，AB两点相距2/，半圆以B为圆心，半径R=l。正电荷q位于A点，负电荷-q位于B点。求：1、图5.21把单位正电荷从0，经半圆OCD移到D点时，电场力所做的功；2、把单位负电荷从D点，经AB的延长线移旨到无穷远时，电场力所做的功。 l解：静电场是保守力场，电场力所做的功与 r路径无关。bb-由A^=qjE•dl=-AW，或A^=-q0AU=q0(U-U^)a1a1、因为u=―q—+——=0，

o 4双l4双l_q工—q_-q + ，D 4双x3l4双l6双l所以A =1x(U—U)=0—^~&'l(J);oo

2、设穷远处电势为零.同上理，可得气疽"厂U）叩疽吝（J）。05-29三个平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、B相距4.0mm,A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图9-5所示，如果A板带正电3.0x10-7C，略去边缘效应，（1） 求B板和C板上感应电荷各为多少？（2） 以地为电势零点，求A板的电势.分析由静电平衡条件，A、B、C板内各点的场强均为零，A板上电荷分布在两个表面上，因B、C两板均接地，感应电荷应分布在内侧表面上.解（1）设A板1、2两面上带电量分别为q和q，B、C两板与A相对的两内侧表面3、4上的感应电荷分别为％'和q2’"如图9-5所示.作侧面与平板垂直的高斯面s]，两端面处E=0，忽略边缘效应，侧面无电场线穿过，由高斯定理jE-dS=—£q=—（%AS+qAS）=0£0匕SS得 q；=-qi同理可得q；=-q2.ab板间和ac板间为匀强电场，场强分别为E=qi E=q2q1 q2图9-51 £°S 2 q1 q2图9-5因q]+q2=q=3.0x10-7C由以上各式，得B、C两板上的感应电荷分别为q；=-q]=-3=-1.0x10-7Cq'=-q=-2q=-2.0x10-7C2 2 1（2）取地电势为零，A板电势即为A、B间电势差V=V=Ed=虬=2.3x103VAAB11 £S第6章恒定电流的磁场6.1要求1掌握磁感应强度的概念，理解毕奥一萨伐尔定律并能利用其计算简单问题的磁感应强度； 、“2理解恒定磁场的规律，磁场高斯定理和安培环路定理。掌握用安培环路定理计算磁感应强度的方法；3掌握安培定律的洛仑兹力公式，能计算载流导线在磁场中受的力，能分析运动电荷在均匀电场中和磁场中的受力和运动。6.2内容提要1电流（1） 定义：单位时间内，通过导体中任一横截面的电量，简称为电流。（2） 数学表达式I=竺，At时间内流过导体任一横截面的电量Aq；At2电流强度 i=lim回=dAt项Atdt3电流密度定义式j=qnv，或di=j•dS=jdScos0—b 4恒定电流的重要性质 [j•dS=0s5欧姆定律（1）中学物理欧姆定律 I=匕—匕,R=p-；R S（2） 大学物理di=竺,R=pd=-d,dI=j,E=竺，Rdsydsds dl■■（3）欧姆定律的微分形式 j=yE6磁场磁铁、电流和运动电荷，不论是同类之间还是彼此之间，都存在磁力的相互作用。一切磁力都起源于电荷的运动，磁力是通过磁场传递的。也就是说，运动电荷（包括电流或磁铁）在其周围空间激发磁场，磁场再作用于运动电荷（电流或磁铁）。磁场也是电磁场的一种特殊存在方式，是物质的另一种形态。7磁感应强度磁感应强度是描述磁场各处强弱和方向的物理量，它的定义有三种方法：（1） 用磁场对运动电荷的作用来描述磁场。在磁场的每一点都有一个特定■的方向，当试探电荷q0沿着这个方向运动时不受力，这个特定的方向定义为B的方向。在磁场中的每一个点，当试探电荷q0的运动速度与B垂直时，它所受的力最大为F，则定义B的大小为B=土咋；max qV..°*（2） 用电流元在磁场中所受的力来描述磁场，把试探电流元idl放在磁场中的某点处，它所受到的力与试探电流元idl取向有关。在某个特定的方向上，F受力为零，而与它垂直的方向，受力最大为F，则定义B的大小为B=max。