概率论与数理统计习题及答案

概率论与数理统计习题及答案习题一.设Z,8为随机事件，且尸(A)=0.7,尸(4-8)=0.3,求尸(A5).【解】P(AS)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=l-[0.7-0.3]=0.6.设4B,C为三事件，且尸(J)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且尸(AB)=P(BC)=0,P(/C)=1/12,求X,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(/4U5UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)11113=—+—+ =—4431249.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率； (2)求五个人的生日都不在星期日的概率；(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设/尸｛五个人的生日都在星期日｝,基本事件总数为7$,有利事件仅1个，故P(小)=r=(-)5 (亦可用独立性求解，下同)7 7(2)设4=｛五个人生日都不在星期日｝,有利事件数为6$,故P(4)=*'=('F

（3）设/3=｛五个人的生日不都在星期日｝P（4）=1-p（^i）=1-（-）513.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设4=｛恰有i个白球｝（i=2,3）,显然却与4互斥.尸（4）=罟噂尸（4）=罟噂C3尸（4）=胃5435故 故 p（4U4）=p（4）+p（4）=行19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女足等可能的）.【解】设4=｛其中一个为女孩｝,8=｛至少有一个男孩｝,样本点总数为23=8,故P(a4)=P(a4)=P(AB)

P(“)6/86T/i-7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.尸（即）.23.设P(/)=0.3,尸(8)=04,尸(48)=0.5,求尸(B|4U8)【解】P(AB)

P(4U8)P(Z)-P【解】P(AB)

P(4U8)P(A)+P(B)-P(AB)0.7-0.5_1-0.7+0.6-0.5-424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设4=｛第一次取出的3个球中有i个新球｝,i=0,1,2,3.8=｛第二次取出的3球均为新球｝由全概率公式，有3p（b）=£p（8|4）p（4）/=0+ +工A・N+±9・W=0.0895 55 534.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是040.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2：若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设/=｛飞机被击落｝,8,=｛恰有i人击中飞机｝，/・=0,l,2,3由全概率公式，得尸(4)=£P(小片)尸(8,)/=0=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X03+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+0.4X0.5X0.7=0.458习题二2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求:(1)X的分布律；X的分布函数并作图；1 3 3P[X<-},P{l<X<^},P[l<X<^},P[l<X<2].【解】%=0,1,2.p(x=o)=2||.故X的分布律为X012P22121353535(2)当x<0时，F(x)=P(X<x)=022当0Wx<l时，F(x)=P(XWx)=尸(右0尸一3534当lWx<2时，F(x)=尸(X<x)=尸(六0)+尸(XM尸石当x22时，F(x)=P(X<x)=1故X的分布函数

(3)0, x<022八—(3)0, x<022八—,0<x<l353435,I,l<x<2x>2心养TOC\o"1-5"\h\z3 3 3434-)=F(-)-F(l)=—=02 2 35353 3 12P(l<X<-)=P(X=l)+P(l<%<-)=—341P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(%=2)=1----=0.3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中H标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则舁0,1,2,3.P[X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(02)2=0.096P(X=2)=Cj(0.8)20.2=0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律为X0123p0.0080.0960.3840.512分布函数0, x<00.008,0<x<lF(x)h0.104, l<x<20.488, 2<x<31, x>3P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.(1)设随机变量X的分布律为才P{x—k}=ci--,其中20,1,2,…，4>0为常数，试确定常数a(2)设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N, k=\,2,…，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知_00. [k1=Z「(X=左)=。2——=ae，A=0 k=0k!(2)由分布律的性质知jv Nl=£p(X=k)=£^=a*=1 *=1N即 a=\.9.设事件4在每一次试验中发生的概率为0.3,当/发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试验中4发生的次数，则¥4(5,0.3)5尸(X23)=ZC；(0.3)"(0.7)J=0.16308%=3(2)令y表示7次独立试验中才发生的次数，则卜6(7,0.3)7。(丫23)=ZC(。.3)£(0.7产=0.35293*=3.设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X~U\2,5］,即/«=3,2</«=3,2<x<5其他户1 2P(%>3)=f-dx=-故所求概率为.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(g).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求尸{yni}.【解】依题意知X〜E(1),即其密度函数为[0, x<0该顾客未等到服务而离开的概率为P(X>10)=?dx=e-2丫〜b(5,e-2),即其分布律为p(y=左)=C：(e<)*(1-e-2)5-*，左=0,1,2,3,4,5P(r>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.516722.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在ioo5±O.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.X-10.05

