不动点理论及其应用

不动点理论及其应用主要内容：•不动点理论一压缩映像原理•不动点理论在微分方程中的应用•不动点理论在中学数学中的应用目录：一、 引言二、 压缩映像原理三、 在微分方程中的应用四、 在中学数学中的应用五、 其它、引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。这个重合点就是一个不动点。函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数f(x)在取值过程中，如果有一个点x使f(x)二x，则x就是0000一个不动点。二、压缩映像原理定理：(Banach不动点定理一压缩映像原理)设(X,p)是一个完备的距离空间，t是(X,p)到其自身的一个压缩映射，则t在X上存在唯一的不动点。这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。定义：(距离空间)设X是一个非空集合。X称为距离空间，是指在X上定义了一个双变量的实值函数P(x,y)，满足下面三个条件：。p(x,y)>0，而且p(x,y)=0，当且仅当x二y；。p(x,y)=p(y,x)；。p(x,z)<p(x,y)+p(y,z)， (Vx,y,zeX)。这里p叫做X上的一个距离，以p为距离的距离空间X记作(X,p)。定义：(完备的距离空间)距离空间(X,p)中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。定义：(压缩映射)称映射T:(X,p)t(X,p)是一个压缩映射，如果存在0<a<1，使得p(Tx,Ty)<ap(x,y)(Vx,yeX)成立。定理：(存在和唯一性)考虑如下初值问题葺=f(x,y)，〔y(%)=yo.假设f(x,y)在矩形区域R:Ix一xl<a,Iy一yl<b00内连续，而且对y满足Lipschitz条件，则上述问题在区间I二［x-h,x+h］上有且仅有一个解，其中ooh=min{a,—},M>maxIf(x,y)I.M^ (x,y)gR(1)。传统的证明方法通常，我们分成四步来证明：转换成等价的积分方程y二yo+Jxf(t,y)dt0 x0构造皮卡迭代序列证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解证明解唯一2)。压缩映像原理证明根据上面的理论，先定义X=C[x-h,x+h]=C(I)oo然后，给一个度量p(x,y)=maxIx(t)-y(t)Itel由积分方程y二y+Jxf(t,y)dt，我们可以定义一个映射:x0(Ty)(x)二y+Jxf(t,y(t))dt0 x0我们要证明两点：a.任意xeX，则TxeXb.检验映射T:(X,p)t(X,p)是一个压缩映射p(Tx,Ty)=maxiJf(t,x(T)dT-ff(t,y(t))dT|telx0 x0W2hmaxif(t,x(t))-f(t,y(t))iteI注意函数f(x,y)对y满足Lipschitz条件:if(t,x)-f(t,x)iWLix-xi,1212其中L是一个常数。容易得到p(Tx,Ty)=maxiJf(t,x(T)dT-ff(t,y(t))dTiteIx0 x0W2hmaxif(t,x(t))-f(t,y(t))iteIW2hLp(x,y)因此，只要h取得适当小，使得2hL<1，则映射T:(X,p)t(X,p)是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点y，使得y二y0+Jxf(t,y)dtx0这样，存在与唯一性同时成立。四、在中学数学中的应用例1，假设定义在R上的奇函数f(x)的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。证明：函数f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，xeR特别，取x二0，则f(0)=0。因此0是一个不动点。如果c丰0是一个不动点，即f(c)=c，那么f(―c)=-f(c)=-c说明—c也是一个不动点，而且—c丰c。或者说，奇函数的非零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。例2，给定函数f(x)=3x+a，a,b为常数。x+b。如果函数f(x)有两个关于原点对称的不动点，求a,b应该满足的条件。。