max idl（3）利用小电流线圈在磁场中所受的力矩来描述磁场，将载流线圈放在磁场中的某点处，它可以自由转动，则定义线圈在平衡时的正法线方向（电流方向与线圈的关系由右手螺旋法则决定）为B的方向，其大小为B=Ms^，式中Mmax为钱圈受到的最大力矩，I和S为线圈中的电流和其面积。磁感应强度的单位是T（特斯拉），在高斯单位制中用Gs，1T=104GS。8毕奥―萨伐尔（实验）定律把任意形状的载流导体划分为许多电流元，整个载流导体所产生的磁场，就是这些电流元所产生的磁场的叠加。电流元Idi在空间某点P产生的磁感应强度dB的大小与Idi成正比、与Idi到P点处的矢径r之间的夹角成正比，而与产成反比。数学表达方式为：dB业0以，诅°业°仙x，4兀r2 4兀r39磁感应强度叠加原理磁场中某点的总磁感应强度（或称磁场）等于所有电流元各自在该点产生的磁感应强度的矢量和。数学表达式：B=jdB=%j些^，4丸 r3i（1）载流圆线圈轴线上的磁场：b=巳.加，圆心处场强b=y；12p（R2+12）3 。2R（2） 距无限长直载流导线a处的磁场：B=虹；2兀a（3） 无限长螺旋管：B=p0HI，即B的大小于P点在轴线上的位置无关，轴线上的磁场是均匀的，半无限长螺旋管：B=1ponI； 『2『一『一一…10磁通量（与①类比）：中=Jd©=JBcosadS=JB•dSwb/m2；s s11磁场强度磁场强度是描述磁介质中磁场的一个辅助的物理量，磁介质中磁场不仅与磁源电流有关还和磁介质的磁化电流有关。磁场强度定义为H=—-M，式中M为磁化强度，磁场强度的单位是A/m，在高斯单位制R0中，为奥斯特，用符号O表示，1A/m=4兀x10-3O。对于各向同性磁介质，B=日日H=日H，式中r为介质的相对磁导率。0r r磁场中各点的B和H的方向相同。12磁场的高斯定理：通过任意闭合曲的磁通量恒等于零。数学表达式 EB•dS=0。s在有磁介质存在时，式中的B应为传导电流产生的磁场B0以及介质磁化电流产生的附加磁场B'的总和，即B=B0+B。磁场的高斯定理的微分形式为 v.B=0，这表明磁场是一个无源场。13安培环路定理在磁场中，磁感应强度B沿任一闭合环路L的线积分，等于穿过环路所有电流强度I的代数和的p0倍。 f- -V数学表达式：JB•dl=p0工I；L i14安培定律电流元Idl在磁场中任一点处所受到的作用力dF为dF=IdlxB，式中B为此处的磁感应强度；dF称为安培力。安培力F的方向，按右手螺旋法则，此式称为安培定律，亦称为安培公式。（1）对任意形状载流导线在磁场中所受的安培力F=JdF=JIdlxBLL（2）长为l载流导线所受的安培力大小F=BIlsin0，式中0为电流I与磁场间的夹角，方向由IdlxB确定。15磁场力的功载流导线在磁场中运动时，磁力所作的功和载流线圈在磁场内转动时磁力矩所作的功都等于A=I△中，式中△中表示通过回路面积或线圈的磁通量的增量。16洛仑兹力. —t■电荷量为q的带电粒子在磁场中以速度v运动，所受到的磁力为F=qvxB，其大小为qvBsin0,力的方向按右手螺旋法则，在普遍情况下，当一个带电粒子在既有电场又有磁场的区域里运动时，作用H h—» ■'在该粒子上的电磁力为 F=q（E+vxB）此式称为洛仑兹力公式，是电磁学的基本公式之一。17带电粒子在均匀电场和磁场中的运动（1）带电粒子在均匀电场中的运动] —t ] —►F=qE,F=ma；（2）带电粒子在均匀磁场中的运动设有一均匀磁场，磁感应强度为B，一电荷量为q，质量为m的带电粒子以初速度V0，进入磁场中运动1） 如果v0//B，磁场对带电粒子的作用力为零，带电粒子以速度v0作均速直线运动；2） 如果V0±B，磁场对带电粒子的作用力最大，其方向垂直v0，带电粒子以速度匕作均速圆周运动，圆轨道半径为R=业， 回转周期为T=她，周期T与口和R无关。qB qB18磁场强度矢量19介质中的安培环路定理6.319介质中的安培环路定理6.3解题思路fB-•dl=LfH•dl=ZIiL i=11、在应用洛仑兹力公式求磁力时，特别要注意各矢量的方向之间的关系，带电粒子的速度V是相对参考系的速度；2、 安培力的公式也是矢量公式。