初二数学1921 2矩形课件 人教新课标版

19.2.1矩形(2)19.2.1矩形(2)1复习回顾四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形四边形集合平行四边形集合矩形集合定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。复习回顾四边形平行两组对边一个角∟矩形四边形集合平行四边形集2边对角线角ABCDO矩形的性质：矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且平分；直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

边对角线角ABCDO矩形的性质：矩形对边平行且相等；矩形的四3你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。你还有其他的判定方法吗？ABCD∠A=900四边形ABCD是矩形你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？矩形的定义：有一个角是4探究：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。探究：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一5命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD证明:因为AB=CD,BC=BC,AC=BD，所以△ABC≌△DCB（SSS）。因为

AB//CD，所以∠ABC+∠DCB=180°。

所以∠ABC=∠DCB=90°。

又因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形。所以∠ABC=∠DCB。命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD6对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法1：数学语言：因为四边形ABCD是平行四边形，

AC=BD，所以四边形ABCD是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法1：数学语言：7探究2：李芳同学有“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？探究2：李芳同学有“边——直角、边——直角、边——直角、边”8矩形的判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD

因为∠A=∠B=∠C=90°，所以四边形ABCD是矩形。数学语言：矩形的判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD9你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩10练一练1.如图，已知平行四边形ABCD中，M为AD的中点，且BM=CM。求证：四边形ABCD是矩形。DABCM练一练1.如图，已知平行四边形ABCD中，M为AD的中点，且112.如图，直线MN∥PQ

，直线EF分别交MN、PQ于A、C，AB、CB、CD、AD分别是∠MAC，∠ACP、∠ACQ、∠NAC的平分线。求证：四边形ABCD是矩形。FNMQPEACBD2.如图，直线MN∥PQ，直线EF分别交MN、PQ于A、C12例题讲解例1.如图，□ABCD中，四个内角的平分线分别交于点E、F、G、H。试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论。DABCFHEG例题讲解例1.如图，□ABCD中，四个内角的平分线分别交于点13例2.如图，AB=AC，AD=AE，BC=DE，∠BAD=∠CAE。求证：四边形BCED是矩形。DABCE例2.如图，AB=AC，AD=AE，BC=DE，DABCE141.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形152.平行四边形ABCD中,E是CD的中点,△ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形。DABCE2.平行四边形ABCD中,E是CD的中点,△ABE是等边三163.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10cm,那么AC边上的中线BD的长为

cm.答案:54..矩形的判定(1)对角线

的平行四边形是矩形.(2)有三个角是

的四边形是矩形.答案:(1)相等

(2)直角3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10c175.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB的中线,延长CD到点E,使得DE=CD.连接AE,BE,试证明四边形ACBE为矩形.证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB的中线,∴AD=DB.∵DE=CD,∴四边形ACBE为平行四边形.∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE为矩形.5.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB18拓展提升已知：如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、Q、M、N，求证：四边形PQMN是矩形。拓展提升已知：如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、19一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形平行四边形矩形的

两条对角线相等且互相平分矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角边对角线角矩形的定义矩形的性质（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形平行四边形201.直角三角形的性质【例1】如图,已知AD为△ABC的高,∠B=2∠C,M为BC的中点,求

证:DM=

AB.1.直角三角形的性质【例1】如图,已知AD为△ABC的高,21证明:取AC的中点N,连接MN,DN,又∵M为BC的中点,∴MN∥AB且MN=

AB,∴∠B=∠NMC.∵AD⊥BC,N为AC的中点,∴DN=

AC=CN,∴∠C=∠NDM,又∠NMC=∠MDN+∠MND,∠B=2∠C,∴∠MDN=∠MND,∴DM=MN,∴DM=

AB.点拨:本题由中点构建三角形中位线模型,再由直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半,构建等腰三角形模型,体现了转化思想及构建模型理念.证明:取AC的中点N,连接MN,DN,又∵M为BC的中点,∴222.矩形的判定【例2】如图,在▱ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.2.矩形的判定【例2】如图,在▱ABCD中,E,F为BC上23证明:(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形

ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,AB=DC,BF=CE,AF=DE,∴△ABF

≌△DCE.(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.点拨:在解决具体问题时,要从矩形的众多方法中灵活选用,选择适合

本题条件的方法.证明:(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF243.矩形中的折叠问题【例3】将矩形纸片ABCD如右图那样折叠,使顶点B与顶点D重合,

