对数与对数函数经典例题

经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用.将下列指数式与对数式互化:log]9=-2

3.将下列指数式与对数式互化:log]9=-2

354=625工

\,4,-2=16思路点拨：运用对数的定义进行互化-2log5log5625=4解：，=*;1塞116=—24总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段举一反三：【变式】求下列各式中的值：XTX--InXTX--Ins=x思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出式=(64)式=(64)解：QU4T__i_i1,2/=&所％=(/户=何占=(2三於=2m=0，于是:由-1"=左得-In心即二类型二、利用对数恒等式化简求值.求值:^1-logs72至7-3.求值:^1-logs73一夺解：白心即_T,T总结升华：对数恒等式货一加中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数举一反三:iDgaMjgJf【变式】求iDgaMjgJf【变式】求的值a£+且不等于，思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算a解：a解：类型三、积、商、幂的对数.已知,用、表示下列各式解：原式原式原式原式原式原式举一反三：【变式】求值21ag525+31og264-8log101•解：11巩乃"印…困口1=2-log552+31og226-8x0=4+18-0=22.原式原式【变式】已知，〃当，求的值3°~=1,HPalogf3=1,/.logt3=—TOC\o"1-5"\h\z解：由得："-=logf5,-由4+1=2得log«3+"削5=2同理可得当"blogJ5=2,/.c2=15,vc=旧,ib+u、.“4a-c.._t1区口+)+log2(l+——)=1【变式】设、、为正数，且满足求证：以b证明:»*工“(证明:»*工“(3H-Z?4-cta-\-b-c左边=log2+］吗:ab,,aH-c7:1转式a-^-h-c।(a+b'f-c2।a2+2ab+b2-c2,2ab^c2-c2,、=log2二］冬3=log2=log22=lababab,a+b1门，，、【变式】已知：、，求证：证明：:，・•・、即，・•・

।a1-।…Lg—--=即'*类型四、换底公式的运用已知已知k…=匣二=1±3尸：log^1一1吨》解：原式思路点拨：将条件和结论中的底化为同底方法一■:xxm?2p1,^,1门m十呼？+I—Ii一kg3K二方法二：mkg3K二方法二：logKlag(34-log+logx漆盟+碑？+陷?log8log89-log2732【变式】求值：1)43+logJXlogm2+kgg2)解：3+logs3)(log32+10g92)■部+塞殖■■部+塞殖■O,10^32v535)(kg32+―--)=--log23--log32=—Xb/4_♦9log89-log2732电日lg32_21g3