要分清F,dl,B的方向，式中B是电流元所在处的外磁场的磁感应强度；3、 利用安培环路定理求恒定电流磁场时，要根据电流分布的对称性分析出磁场分布的对称性，然后选择适当的环路求解。6.4思考题解答异形密绕长直螺线管，管内磁场是否是均匀磁场？其磁感应强度是否仍可按B=即1计算？答：异形密绕长直螺线管，管内磁场仍然是均匀磁场，其磁感应强度仍可按B=即1计算。这是因为：异形截面的密绕长直螺线管可以看成是许多截面较小的具有同样的n和I的圆形截面螺线管平行集束形成的。在管内任一点P处相邻的圆螺线管的电流方向相反，合电流为零，只有边界上的电流仍然是I。这样，这个圆形螺线管束的电流的总的分布和原来异形截面的密绕长直螺线管的电流分布是一样的，其磁场分布也是一样的。所以其磁感应强度仍可按B=^nI计算。6.5习题精解6-2一边长为l=0.1m的立方体如图放置，有一均匀磁场B=（6i+3j+1.5k）T通过立方体所在区域，计算（1） 通过立方体上阴影面积的磁通量；（2） 通过立方体六面的总通量。已知：l=0.1m，已知：l=0.1m，B=(6i+3j+1.5k)T解：(1)B=(6i+3j+1.5k),S=12i=0.01i,—►—fc- ■ —fc- —► •中=B•S=(6i+3j+5k)•(0.01i)=0.06WZ?(2)①'=06-3、在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一半径为解：(1)B=(6i+3j+1.5k),S=12i=0.01i,—►—fc- ■ —fc- —► •中=B•S=(6i+3j+5k)•(0.01i)=0.06WZ?(2)①'=06-3、在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B与半球面轴线的夹角为a,求通过该半球面的磁通量。解：由磁场的高斯定理—> ―*fB•dS=05可知通过该半球面的磁通量为通过圆面S的磁通量，所以—k.—»■0=B•S=nR2Bcosa。6-4、两根长直导线相互平行放置，通过的电流大小相等为I=10A，方向相同。求图中M、N处的磁感应强度的大小和方向（图中r=0.5m）。解:距离长直导线r处的磁感应强度的大小为：uI0-2兀r图6-4其方向根据右手定则判定，如图6-4所示。 1 根据磁场叠加原理B=B+B2由磁场的对称性，可知M点处Bm=0；而N点n1 2 4 冗r 4 2兀r 0.5其方向沿水平向左。6-7、如图6-7所示，有两根导线沿半径方向接到铁环的a和b两点上，并与很远的电源相连接。求环中心O点处的磁感应强度。解：两铁环为并联电路，且电流的大小与其长度成反比，由于圆的对称性，通过铁环的电流所产生的磁感应强度的大小相等、方向相反，相互抵消，其和为零。图6-7“与很远的电源相连接”可将两导线看成是半无限长直导线，故可知通过半无限长载流导线的磁感应强度为零。图6-7所以，环中心O点处的磁感应强度为零。6-9、如图6-9所示，一宽为b的薄金属板，其电流强度为I,求在薄板平面上、距板的一边为r处的P点的磁感应强度。解：在薄板所在的平面内，以P点为坐标原点0,作坐标轴OX，如图12.8(b)所示，在薄板内选取一宽度为dx的长直导线，则电流元为dI=Xdx=(I/b)dx，该电流元在P点处磁感应强度方向垂直纸面向外，其的大小为dB=dB=日dI日Idx2兀r 2兀bx总磁感应强度rfb目Idx目11b+r目IB=J—0 ^ln =—^ln2(r=b)2冗bx2冗b r 2冗br方向垂直纸面向外。若金属板的宽度b«r，则有：B=虹仁+1(b)2+…]~X(T)，如图6-9(c)。2沥r2r 2兀r6-14一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为G和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，如题6-14图所示.