折痕为EF.若AB= ,AD=3,则△DEF的周长为

.3.矩形中的折叠问题【例3】将矩形纸片ABCD如右图那样折25解析:∵沿EF折叠后,点B与点D重合,点A在点A'的位置,∴A'E=AE,A'D=AB= ,BF=DF.∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB= ,BC=AD=3,∠C=∠A=90°.在Rt△DCF中,设CF=x,则DF=BF=3-x,由勾股定理得x2+( )2=(3-x)2,解得x=1,∴DF=3-x=3-1=2.解析:∵沿EF折叠后,点B与点D重合,点A在点A'的位置,∴26设A'E=y,则DE=AD-AE=3-y,由勾股定理得y2+( )2=(3-y)2,解得y=1,∴DE=3-y=3-1=2.连接BD交EF于点O,∵点B与D关于EF对称,∴BO=DO=

BD=

·

=

.在Rt△EDO中,EO=

=

=1,易证△DOE≌△BOF,∴EO=OF=1,EF=2.∴△DEF的周长为DE+DF+EF=2+2+2=6.答案:6在Rt△A'DE中,设A'E=y,则DE=AD-AE=3-y,由勾股定理得y2+27(2)选择直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通过重

合图形找到数量关系,便可利用勾股定理列方程求解.

点拨:折叠问题的解题步骤:(1)利用重合的图形传递数据(一般不用重合的图形进行计算);(2)选择直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通281.(2011·四川绵阳中考)下列关于矩形的说法中正确的是(

).A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分答案:D1.(2011·四川绵阳中考)下列关于矩形的说法中正确的是(292.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要

添加的条件是

(

).A.AB=CD

B.AD=BCC.AB=BC

D.AC=BD答案:D2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那303.(2011·浙江温州中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于

点O.已知∠AOB=60°,AC=16,则图中长度为8的线段有(

).A.2条

B.4条

C.5条

D.6条解析:由矩形ABCD得OA=OB=OC=OD.由∠AOB=60°,得OA=OB=

AB=OC=OD=DC=8.共有6条线段长度等于8.答案:D3.(2011·浙江温州中考)如图,在矩形ABCD中,对角线314.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,

AD的中点,若AC=8,则EF=

.解析:根据矩形的对角线相等且互相平分得OD=4,再根据三角形的

中位线的性质得EF=

OD=2.答案:24.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E325.求证:矩形的对角线相等.解:已知:四边形ABCD是矩形,AC与BD是对角线.求证:AC=BD.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.又∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=BD,∴矩形的对角线相等.5.求证:矩形的对角线相等.解:已知:四边形ABCD是矩形,336.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∠1=15°.(1)求∠2的度数;(2)求证:BO=BE.6.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∠1=15°.34(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°.∴∠AEB=90°-45°=45°,∠2=45°-∠1=30°.(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=9035∴OA=OB.∵∠2=30°,∠ABC=90°,∴∠BAO=60°.∴△ABO是等边三角形.∴OB=AB.又∵∠BAE=∠AEB=45°,∴BE=AB.∴BO=BE.(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=

AC,OB=

BD,∴OA=OB.∵∠2=30°,∠ABC=90°,∴∠BAO=3619.2.1矩形(2)19.2.1矩形(2)37复习回顾四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形四边形集合平行四边形集合矩形集合定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。复习回顾四边形平行两组对边一个角∟矩形四边形集合平行四边形集38边对角线角ABCDO矩形的性质：矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且平分；直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

边对角线角ABCDO矩形的性质：矩形对边平行且相等；矩形的四39你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。你还有其他的判定方法吗？ABCD∠A=900四边形ABCD是矩形你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？矩形的定义：有一个角是40探究：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。探究：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一41命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD证明:因为AB=CD,BC=BC,AC=BD，所以△ABC≌△DCB（SSS）。因为

AB//CD，所以∠ABC+∠DCB=180°。

所以∠ABC=∠DCB=90°。

又因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形。所以∠ABC=∠DCB。命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD42对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法1：数学语言：因为四边形ABCD是平行四边形，

AC=BD，所以四边形ABCD是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法1：数学语言：43探究2：李芳同学有“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。你能证明上述结论吗？探究2：李芳同学有“边——直角、边——直角、边——直角、边”44矩形的判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD

因为∠A=∠B=∠C=90°，所以四边形ABCD是矩形。数学语言：矩形的判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。ABCD45你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩46练一练1.如图，已知平行四边形ABCD中，M为AD的中点，且BM=CM。求证：四边形ABCD是矩形。DABCM练一练1.如图，已知平行四边形ABCD中，M为AD的中点，且472.如图，直线MN∥PQ