lg27~31g251g2_♦9log89-log2732电日lg32_21g3

lg27~31g251g21031g392(-1^535)法一:3251_导的士5法一.”1/法''：总结升华：运用换底公式时，某个对数的底为标准，或都换成以325理论上换成以大于不为任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中为底的常用对数也可类型五、对数运算法则的应用▼.求值•kg64初，1%33kg三；kgj1占J凸3log2(log232+kgi—+log436)24i2510解：原式原式Log髀2,%力力.32解：原式原式Log髀2,%力力.32力沼=-10原式3log2(5+log,-+上4原式3log2(5+log,-+上4举一反三:k'ST2logr101bg：710i-J-~L=(2已之内.2=2.另解：设[1^—ig尸+也15卢口=也注TOC\o"1-5"\h\z■?3log926)=log2(5-log2-+log25)=log28=3上4原式113二(3log5+lag25十耳log=(引。252)=—■3logj2log?5=1371lg2-1g7+1g1g—=1gm102%.电2-电了+窕＞—1)(—32)=也透,求:1-2,求:1-2」a【变式】已知：kg避=kg33解：;实用文档ah+31logs56log31+log3Elog57+31og324,-i」f;———log342log37+log36log37-Fl+log32类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用求下列函数的定义域:了=lug式4-玲Qi>口且琪丰求下列函数的定义域:了=lug式4-玲Qi>口且琪丰1）思路点拨：由对数函数的定义知:解：因为，即不，所以函数，x解出不等式就可求出定义域y=logc/的定义域为H|汇¥。}因为，即,所以函数y=1空式4-切的定义域为SIXC4}举一反三:【变式】求下列函数的定义域log1（2T-1）>02俨一TOC\o"1-5"\h\zhg1（工-1）=1x丰3[五[2解：因为，所以33所以函数的定义域为，2U2,因为・，所以当W时，定义域为；当时，若,则函数定义域为・,00；1卷巴若，且十，则函数定义域为8,k）若，则当时，函数定义域为R当2时，此时不能构成函数，否则定义域【变式】函数的定义域为的定义域思路点拨：由1W【变式】函数的定义域为的定义域思路点拨：由1W,可得2口一.p一的定义域为&,，再由/ww得的定义域为贬，类型七、函数图象问题.作出下列函数的图象：.作出下列函数的图象：解：如图,如图；如图类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念砂比较下列各组数中的两个值大小：,且中思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成解法：画出对数函数的图象，横坐标为的点在横坐标为的点的下方，TOC\o"1-5"\h\z所以，o解法：由函数在上是单调增函数，且，所以；解法3直接用计算器计算得：","，所以；与第小题类似，在上是单调减函数，且，所以：注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小解法：当时，在，8上是增函数，且，所以，当时，在，8上是减函数，且，所以，解法：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令，则户=5」，令，则…多9，当时，在上是增函数，且log.5.1<log.5.9所以，b即"与当时，在上是减函数，且log.5.l>log.5.9所以，，即⑥举一反三:【变式】（L;天津理）已知则（）解析：另鹿句峰子—…举一反三:【变式】（L;天津理）已知则（）解析：另鹿句峰子—…110」，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得命又•・•尸二丁为单调递增函数，r日日节物产（刈=1线式/+1）在（口，+°°）J,日福节知证明函数上是增函数思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法证明:设年号…），且则八两）-，5证明:设年号…），且则八两）-，5）=1卷式W+1）式北+1）则■:0</<z2,/.工：十14龙：+1又「上是增函数•・1卷式端+1）<1。区式君+1）・•・函数在・•・函数在1。，+西上是增函数举一反三:(/-1)【变式】已知解：设举一反三:(/-1)【变式】已知解：设且不，试判断函数为增函数，若的单调性

t则巧5巧5鼻一1)x2(a2-1)式可一砧父可的+D.二I..工］3.二।］匚工1.J在上为增函数，时，同理可得在上为增函数・•・时，同理可得在上为增函数・•・不论在上总是增函数log1求函数二的值域和单调区间解：设log1求函数二的值域和单调区间解：设x则log1.2为减函数，且W41口“4y=-即函数的值域为,8)1位再由：函数2的定义域为，即log1.・•・在'，1上递增而在，上递减，而2为减函数log].・•・函数2的减区间为,,增区间为，3类型九、函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性1-1判断下列函数的奇偶性1-114-A/⑴=in（Vi+w-X）思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行-K＞。可彳导-1＜1解：由Mx所以函数的定义域为：,关于原点对称=137—=lg(;--)-1=-1g==一丁5)-1—X1+K1+X又/00=坨；2工所以函数1+走是奇函数;总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质说明判断对数恒等变形解：所以函又形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的由恒等变形解：所以函又数的定义域为关于原点对称f（-x）=ln（Jl+4+/=In（J1+K：+x--=］口1一:一瓜“1+£-M）=-/WJl十三_xJ1+--工

；所以函数〃㈤是奇函数总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握类型十、对数函数性质的综合应用2已知函数若函数的定义域为，求实数的取值范围；若函数的值域为，求实数的取值范围义域为，即关于的值域为即要求思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题义域为，即关于的值域为即要求的不等式的解集为，这是不等式中的常规问题与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，(3>0M>o使能取遍一切正数的条件是解：，即：关于a=0)的定义域为时，此不等式变为的不等式,其解集不是R的解集为R(3>0的取值范围为A=4-4lj的取值范围为丰时，有的值域为，即的取值范围为WW能取遍一切正数=标分别为，求3已知函数的+,记4的表达式;判断函数解：依题意有并且A、,它的反函数记作的面积为求函数的值域;的单调性，并予以证明;三点在函数的取值范围的图象上，它们的横坐三点的坐标分别为，如□图中占中占I/、、、2?的纵坐标为

把变形得：16g+4)2