高代高代-p主要内容

这一节介绍行列式的

定理，这个定理可以看成是行列式按一行展开公式的推广.首先

把

式和代数

式的概念加以推广.一、定义定义9k列(k

n).在一个n

级行列式D

中任意选定k

行位于这些行和列的交点上的k2

个元素按照原来的次序组成一个k

级行列式M,称为行列式D

的一个k

级子式.在D

中划去这k

行k

列后余下的元素按照原来的次序组成的n

-k

级行列式M

,

称为

k

级子式

M

的

式.所以从定义立刻看出，M

也是

M

的 式.M

和M

可以称为D

的一对互余的子式.例

1

在四级行列式1

2

1

40

10

0

10

0

3D

中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式,M

240

120

1M

的

式为

M

0.例

2

在五级行列式D

a21中424345222325a11

a12

a13

a14

a15a22

a23

a24

a25

a51

a52

a53

a54

a55a12

a13

a15M

a

a

aa

a

a51543134a

aa

aM

和是一对互式.定义10设D

的k

级子式M

在D

中所在的行、列指标分别是

i1,

i2,

…

,

ik

;

j1,

j2,

…

,

jk

.则M的式M

前面加上符号(1)(i1

i2

ik

)(

j1

j2

jk

)后称做

M

的代数

式.(1)(13)(24)

M

M

,中

M

的代数 式是(1)(124)(235)

M

M

.中M

的代数式是例如，上述例

1上述例

2二、定理引理

行列式

D

的任一个子式

M

与它的代数式A的乘积中的每一项都是行列式

D的展开式中的一项，而且符号也一致.证明首先

M

位于行列式

D

的左上方的情形：nkkkD

aan2

n1k1M

'aak

2

a1nakn1ka1a2

11akn1,ann1,

kkakka1,1aank,1

k

aak

11,,12a1a,1k

aakk,1

此时

M

的代数

式

A

为A

(1)(12k

)(12k

)

M

M

.M

中的每一项都可写作a1

a21

2

kak

,其中1

,2

,…,k

,是1,2,…,k

的一个排列，所以这一项前面所带的符号为

(1)

(12k

)

,M

中的每一项都可写作an

,nak

1,

ak

2,k1

k2其中k+1

,k+2

,…,n

是k

+1,k

+2,…,n的一个排列，这一项在

M

中前面所带的符号是(1)

(

k1

kk2

kn

k

)

.这二项的乘积是a1

a2

ak

ak

1,

ak

2,

an

,1

2

k

k1

k2

n前面的符号是(1)

(12k

)

(k1

kk2

kn

k

)

.因为每个

比每个

都大，所以上述符号等于(1)

(12k

k1k2n

)

.因此这个乘积是行列式

D

中的一项而且符号相同.下面来证明一般情形.设子式M

位于D

的第i1,i2,…,ik

行;第j1,j2,…,jk

列，这里i1

<

i2

<

…

<

ik

;

j1

<

j2

<

…

<

jk

.变动D

中行列的次序使

M

位于D的左上角.为此，先把第

i1

行依次与第i1

-1,i1

-2,…,2,1行对换.一行.这样经过了

i1

-1次对换而将第

i1

行换到第再将第i2行依次与第

i2

-1,i2

-2,…,2,1

行对换而换到第二行，一共经过了

i2

-2

次对换.此继续进行.

一共经过了如(i1

-1)

+

(i2

-2)

+

…

+

(ik

-k)=

(i1

+i2

+

…

+ik)

-

(1

+2

+

…

+

k)次行对换而把第

i1,i2,…,ik

行依次换到第

1,2,…,k行.利用类似的列变换，可以将

M

的列换到第

1,2,…,k

列.一共作了(j1

-1)

+

(j2

-2)

+

…

+

(jk

-k)=

(j1

+

j2

+

…

+

jk)

-

(1

+

2

+

…

+k)次列变换.用D1

表示这样变换后所得的新行列式，那么D1D

(1)(i1

ik

)(1k

)(

j1

jk

)(1k

)

(1)i1

ik

j1

jk

D

.由此看出，D1

和D

的展开式中出现的项是一样的,只是每一项都差符号

(1)i1

ik

j1

jk.现在M

位于D1

的左上角，所以M

M

中每一项都是D1

中的一项而且符号一致.但是M

A

=

(1)i1

ik

j1

jk

M

M

.所以MA

中每一项都与

D

中一项相等.证毕定理

6

(

定理)设在行列式

D

中任意取定了

k

(1

k

n-1)个行，由这

k

行元素所组成的一切

k

级子式与它们的代数

式的乘积的和等于行列式

D.它们的代数定理要求证明证明

设

D

中取定

k

行后得到的子式为M1

,

M2

,

…,

Mt

,式分别为A1

,

A2

,

…,

At

,D

=M1A1

+

M2A2

+

…

+

MtAt

.相同，并且

Mi

Ai

和Mj

Aj

(i

j

)无公共项.因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等即可.显然等式左边共有

n!项，为了计算右边的项数，首先来求出

t

.根据子式的取法知道.k!(n

k)!n!nt

Ck

有(n

-k)!项.因为Mi右边共有有k!项，Ait

k!

(n

-k)!=n!

项.所以证毕根据引理，Mi

Ai

中每一项都是D

中一项而且符号例

3

在行列式1

2

1

40

11

0

30

1

1D

中取定第一、二行，得到六个子式：210

1M

1

2

,

M

251

21

,

M4M它们对应的代数

式为A

(1)(12)(12)

M

M

,1

1

1A

(1)(12)(13)

M

M

,2

2

2A

(1)(12)(14)

M

M

,3

3

3A

(1)(12)(23)

M

M

,4 4 45

5

5

M

,

2(1)4(M2)A

1)(A

(1)(12)(34)

M

M

.6

6

6由定理D

=

M1

A1

+

M2

A2

+…

+

M6

A6

1

2

1 3

10

1

3

1

01

0 1

201

3

1

2 4

1 1

11

1

0

3

2=

8

+

6

-

1

+

5

-

18

-

7

=

-7

.从这个例子来看，利用

定理来计算行列式一般是不方便的.

这个定理主要是在理论方面应用.利用

定理，可以证明2na1n1ann

aaa11

a1221

a22

an1

an2D

b1nb2nbnnbb11

b1221

b22

bn1

bn22,

D

定理

7

两个

n

级行列式三、行列式的乘法定理其中

cij

是

D1

的第

i

行元素分别与

D2

的第

j

列的对应元素乘积之和：cij

=

ai1b1j

+

ai2b2j

+

…

+

ainbnj

.证明作一个2n

级行列式的乘积等于一个

n

级行列式

C

c2ncnnc11

c12c21

c22

cn1

cn2

c1n000000000b11b12b1nb21b22b2nbn1bn

2bnna11

a12

a1na21

a22

a2n

an2

ann1

0

00

1

0

0

0

1D

an1根据

定理，将

D

按前

n

行展开.

则因

D中前n

行除去左上角那个

n

级子式外，其余的

n

级子式都等于零.所以a11

a12D

a21

a22

an1

an2b21a1n

b11

b12a2n

b22

ann

bn1

bn21

2

D

D

.b1nb2nbnn现在来证

D

=

C.

对

D

作初等行变换：

将第

n+1

行的a11

倍，第n+2

行的a12

倍,…,第2n

行的a1n

倍加到第一行，得0a210a220a2nc110c120c1n0D

an11an20ann00b110b1