微积分学系列三-微分中值定理及其应用-第三章

一、函数极值的定义oxbyy

f

(

x)a

x1x2x3

x4x5

x6oxyoxyx0x0定义

设函数f

(

x)在区间(a,b)内有定义,

x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x0外,

f

(

x)

f

(

x0

)均成立,就称f

(

x0

)是函数f

(

x)的一个极大值;如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x0外,

f

(

x)

f

(

x0

)均成立,就称f

(

x0

)是函数f

(

x)的一个极小值.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函数极值的求法定理1(必要条件)设

f

(

x)在点x0

处具有导数,且在x

处取得极值,那末必定

f

'(

x

)

0

.0

0定义使导数为零的点(即方程f

(x)

0

的实根)叫做函数f

(x)的驻点.注意:可导函数f

(x)的极值点必定是它的驻点,但函数的驻点却不一定是极值点.例如,

y

x3

,

y

x0

0,但x

0不是极值点.0(1)如果

,

有xf

(0;)而

处取得极大值.xf

(0;)而

'

),,('有

xf

(0)，则

fx()0在x0(2)如果

,

有'

),(有xf

(0)，则

fx()'0在x

处取得极小值.(3)如果当0

及(

),时(

,'

()xf定理2(第一充分条件)x符号相同,则fx()yo在x0

处无极值.yox0x0x(是极值点情形)xyoyox0x0求极值的步骤:求导数f

(x);求驻点，即方程f

(x)

0的根;检查f

(x)在驻点左右的正负号,判断极值点;求极值.x(不是极值点情形)例1

求出函数解xf的

极值.23f

(

9

3(

x

1)(

x

3)得驻点

x1

1,

x2

3.

列表令f

(x)

0x(,1)

1(1,3)3(3,)f

(

x)00f

(

x)极大值极小值极小值f

(3)

22.极大值f

(1)

10,5x图9f

形如下23Mm定理3(第二充分条件)设f

(x)在x0

处具有二阶导数,且

f

'(

x

)

0,

f

''

(

x

)

0

,

那末0

0当

f

''

(

x

)

0

时,

函数

f

(

x)在x

处取得极大值;0

0当

f

''

(

x

)

0

时,

函数

f

(

x)在x

处取得极小值.0

0证(1)xx00f

(

x

x)

f

(

x0

)

0,0

f

(

x

)

lim故f

(x0

x)

f

(x0

)与x异号当x

0时有f

(x0

x)

f

(x0

)

0,当x

0时有f

(x0

x)

f

(x0

)

0,所以,函数f

(x)在x0

处取得极大值例2解3)(23

2x0f2的4

极值.2f4

3(

x

4)(

x

2)求出函数62令

f

(

x)

0

得驻点

x1

4,

x2

2.

f

(

x)

6x

6,

f

(4)

18

0,f

(2)

18

0,故极大值f

(4)

60,故极小值f

(2)

48.f

(

2

24x

20

图形如下Mm注意:

()00,()

时

在ff

处不一定取极值,仍用定理2.【例3.13】设函数

f

(x)二阶可导,f

(

)

0,f

(

)

0,

且x

是函数

f

(x)

的极值点,令函数

g(x)

f

(x)

cos

x,则

有:(D)

x

是函数g(x)的极大值点.【提示】

g(x)

f

(x)

cos

x

f

(x)

sin

x,g

(x)

f

(x)cos

x

2

f

(x)sin

x

f

(x)cos

x，而

f

(

)=0,故g(

)

0,g

(

)

f

(

)

0.例3解223)(求出函数f

(x)

1

(x

2)3的极值.1

)当x

2时,

f

(

x)不存在.

但函数f

(

x)在该点连续.当x

2时当x

2时f

(

x)

0;f

(

x)

0.

f

(2)

1为f

(x)的极大值.注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M三、小结判别法极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)思考题下面

题正确吗？如果x0

为f

(x)的极小值点，那么必存在

x0

的某邻域，在此邻域内，f

(x)在x0

的左侧下降，而在x0

的右侧上升.思考题解答不正确．例

,2xf)(

0x

0x当x

0时，f

(

x)

f

(0)

x2

(2

sin

1

)

0于是x

0为fx()的极小值点当x

0时，当x

0时，在–1和1之间振荡因而f

(x)在x

0的两侧都不单调.故命题不成立．一、填空题：1、极值反映的是函数的

性质.2、若函数y

f

(

x)

在x

x0

可导，则它在点x0

处到得极值的必要条件中为

.23、函数y

2

(x

1)3的

极

值

点

为

；1y

3

2(

x

1)

3

的极值为

.

x

1,

x

04、已知函数f

(x)

x

3

x

,

x

0x

当

时，y

为极

小值；

当

x

时

，y

为极大值.练习题二、求下列函数的极值：1、y

e

x

cos

x；12、y

x

x

；23、方程e

x

y

y

0所确定的函数y

f

(

x)；4、y

20,

x

0e

,

x

01x.三、证明题：1、如果y

ax

3

bx

2

cx

d

满足条b

2

3ac

0

，则函数无极值.2、设f

(x)是有连续的二阶导数的偶函数f

(x)

0

，则x

0为f

(x)的极值点.一、1、局部；2、f

(x0

)

0

；3、(1,2),无；1

134、

,

(

)

e

,0,1;