0.06【解】P(|X-10.05|〉012)X-10.05

0.06【解】P(|X-10.05|〉012)=P0.06)=1-0(2)+0(-2)=2[1—0(2)]=0.045626.设随机变量X的密度函数为(1)外)=ae-叫人>0;bx,0<x<1,(2)Ax)=< 1<x<2,0,其他.试确定常数a,6,并求其分布函数b(x).x>0x<0【解】(1)由/(x)dx=1知1=[,醒-和出=x>0x<0即密度函数为当xWO时F(x)=J/(x)dx=|dx=ge"当x>0时F(x)=£f(x)dx=£*dx+£夕"=l,e*2故其分布函数F(x)=1-21A一e"、2(2)由1=[/(x)dx=j^/>xdx+j—得 b=l即X的密度函数为x，/«=-VX0,当x<0时F(x)=0当0<x<l时F(x)=£/(x)dx=£/(x)dx+£/(x)dxP X2=[xdx=—当1Wx<2时F(x)=jf(x)dx=j0Odx+fxdx+j3dx_3_j_~2~当x22时尸(x)=1故其分布函数为-e-A\x>0r,X<00<x<ll<x<2其他29.设尸收｝=(-)*,1,2，…，令求随机变量x的函数y的分布律.【解】尸(y=l)=P(X=2)+P(X=4)+-+P(X=2A)+・一30.设A-N(0,1).(1)求Qe*的概率密度；(2)求丫=*+1的概率密度;(3)求斤1X1的概率密度.x<00<x<ll<x<2x>21,当X取偶数时-1,当X取奇数时p(y=-i)=i-p(r=i)=|【解】⑴当y40时，鸟(y)=尸(y«y)=O当yX)时，FY(y)=P(Y<y)=P(e"y)=P(X<Iny)=f：Zr(x)dxfYfY(y)=味3)1xdyy⑵P(y=2X2+lNl)=l当时43)=p(ywy)=o当y>l时耳(y)=P(YWy)=P(2X2+lWy)11-in2y/2 n=--7=e J〉0yv27i⑶p（r>o）=i当yWO时4（y）=p（ywy）=o当户0时4（y）=P（|X|Wy）=P（-歹4X4y）=［：Zr（x）dx故网）磊尸2 _”2"=W"°习题三2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以丫表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.【解】x和丫的联合分布律如表：X0123000C；C；=3-35Cc；c4J10C；C；C；_6C；一35C；c；C；_12c；—35Cc；c42P(O黑,2红,2白尸C；C；C；_6C；一35C；C；_3-3504.设随机变量(x,y)的分布密度Ae-(3x+4y)

f(x,y)=<

l。，求：(1)常数小(2)随机变量(X,7)的分布函数；(3)P[Q<X<\,0#2}.【解】⑴由「「/(xj)dr砂=「「A^^dxdy=.=1得A=\2(2)由定义，有厂(x,y)=fff(u,v)dudvJ—XJ-CC235235x>0,y>0,其他.f4.8X2-x)dr=f4.8X2-x)dr=<Jy =<0,0,其他.££12e-(3w+4vldMdv_J(l-e-3x)(l-e^)y>0,x〉0,0,0,其他0,0,(3)P{0<A，<l,0<y<2}=P{0<Jf<l,0<y<2}=£12e-(3x+4>^irdy=(1-e-3)(l-e-8)»0,9499..设二维随机变量(x,y)的概率密度为4.8X2一x),0<x<l,0<j^<x,f(x,y)=< 什I0, 其他求边缘概率密度.【解】fx(x)=pf(x,y)dy_£4.8X2-x)dy_2.4x2(2-x),0<x<1,=q =lo,其他43)=「/(x/)小2.4y(3-4y+y2),0<j^<1,.设二维随机变量(x,y)的概率密度为求边缘概率密度.【解】fx(x)=[y(x,y)dyPe-vdy[e",x>0,=<{=<0Io,其他.XX=