在(1)的条件下，取a=&y=f(x)的图像上A,A'两点的横坐标是函数f(x)的不动点，P为函数f(x)图像上的另外一点，而且其纵坐标大于3,求点P到直线AA'距离的最小值，以及取得最小值时点P的坐标。解：设x°是函数f(x)图像上的不动点，则有3x+af(x0)=E二x00整理得x2+(b-3)x-a-0 (*)00由题意知方程(*)有两个根，而且绝对值相等，符号相反。由韦达定理得m由此得b=3，a>0,f(x)=3+—x+32)。在因此，a,b应该满足的条件是：b=3,a>0,a丰92)。在(1)的条件下，取a=&则f(x)=土83x+8由 3x+8由 =xx+3故A(2巨,2叮2)，A'=(-2巨-2迈)设P(x,y)，则y>3。由3x+8得函数f(x)的两个不动点x=2迈，x=-2迈12>3，解得x<-3x+3直线AA'的方程为y=x。设点P到直线AA'的距离为d。d=…=丄|x-止亠x2-9)+1=丄[(-x-3)+丄+6]2 <2x+3 2—x—3 <2 —x—3n丄(2+6)=4、.迈2当且仅当—x-3=一1，即x=-4时上式等号成立，此时,-x-3x=_4,y=4故点P到直线AA'距离的最小值为4、/2，此时点P的坐标为(_4,4)。五、其它a.还有很多其它不动点定理Brouwer不动点定理:n维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质，即如果S表示这个球，f:STS是任意连续函数，则存在一个点nnnxGS，使得f(x)=x0n00

在经济均衡理论中的应用例如，经典的Leontieff模型。假设每生产一个产品有N个生产者，p,i二1,2,...,NiX表示生产者P的全部产品，X表示P生产的产品被Pi i ij i jY=Y=X—乞xii ijj=1上式含义：P的全部产品数与由生产者P,P,...,P消耗的总数之i12N差。Y称为商品i的“最后要求”。i闭合的Leontieff模型假设Y=0,i=1,2,...,N。ia=二称为“产品系数”jXi如果a是常数，那么(I—A)X=Y，其中A=(a)，TOC\o"1-5"\h\zij ijX=(X,...,X)，Y=(Y,...,Y)。1N 1N一般情况下，假设a为正连续函数。ij/(x)称为“要求函数”表示当P的收益为x，而花费在由ij iPj生产的产品G上的资本总数。显然，f(x)=0。j ii现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式X仝f(X) (1)ijj般的经济规律认为，生产者P的收益x按照这样的方式确ii定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进产品的总值，用数学语言表示，有关系式X=£f(x) ⑵jiji现在，假设函数f是非线性连续函数，则可知存在点X二(XX)ij1N适合关系式(2)。定理：假设函数f都是正的连续函数，满足条件(1)，则存在ij点X=(XX)适合关系式(2)。1NSchauder不动点定理:Banach空间中每个凸紧集，对于连续映射有不动点性质。在偏微分方程的处理中有很多应用引言中例子的证明我们把大照片抽象成矩形K(ABCD)，小照片抽象成矩形1K(A'BCD')。而照片的叠放可以看成是从K至UKuK的连续2121映射(由伸缩和旋转的连续形变)。假设那个不动点为O点，见下图。要证明的结论可以转化为：存在O点，使得AOAB与AOA'B'相似。证明：延长A'B'交AB于点P，然后过A,A',P三点作圆O，过1B,B',P作圆O，记圆O和作圆O的另一个交点为O。212因为点O,B',P,B在圆O上，所以ZOB'A'=ZOBP。2(因为ZOB'A=ZBOP+ZBPO=ZB'BP+ZB'BO=ZOBP)又因为点O,A',A,P在圆O上，所以ZOA'P=ZOAP1因此，AOAB与AOA'B'相似。这就说明，在O点上，大小照片中的景物”是相同的。思考题：A是定义在［2,4］上而且满足如下条件的函数申(x)组成的集合：(1)，对任意的xe［2,4］，都有申(x)e(1,2)；(2)，存在常数L(0<L<1)，使得对任意x,xe［1,2］，都有12I申(2x)一申(2x)l<LIx一xI。1212。设申(x)=31+x，xe［2,4］，证明：申(x)eA。。设申(x)eA，如果存在xe(1,2)，使得x=申(2x)，那么这样000的x是唯一的。0。设申(x)eA'任取xg(1,2)，令x二申