使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回.设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：导体圆柱内(rVa),两导体之间(aVrVb),导体圆筒内(bV「Vc)以及(4)电缆外(r>c)各点处磁感应强度的大小解: JB•d「f21r<a B2丸r=p竺,B=-^eIr0a2 2丸a2avrvb B2兀r=p0I口IB=d2兀r题6-14图r2-题6-14图bvrvc B2兀r=-p01 +p01

B_―01(c2-r2)2兀r(c2-b2)r>c B2兀r=0所有上式中，a=R,b=R,c=R。1 2 36-17一个电子射入B=(0.2i+0.5j)T的非均匀磁场中，当电子速度为v=5x106jm•s-i时，求电子所受的磁力。已知：v=5X106jm/s,B=(0.2i+0.5j)T,q=1.6x10-19C求：F解：F=qvxB=1.6x10-19•(0.2i+0.5j)x(5x106j)=1.6x10-13kN。6-23任意形状的一段导线AB,如图所示，其中通有电流I,导线放在和匀强磁场B垂直的平面内。试证明导线AB所受的力等于A到B间载有同样电流的直导线所受的力。证毕。dF=IdlxB=BIdxj-BldyiF=BI(jdxj-fdyi)=BILj证毕。6-26如图6-26所示，在长直电流I1=20A，旁有一个载有电流I2=10A的刚性矩形导体框.已知d=1cm,b=9cm,l=20cm求导体框所受的合是多少？，分析当计算AD、BC边在长直电流I产生的磁场中所受拉力时，分别以AB边和DC边为研究对象进行受力分析.在电流孔产生的磁场中，AB边所受的磁场力FAB方向向上，AD边和BC边的拉力『‘AD和Ftbc方向向下，AB边竖直方向无运动，合力为零，即FAB-Ftad-Ftbc=0.又因为矩形框无转动，以任一点，例如A点为转轴，作用于AB边的力矩平衡，可求出Ftbc和Ftad.AD和BC边所受AB边的拉力分别与Ftad和Ftbc等大而反向；所受DC边的拉力分别与Ftad和Ftbc等大而同向.

解矩形框处在电流I产生的磁场中，AB、CD边所受磁场力等大反向相互抵消，AD边所受磁场力方向水平向左，大小为F="AD 2兀dBC边所受磁场力方向水平向右，大小为日_旦IIIBC—2K(d+b)(a)图矩形框所受合力方向水平向左，大小为(a)图(b)第7章变化的电磁场7.1要求1、 掌握法拉第电磁感应定律，理解感生电动势和动生电动势;2、 了解自感系数和互感系数，并会计算；3、 利用法拉第电磁感应定律求解电动势。7.2内容提要1、电磁感应现象当通过一个闭合回路所包围的面积内磁通量发生变化时，回路中就产生感应电流，这种现象称为电磁感应现象。2、法拉第电磁感应定律当通过一个固定不动的闭合回路所包围的面积内磁通量发生变化时，回路中就产生电动势，这种电动势称为感生电动势8.,其大小和通过回路磁通量的变化率成正比；方向有赖于磁场的方向和它的变化情况。数学表达为捋，该式就是法拉第电磁感应定律。式中负号反映了感生电动势的方向，确定感生电动势的方向的方法是:先规定回路绕行正方向，再用右手螺旋法则确定此回路所包围面积的法线正方向。然后，确定通过回路面积磁通量的正负，凡是通过回路面积的B的方向与正法线方向相同者为正，相反者为负；最后再考虑中〃的变化，确定今的正负。如果今>0，由上式可知七Y0；这时感应电动势的方向与所确定的回路正绕行方向相反。反之，如果£|m>O，由上式可知&.Y0；这时感应电动势的方向与所确定的回路正绕行方向一致。如果回路是由N匝线圈串联而成，若每一匝中通过的磁通量相同。那么，整个回路中的感应电动势为 £=—N—_m=- _口dt=-dm，TOC\o"1-5"\h\zidt dt式中^m=NR，称为磁通匝链数，简称磁链。