dry-e

rxo,

—^1题8图题9图f（X,y）=<e~y,0<x<y,0, 其他.ii.设随机变量(x,r)的概率密度为/(x,y)求条件概率密度fYix(7|X),Air(XIj).【解】Ax)=「/(3)dyI£Idy=2x,0<x<1,Io/其他题10图1,|j^|<x,0<x<1,0, 其他.题11图ldx=l+y,T<"0,A（y）=r/U,>>）dx=Jfldx=l-y,0<j/<1,J-oo Jy0, 其他所以1i-y'-y<xv1,其他-y<xv1,其他1+y'0,12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为匕（1）求x与丫的联合概率分布：（2）x与y是否相互独立？【解】（1）x与丫的联合分布律如下表345P{X=x,}11_1c1-To_2__2_cf-ioc[-106To20cf-io_2__2_cf-To3lo300j__j_cf-io110P{…}1io3To6To⑵因尸吠川P{y=3}=**备4=尸-3}，故x与y不独立14.设*和y是两个相互独立的随机变量，x在(O,I)上服从均匀分布，丫的概率密度为一、-ey/2,y>0,fy(y)=\2[o,其他.(i)求x和y的联合概率密度；(2)设含有0的二次方程为d+2Ah+}H),试求a有实根的概率.【解】⑴因力(x)=L晨。*)=『，y>L15分他' b,其他.故〃x,y)x,y独立/jx)人")=0<x<1,>0,0,其他-(2)方程/+2松+丫=0有实根的条件是△=(2X)；故 於匕从而方程有实根的概率为：P{X2>Y}=/=1Mb⑪=1-缶i①⑴-①(0)]=0.1445.26.设二维随机变量(X,丫)的概率分布为题14图-47>0-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中”>,c为常数，且X的数学期望EO-0.2,尸{仁0叱0}=0.5,记Z=RK求:a,h,c的值；Z的概率分布;P[X=Z}.解(1)由概率分布的性质知,a+6+c+0.6=l即a+6+c+0.6=l即a+b+c=0.4.由E(X)=-0.2,可得-a+c=-0.1.再由p{y<o|x<o)=P[X再由p{y<o|x<o)=P[X<0,y<0}a+b+OAP{X<0}a+b=0.3.解以上关于。，h,c的三个方程得a-0.2,b=0.1,c=0.1.Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,P{Z=-2}=P{X=-1,y=-l}=0.2,p{z=-i}=p{x=-i,y=0}+P{x=o,r=-i}=o.i,

p{z=0}=p{x=-i,y=i}+P{x=o,y=0}+p{x=i,y=-i}=o.3,p[z=1}=P{x=1,y=0}+p{x=o,y=i}=o.3,0{z=2}=p{x=i,y=i}=o.i,即z的概率分布为z-2-1012p0.20.10.30.30.1尸{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.习题四.设随机变量X的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求E(X),E(A2),E(2%+3).【解】⑴£(X)=(-l)xl+0xl+lxl+2xl=l;o2o42⑵£(X⑵£(X2)=(-1)2x1+02o5-4

=-4X2+11-8X2+11-2XE(2X+3)=2E(X)+3=2xg+3=4.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为

X012345pc5乎=0.583c5~IOOc1c4工^.=0.340c5Jooc2c3-V22-=0-070c5Joo=0.007%c4c'J0V_0c5Jooc5导=0c5Joo故E(X)=0.583x0+0.340x1+0.070x2+0.007x3+0x4+0x5=0.501,5£>(%)=£[x,.-£(X)]2Z>i=0=(0-0.501)2X0.583+(1-0.501)2x0.340+…+(5-0.501)2x0=0.432.5.设随机变量X的概率密度为x,0<x<1,

/(x)=p-x,l<x<2,

0,其他.求E(X),D(X).【解】E(X)=[VXx)dx=fx2dx+fM2-x)dr2X

X2X

X 3=1.1

£(X2)=1x2/(x)dx=fx3dx+fx2(2-x)dx='故 D(Z)=E(%2)-[E(X)]2=-.6=11x8-4x5=68.7.设随机变量X,y相互独立，且E(X)=E(X)=3,D(X)=12,D(X)=16,求E(3%-2D,D(2¥-3Y).【解】⑴E(3X-2Y)=3E(X)-2£(K)=3x3-2x3=3.(2)D(2X-3K)=220(X)+(-3)2£>7=4x12+9x16=192.10.设随机变量X,丫的概率密度分别为fx(x)=<2e-2xfx(x)=<2e-2x0,x>0,x<0;/、4efy=5u，y>0,ywo.求(1)E(A>7);(2)E(2¥-3产).【解】(X)=「xfx(x)dx「'x2e_2xdr=[-xe-2x『e'2vdx=「e-2，dx=L* 2E(y)= 4eV'dy=；.E(X)=%3)®=4e，dy=a='113从而(i)e(x+y)=e(x)+E(y)=-+-=-., ,115(2)E(2X-3y2)=2E(X)~3E(Y2)=2x——3x-=-2 8811.设随机变量X的概率密度为求(1)系数c;(2)E(X);(3)D(%)【解】⑴由【解】⑴由fV（x）dx=cxe-*vdx=—=1得c=2%2.E(X)=匚4(x)d(x)=『x2k2xe^x2dx=2k2口2e-*%&=正.上 2kE(X2)=£"x2/(x)d(x)=£\22k1产土.//\2故D(%)=£(X2)-[£(X)]2=—-萼=艰.k12%J4k15.对随机变量x和y,已知。(X)=2,d(y)=3,cov(%,y)=-i,计算：Cov(3X-2Y+1,X+4Y-3).I解]Cov(3X-2Y+\,X+4Y-3)=30(X)+10Cov(X,Y)-8O(Y)=3x2+10x(-l)-8x3=-28（因常数与任--随机变量独立，故Cov（X,3）=Cov（y,3）=0,其余类似）.x>0,17.设随机变量（x,y）的分布律为X-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8验证x和丫是不相关的，但x和y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，x与y显然不独立，由联合分布律易求得x,y及量的分布律，其分布律如下表X-101p323888YT01p323888XY-101P242888由期望定义易得e(X)=e(y)=e(xn=o.从而£(Xy)=£C¥>E(y),再由相关系数性质知pbO,即x与y的相关系数为o,从而x和y是不相关的.331又P{X=_1}P{Y=-1}=-x-^-=P{X=-l,Y=-\}从而x与y不是相互独立的.从而Zr(x)=匚f(x,y)dy=因此E(X)=f/(x)dx=^2x2dx=-,£(%2)=^2x 1同理可得£(y)=-,D(y)=—.E(XY) 1同理可得£(y)=-,D(y)=—.E(XY)=/2肛dxdy=2fxdxjydy=—,54 1Cov(X,y)=E(")-E(X)E(Y)=---=-—,i4iD(X)=E(H)-[E(X)]2于是概率论与数理统计习题及答案习题一.设4,8为随机事件，且尸(A)=0.7,尸(1-8)=0.3,求尸(.AB).【解】尸(而)=1-尸(AB)=1-[尸(4)-尸(4-8)]=1-[0.7-0.3]=0.6.设4B,C为三事件，且尸(/)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且尸(AB)=P(BC)=0,P(/C)=1/12,求出B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(JU5UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AQ+P(ABC)11113=—। 1- =——443124.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率； (2)求五个人的生日都不在星期日的概率；(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设小=｛五个人的生日都在星期日｝,基本事件总数为7$,有利事件仅1个，故P(小)=—=(-)5 (亦可用独立性求解，下同)75 7(2)设4=｛五个人生日都不在星期日｝,有利事件数为6‘，故,、65 65P(力2)=-^=(-)'T7(3)设4=｛五个人的生日不都在星期日｝

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设4=｛恰有i个白球｝（，=2,3）,显然4与43互斥.故 故 p（4U4）=p（4）+p（4）=石19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设/=｛其中一个为女孩｝,8=｛至少有一个男孩｝,样本点总数为23=8,故P网4)=P网4)=P(AB)

P(/)6/8677i-7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.尸（8⑷423.设尸(4)=03,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求尸(8|4U5)【解】【解】0.7-0.5_10.7+0.6-0.5-424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设4=｛第一次取出的3个球中有，个新球｝,i=0,1,2,3.8=｛第二次取出的3球均为新球｝由全概率公式，有3p（b）=£p（b|4）p（4）z=0=、.上2+上史至・二+*止a.*_+*_・、=0089「3 「3 「3 「3 -3 「3 -3 「3^15 ^15 ^15 ^15 V15 ^15 5534.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.507,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2：若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设4=｛飞机被击落｝,5=｛恰有i人击中飞机｝,i=0,1,2,3由全概率公式，得P⑷=巧（幺田）P（耳）r=0=（0.4X0,5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7）0.2+（0.4X0.5X0.3+0.4X0,5X0.7+0.6X0.5X0.7）0.6+0.4X0.5X0.7=0.458习题二2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求:(1)X的分布律；X的分布函数并作图；1 3 3P{X<^,P{\<X<^},P[l<X<^},P{\<X<2}.【解】%=0,1,2.C322P(X=0)=^=—.C135c'c212

p(%=i)=^hi=2±C*35C11P(%=2)=^.=—.C；535故X的分布律为X012p22121353535(2)当x<0时，F(x)=P(X<x)=022当0Wx<l时，F(x)=P(X<x)=P(Ai=0)=一35当lWx<2时，F(x)=P(X<x)=尸*0)+尸(六1尸|^当x22时，F(x)=P(*<x)=1故X的分布函数(3)SP{\<X<P(1<X<尸(1<X<3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,【解】设X表示击中目标的次数.则舁0,1,2,3.0,x<022—,0<x<l35F(x)=4"34—,l<x<2351, x>2=吗啜3 3 3434-)=F(-)-F(l)=—=02 35353 12-)=P(%=l)+P(l<%<-)=—3412)=2⑵-F(1)-P(X=2)=1----=0.求3次射击中击中H标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=Cj(0.8)20.2=0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律为X 0 12 3P 0.008 0.0960.384 0.512分布函数0, x<00.008,0<x<l尸(x)=<0.104, l<x<20.488, 2<x<31, x>3P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.(1)设随机变量X的分布律为P{X=:k}z=ci--1其中20,1,2,…，久＞0为常数，(2)设随机变量X的分布律为试确定常数aP{X=k}=a/N, k=\,2,…，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知_QO. _ao_1k1=2P(X=k)=a^j——=ae，A=0 k=Gk!故

(2)(2)由分布律的性质知k=\k=\k=\即 a=\.9.设事件4在每一次试验中发生的概率为0.3,当/发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试验中4发生的次数，则¥4(5,0.3)5P(X>3)=^C*(0.3/(0.7)5-*=0.16308k=3(2)令y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b(7,0.3)7尸(丫23)=ZG(0.3>(0.7尸=0.35293£=3.设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X~U\2,5］,即〃x)="I。，〃x)="I。，2<x<5其他161 2P(X〉3)=f-dx=-故所求概率为.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(g).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求尸{yni}.【解】依题意知X〜E(1),即其密度函数为[0, x<0该顾客未等到服务而离开的概率为P(%>10)=?dx=e-2丫〜b(5,e-2),即其分布律为p(y=左)=C；(e//(l-e-2)5-*，左=0,1,2,3,4,5P(y>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.516722.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在ioo5±O.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.【解】尸(|X-10.05|〉0.12)= XT。*>处]I006 0.06J=1-0(2)+0(-2)=2[1-0(2)]0.045626,设随机变量X的密度函数为^x)=qqw,X>0;bx,0<x<1,Ax)=<~9 l«x<2,x0,其他.试确定常数q,"并求其分布函数尸(x).【解】⑴由L/(x)dx=l知1=L故即密度函数为当x〈0时F(x)=J/(x)dr当x>0时F(x)=j/(x)dx二i 1=1-e2ae-A|v!dx=2«j)e^xdx=—Aa=2x>0，/、 2/(x)=J-e2jx4012fA"a%=" 1=—eox=eL2 2二f亨故其分布函数37尸(x)=(2)由1=[/(x)dx=得即X的密度函数为,,b1bxdx+—dr=—+—x222b=l/(x);当xWO时F(x)=0当0cx<1时E(x)=£f(x)dx=£/(x)dx+[/(x)dx当1Wx<2时F(x)=Jf(x)dv-£Odr+[xdr+J—dr_3_j_2x当x22时尸(x)=1故其分布函数为1--e-Ax,x>02-eZv,x<0200<x<1l<x<2其他29.设尸收｝=(-)*,1,2，…，令求随机变量x的函数y的分布律.【解】P(y=l)=P(X=2)+P(Ar=4)+--+P(X=2jt)+--30.设A-N(0,1).(1)求Qe%的概率密度；(2)求丫=*+1的概率密度;(3)求斤1X1的概率密度.x<00<x<ll<x<2x>21,当X取偶数时-1,当X取奇数时p(y=-i)=i-p(r=i)=|【解】⑴当y40时，耳。0=P(Y4y)=0当yX)时，K")=P(YWy)=P(e'Wy)=尸(X<Iny)=£："v(x)dxfYfY(y)=味3)1xdyy⑵P(y=2X2+lNl)=l当时43)=P(y4y)=O当y>l时耳(y)=P(YWy)=P(2X2+lWy)1 1 -in2y/2 n=--r=e111 ,J>0yv27i一]I2 1 --(y-l)/4i-56—E />1⑶p(r>o)=i当yWO时4")=尸(丫4歹)=0当户0时4(y)=P(|X\<y)=P(-y<X<y)=LZJx)dx故人3)=[43)=人(歹)+人(一歹)dy=-4=e-?/2,y>0\J2ti习题三2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以丫表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.【解】x和丫的联合分布律如表：X0123000C；C；=3-35C；C；~cT10C；C；C；_6C；一35c；c；C；」2C； 35c；c；c2尸(0黑,2红,2白尸c；C/G=5C；C；C；_6C；-35C；C；_3C*-3504.设随机变量(x,y)的分布密度'Ae~(3x+4y),f(x,y)=<遍求：(1)常数小(2)随机变量(X,Y)的分布函数；(3)P(O<X<1,0<Y<2}.［解］(1)由'(x,y)dxdy=二工「4=1得4=12(2)由定义，有尸(X,歹)=ff/(w,v)dudv235235x>0,y>0,其他.y>0,x>0,其他y>0,x>0,其他其他.ff12e-0"+4v)d〃du_J(1_-3,)(1_eT'')0, 1 0(3)P{0<^<l,0<y<2}=p{o<^<i,o<r<2}=Ji£12e-(3l+4,)dxdy=(1-e-3)(l-e-8)»0.9499.8.设二维随机变量(x,丫)的概率密度为4.8y(2-x),0<x<l,0<^<x,0, 其他.求边缘概率密度.【解】£(x)=「>(x,y)4y_£4.8y(2-x)dy_12.4x2(2-x),0<x<l,=q =|o, 其他.fr(y)=["f(x,y)dxf4.8X2-x)dxf2.4y(3-4y+/),=4Jy ='0,0,0,9.设二维随机变量(x,r)的概率密度为求边缘概率密度.x>0,0,其他.【解】人(x>0,0,其他.0,力（歹）=「/（x,y）及ye，y>0,0,其他.Pe-ye，y>0,0,其他.=<A）=<0, .44ii.设随机变量(x,r)的概率密度为/(x,y)求条件概率密度fY,x(7|X),Air(XIj).【解】人。)=「/(3)如PIdy=2x,0<x<1,

"|o/其他.题11图fldx=l+y,J-Vfr(y)=£/(X,j)dx=^|'ldx=l-y,0<j/<1,

0, 其他所以4x(y|x)=〃M"人(x)1 , , 1五’3c<1，0,其他.i【-y'

1其他\+y'0,其他12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为匕（1）求x与丫的联合概率分布：（2）x与y是否相互独立？【解】（1）x与丫的联合分布律如下表345P{X=x,}11_1c1-To2_2cf-Ioc[-106To2011■二历2 2a=历3lo300J__J_cf-io1101io3To6To⑵因尸{X=]}P{y=3}*x寻焉*=尸{"，丫=3},故x与y不独立14.设*和y是两个相互独立的随机变量，x在(0,1)上服从均匀分布，丫的概率密度为.(、-e-y,2,y>0,力■(y)=12[o,其他.(i)求x和y的联合概率密度；(2)设含有0的二次方程为d+2Ah+}H),试求a有实根的概率.【解】⑴因川)=(‘晨<'fAy)=\ie1'…15只仙’ b,其他.y… -e-y/20<x<l,y〉0,故/(x,y)X,Y独立力■(工)人(歹)=2 "0,其他y1(2)方程/+2法+丫=0有实根的条件是△=(2X)故从而方程有实根的概率为:P{X2>/}==1-疡[①⑴-①(0)]=0.1445.26.设二维随机变量(X,7)的概率分布为IX题14图-4r>o-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中”>,c为常数，且X的数学期望EO-0.2,尸{仁0叱0}=0.5,记Z=RK求:a,h,c的值；Z的概率分布;P[X=Z}.解(1)由概率分布的性质知,a+6+c+0.6=l即a+6+c+0.6=l即a+b+c=0.4.由E(X)=-0.2,可得-a+c=-0.1.再由P{y<0|%<0)=P{X<0,Y<0}a+再由P{y<0|%<0)=P{X<0,Y<0}a+b+OAP{%<0}a+b+0.5a+b=0.3.解以上关于a,b,c的三个方程得a—0.2,=0.1,c=0.1.(2)Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,P{Z=-2}=P{X=-l,y=-l}=0.2,p{z=-i}=p{^=-i,y=o}+P{x=o,r=-i}=o.i,

p{z=0}=p{x=-i,y=i}+P{x=o,y=0}+p{x=i,y=-i}=o.3,p[z=1}=P{x=1,y=0}+p{x=o,y=i}=o.3,0{z=2}=p{x=i,y=i}=o.i,即z的概率分布为z-2-1012p0.20.10.30.30.1(3) 尸{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.习题四.设随机变量X的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求E(X),E(A2),E(2%+3).【解】⑴£(X)=(-l)xl+0xl+lxl+2xl=l;o2o42⑵£(X⑵£(X2)=(-1)2x1+02o5-4

=-4X2+11-8X2+11-2XE(2X+3)=2E(X)+3=2xg+3=4.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为

X012345pr5乎=0.583c5Jooc1c4-1^=。-340c5Jooc2c3-V22-=0.070c5~100=0.007%c4c'J0vz90_0c5Jooc5导=0c5Joo故E(X)