20182019学年高中物理重难强化练(四)双星模型卫星变轨问题鲁科必修2

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重难增强练（四）双星模型+卫星变轨问题

m甲21．(多项选择)甲、乙两恒星相距为L，质量之比m乙＝3，它们离其他天体都很遥远，我们观

察到它们的距离向来保持不变，由此可知( )

A．两恒星必然绕它们连线的某一地址做匀速圆周运动

B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3

C．甲、乙两恒星的线速度之比为3∶2

D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2

解析：选AD依照题目描述的这两颗恒星的特点可知，它们吻合双星的运动规律，即

绕它们连线上某一地址做匀速圆周运动，A正确。它们的角速度相等，B错误。由ma甲＝m甲a甲乙3v甲乙3乙a乙，所以＝m＝，D正确。由mω甲v甲＝mω乙v乙，所以＝m＝，am甲乙vm2乙2乙甲甲C错误。

2．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一

点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周

期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两

星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )

n3n3A.k2TB.kT

n2nC.kTD.kT

解析：选B设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。Mm2π2对质量为m的恒星：GL2＝mT·r对质量为的恒星：Mm2π2)2＝MT(－MGLLrM＋m4π2得GL2＝T2·L24π2L3即T＝GM＋mn3则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝kT，选项B正确。3．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动。如图1所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动器做短时间的发动，向外发射高温燃气，喷

气的方向为( )

1

图1

A．与v的方向相反

B．与v的方向一致

C．垂直v的方向向右

D．垂直v的方向向左

解析：选B要使飞船降落，必定使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，所以

正确。

4.如图2所示，宇宙飞船A在低轨道上翱翔，为了给更高轨道的空间站B输送物质，它

可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的选项是( )

图2

A．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变小

B．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变大

C．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变大

D．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变小

解析：选B飞船由低轨道向高轨道运行时，需要提高在轨道上的运行速度，增加轨道

Mm4π2高度才能使宇宙飞船A到达更高轨道与空间站B对接；由Gr2＝mrT2可知，r增大，T变大，故B正确。5．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；尔后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。若是按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前

对照( )

A．卫星动能增大，引力势能减小

B．卫星动能增大，引力势能增大

C．卫星动能减小，引力势能减小

D．卫星动能减小，引力势能增大

2

Mm解析：选D卫星在圆形轨道上运动时，万有引力供应其做圆周运动的向心力，由Gr2＝v24π23GMTGM2mr＝mrT2，得r＝4π2，v＝r。由于在变轨过程中，卫星周期T增大，所以轨道半径r增大，速率v减小，即卫星动能减小，又由于卫星在变轨前后机械能增大，所以引力势能增大，故D正确。

6．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则

变轨后与变轨前对照( )

A．轨道半径变小B．向心加速度变小C．线速度变小D．角速度变小Mm4π2解析：选A探测器绕月球做圆周运动的向心力由月球的万有引力供应，由Gr2＝mT2r，得周期T＝2πr3Mmv2，当周期变小时，轨道半径r变小，选项A正确；由G2＝ma＝m＝GMrr2MGMGMmrω，得向心加速度a＝Gr2，线速度v＝r，角速度ω＝r3，可见，轨道半径r变小时，向心加速度、线速度和角速度都将变大，选项B、C、D均错误。7.如图3所示，一翱翔器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则翱翔器()

图3

A．变轨后将沿轨道2运动

B．相对于变轨前运行周期变长

C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等

D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等

Mm解析：选D推进器短时间向前喷气，翱翔器将被减速，应选项C错误；此时有Gr2＞

v2mr，所以翱翔器将做向心运动，即变轨后将沿较低轨道3运动，应选项A错误；依照开普

勒第三定律可知，公转周期将变短，应选项B错误；由于变轨前、后在两轨道上经P点时，

所受万有引力不变，所以加速度大小不变，应选项D正确。

8．天文学家将相距较近、仅在相互的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统

3

在银河系中很宽泛，假设宇宙空间中由甲、乙两星组成的双星系统，正以相同的周期T绕它

们的连线上某点做匀速圆周运动，双星中心相距为R，甲星的质量大于乙星的质量。若采用

措施将乙星上的物质，搬走质量m到甲星上去，保持距离R不变，设它们做匀速圆周运动

的周期为T′，引力常量为G。则以下结论正确的选项是( )