（1） 电阻为R的闭合回路中，感应电流为I=R=-R岑（2） 一定时间内，通过闭合回路中任一截面感应电量Q\o"CurrentDocument"dq=Idt,Q=fIdt—fd①=——2 1R Rti楞次定律1833年，楞次提出了判断感应电流方向的法则，称为楞次定律。这就是：闭合回路中，感应电流的方向总是使得它自身所产生的磁通量反抗引起感应电流磁通量的变化。或者说，感应电流的效果，总是反抗引起感应电流的原因。4动生电动势导体或导体回路在恒定磁场中运动而产生的感生电动势称为动生电动势。（1） 一段长为l的导线在均强磁场B中，以速度V运动时，动生电动势为£=BlVsin0,0为导线速度与磁感应强度之间的夹角。.（2） 一段任意形状的导线ab在非均强磁场中，以速度V作任何运动时，b动生电动势为 £.=f（VxB）•dl，这里线兀矢量dl的方向是任意选定的，a当dl与VxB呈锐角时，£为正，表示£.顺着dl方向；，当dl与VxB呈钝角时，£.为负，表示£与dl方向相反。5感生电动势导体或导体回路不动，由于磁场变化产生的电动势称为感生电动势。6有旋电场的高斯定理f：E•dS=0——有旋电场是无源场。S7自感系数：当闭合回路通有电流I时，其激发的磁场感应强度B与I成正比；穿过该回路的总磁通量①与I成正比：①广中m二LI，L称为自感系数8自感电动势导体回路中，由于自身电流的变化，在自己回路中产生的电动势，称为自感电动势；数学表达式为_如LdI£=- = Ldtdt9互感现象和互感电动势：某一个导体回路中电流的变化，而在邻近导体内产生感应电动势的现象，称为互感现象。这种电动势称为互感电动势。di（1）互感电动势 £=-M竺mdt（2）互感系数£

M=-—m

didt7.3解题思路1关于感应电动势方向的判断，用矢量积中各矢量方向的关系判断动生电动势的方向，用规定回路正方向的方法，根据法拉第电磁感应定律名合出的正负来判断感应电动势的方向；2在求自感系数和互感系数时，常用“补全回路”的方法，最好也要学会用感生电场的线积分的方法；3在求自感系数和互感系数时，要注意甲是通过的单线圈的磁通量的总和。计算互感系数时，要注意两线圈正方向之间的联系。7.4思考题解答1电子感应加速器中，电子加速所得的能量是从哪里来的？试定性解释。答：电子加速所得的能量是从供给电磁铁的电源哪里来的。电子的加速运动使它产生的磁场发生变化，这将使两磁极间的磁场发生变化，这一变化将在电磁铁的的线圈中产生反电动势：。这一线圈中的电源将反抗此反电动势做功，向线圈输入能量。这一能量通过洛仑兹力的作用变为电子动能的增量。7.5习题精解7-1如图所示，通过回路的磁通量与线圈平面垂直，且指向画面，设磁通量依如下关系变化

式中的单位为mWb,t的单位为s,求t=2秒时，在回路中的感生电动势的量值和方向。已知：中=6t2+7t+1(Wb)求：e(t=2s)解：t=2£=-竺=—(12X2+7)X10-3mdt=—3.1x10-2V方向：逆时针XXXXX7-2XXXXX与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为\,r2。已知两导线中电流都为I=10sinot，其中Iq和®为常数，t为时间。导线框长为a宽为b，求导线框中的感应电动势。题图7-2分析：当导线中电流I随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定律£.=-即计算感应电动势，其中磁通量Q—* —*■o=fBDdS，B为两导线产生的磁场的叠加。s解：无限长直电流激发的磁感应强度为B=叮。取坐标Ox垂直于直导线，坐2兀r标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的叠加原理可得x处的磁感应强度大小B=K1+K1，垂直纸面向里2兀(r+x)2兀(r+x)1 2通过微分面积dS=adx的磁通量为dO=BudS=BUdS=―^1—+―^1—adx2兀(r+x)2兀(r+x)1- 1 2 」通过矩形线圈的磁通量为

旦I旦I|,旦a 0+0ladx=0—2兀（r+x）2兀（r+x）I 2兀1感生电动