正弦定理典型例题与知识点

正弦定理典型例题与知识点正弦定理典型例题与知识点正弦定理典型例题与知识点资料仅供参考文件编号：2022年4月正弦定理典型例题与知识点版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：正弦定理教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即==2.三角形面积公式在任意斜△ABC当中S△ABC=3.正弦定理的推论：===2R（R为△ABC外接圆半径）4.正弦定理解三角形1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。3）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）eq\o\ac(○,1)若A为锐角时:eq\o\ac(○,2)若A为直角或钝角时:1、已知中，，，则角等于(D)A．

B．

C．

D．2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sin

B，则a等于

(D)

A．3

B．

C．

D．1.在中，若，则一定是()A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形解析：[∵∴]3.在△ABC中，C=，则的最大值是_______________.[解析]∵在△ABC中，C=，∴，∵∴∴时，取得最大值。4.若中，，则角C的大小是__________解析7.在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。解：由正弦定理得：，，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，△ABC为等边三角形。６．在中，是成立的(C)Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=，b=，B=120°,则a等于 （）A. B.2 C. D.答案D3.下列判断中正确的是 （）A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解答案B4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是 （）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等边三角形答案B10.在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.解∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA===,则A为60°或120°. ①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c====.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c====.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b=b2a∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝2eq\r(2)，b＝eq\f(4\r(3),3)，则∠A等于()A．15° B．75° C．105° D．75°或15°解析：根据正弦定理eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°. 答案：D例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值.解：∵(这是角的关系)，∴(这是边的关系)于是，由合比定理得例2已知△ABC中