A．利用上述数据可求出双星的总质量

B．圆周运动的圆心将向乙星搬动

C．周期T′将小于T

D．甲、乙两星运动的线速度均增大

解析：选A设甲、乙两星质量分别为M1和M2，甲、乙到圆心的距离分别为l1和l2。

由万有引力供应向心力得

122π1MM1T21对M有GR2＝Ml122π2222Tl2对M有GR＝M两式相加整理得1＋2＝4π2R21＋2)＝4π2R3MMGTllGT所以，可求出双星的总质量。由质量和的表达式知，周期T只与两者间的距离R以及两者质量和有关，则T′＝T。由M1ω2l1＝M2ω2l2知，若将乙星上的物质搬到甲星上去，乙的

半径l2将增大，圆周运动的圆心将向甲星搬动。因周期不变，则角速度不变，甲的半径l1减小，甲的线速度减小，综上所述，本题答案为A。9．银河系的恒星中大体四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2组成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某必然点C做匀速圆周运动。由天文察看得其周期为，1到C点的距离为r1，1和2的距离为r，已知万有引力常量为。由此可求出2TSSSGS的质量为()A.4π2r2r－r14π2r132B.2GTGTC.4π2r34π2r2r12D.2GTGT解析：选D设S、S两星体的质量分别为m、m，依照万有引力定律和牛顿定律得：1212122π2对有，1Gr2＝1Tr1Sm24π2r2r1GT所以正确选项是D。

某宇宙飞船由运载火箭先送入近地址为A、远地址为B的椭圆轨道，在B点推行变

轨后，再进入预定圆轨道，如图4所示。已知飞船在预定圆轨道上翱翔n圈所用时间为t，

4

近地址A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求：

图4

飞船在近地址A的加速度aA为多大？

远地址B距地面的高度h2为多少？

解析：(1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船碰到的地球引力为F＝GMmM2，地球表面的重力加速度g＝G2R＋h1R由牛顿第二定律得FGMgR2aA＝＝2＝2。mR＋h1R＋h1t飞船在预定圆轨道翱翔的周期T＝n

由牛顿第二定律得GMm2＝m2π2(R＋h2)＋2TRh3222gRt解得h＝4π2n2－R。2322答案：(1)gR2(2)gR2t2－RR＋h14πn11．质量分别为m1和m2的两个天体，相距r。其他天体离它们很远，致使可以认为这两

个天体除相互之间的万有引力外不受其他外力作用，这两个天体被称为双星，双星可以保持距离r不变，是由于它们绕着共同的中心(质心)做匀速圆周运动，它们之间的万有引力供应做匀速圆周运动的向心力，试解析、计算：

(1)共同中心(质心)在哪处？两个天体到共同中心O的距离r1、r2各为多大？

两个天体绕共同中心O转动的角速度、线速度、周期各多大？

解析：(1)由于两个天体(视作质点)间相互作用的万有引力方向均沿

两个天体的连线，所以共同中心(质心)O必然位于连线上(以下列图)。

两个天体绕O以角速度ω做匀速圆周运动，据此可列出两个天体的

运动方程：

m1m2m1ωr1＝Gr2①

m1m2m2ωr2＝Gr2②

联立①②解得m1r1＝m2r2

5

m2m1依照题意r1＋r2＝r，可得r1＝m1＋m2r，r2＝m1＋m2r。

(2)由方程①②及r1、r2的表达式，经简单推演，即可得角速度、线速度、周期表达式

以下

1Gm＋m112G12ω＝rr；v＝ωr＝mrm1＋m2v＝ωr＝mrm1＋m2；221GT＝2π＝2πrr。ω1＋2Gmm答案：见解析

12．奇异的黑洞是近代引力理论所预知的一种特别天体，探望黑洞的方案之一是察看双

星系统的运动规律。天文学家察看河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由

可见星A和不可以见的暗星B组成，两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕

两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图5所示。引力常量为G，

由察看可以获取可见星A的速率v和运行周期T。

图5

可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′的表达式(用m1、m2表示)。

求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T及质量m1之间的关系式。

(3)恒星演化到末期，若是其质量大于太阳质量m的2倍，它将有可能成为黑洞。若可S见星A的速率＝×105m/s，运行周期＝π×104s，质量1＝6S，试经过估计来vTmm判断暗星B有可能是黑洞吗？(G＝×10－1122，mS＝×1030kg)N·m/kg

解析：(1)设、B的圆轨道半径分别为r1、2，由题意知，、做匀速圆周运动的角速ArAB度相同，设为ω，依照牛顿运动定律，有22r，F＝F0A101B202AB设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2

m1＋m2由上述各式得r＝m2r1①

由万有引力定律，有m1m2rA

6

3将①式代入得FA＝Gm1m222＋21mmr1′Ammr13可得m′＝m22。②m＋m121′v2(2)依照牛顿第二定律，有mmG2＝m③r11r