，直线EF分别交MN、PQ于A、C，AB、CB、CD、AD分别是∠MAC，∠ACP、∠ACQ、∠NAC的平分线。求证：四边形ABCD是矩形。FNMQPEACBD2.如图，直线MN∥PQ，直线EF分别交MN、PQ于A、C48例题讲解例1.如图，□ABCD中，四个内角的平分线分别交于点E、F、G、H。试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论。DABCFHEG例题讲解例1.如图，□ABCD中，四个内角的平分线分别交于点49例2.如图，AB=AC，AD=AE，BC=DE，∠BAD=∠CAE。求证：四边形BCED是矩形。DABCE例2.如图，AB=AC，AD=AE，BC=DE，DABCE501.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形512.平行四边形ABCD中,E是CD的中点,△ABE是等边三角形,求证:四边形ABCD是矩形。DABCE2.平行四边形ABCD中,E是CD的中点,△ABE是等边三523.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10cm,那么AC边上的中线BD的长为

cm.答案:54..矩形的判定(1)对角线

的平行四边形是矩形.(2)有三个角是

的四边形是矩形.答案:(1)相等

(2)直角3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10c535.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB的中线,延长CD到点E,使得DE=CD.连接AE,BE,试证明四边形ACBE为矩形.证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB的中线,∴AD=DB.∵DE=CD,∴四边形ACBE为平行四边形.∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE为矩形.5.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB54拓展提升已知：如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、Q、M、N，求证：四边形PQMN是矩形。拓展提升已知：如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、55一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形平行四边形矩形的

两条对角线相等且互相平分矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角边对角线角矩形的定义矩形的性质（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）一个角是直角有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形平行四边形561.直角三角形的性质【例1】如图,已知AD为△ABC的高,∠B=2∠C,M为BC的中点,求

证:DM=

AB.1.直角三角形的性质【例1】如图,已知AD为△ABC的高,57证明:取AC的中点N,连接MN,DN,又∵M为BC的中点,∴MN∥AB且MN=

AB,∴∠B=∠NMC.∵AD⊥BC,N为AC的中点,∴DN=

AC=CN,∴∠C=∠NDM,又∠NMC=∠MDN+∠MND,∠B=2∠C,∴∠MDN=∠MND,∴DM=MN,∴DM=

AB.点拨:本题由中点构建三角形中位线模型,再由直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半,构建等腰三角形模型,体现了转化思想及构建模型理念.证明:取AC的中点N,连接MN,DN,又∵M为BC的中点,∴582.矩形的判定【例2】如图,在▱ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.2.矩形的判定【例2】如图,在▱ABCD中,E,F为BC上59证明:(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形

ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,AB=DC,BF=CE,AF=DE,∴△ABF

≌△DCE.(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.点拨:在解决具体问题时,要从矩形的众多方法中灵活选用,选择适合

本题条件的方法.证明:(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF603.矩形中的折叠问题【例3】将矩形纸片ABCD如右图那样折叠,使顶点B与顶点D重合,

折痕为EF.若AB= ,AD=3,则△DEF的周长为

.3.矩形中的折叠问题【例3】将矩形纸片ABCD如右图那样折61解析:∵沿EF折叠后,点B与点D重合,点A在点A'的位置,∴A'E=AE,A'D=AB= ,BF=DF.∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB= ,BC=AD=3,∠C=∠A=90°.在Rt△DCF中,设CF=x,则DF=BF=3-x,由勾股定理得x2+( )2=(3-x)2,解得x=1,∴DF=3-x=3-1=2.解析:∵沿EF折叠后,点B与点D重合,点A在点A'的位置,∴62设A'E=y,则DE=AD-AE=3-y,由勾股定理得y2+( )2=(3-y)2,解得y=1,∴DE=3-y=3-1=2.连接BD交EF于点O,∵点B与D关于EF对称,∴BO=DO=

BD=

·

=

.在Rt△EDO中,EO=

=

=1,易证△DOE≌△BOF,∴EO=OF=1,EF=2.∴△DEF的周长为DE+DF+EF=2+2+2=6.答案:6在Rt△A'DE中,设A'E=y,则DE=AD-AE=3-y,由勾股定理得y2+63(2)选择直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通过重

合图形找到数量关系,便可利用勾股定理列方程求解.

点拨:折叠问题的解题步骤:(1)利用重合的图形传递数据(一般不用重合的图形进行计算);(2)选择直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通641.(2011·四川绵阳中考)下列关于矩形的说法中正确的是(

).A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分答案: