弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

课程程教教学学内内容容：：第一一章章绪绪论论第二二章章塑塑性性成成形形分分析析的的理理论论基基础础第三三章章有有限限元元法法基基本本概概念念第四四章章弹弹塑塑性性有有限限元元法法基基本本理理论论与与模模拟拟方方法法第五五章章刚刚塑塑性性有有限限元元法法基本本理理论论与与模模拟拟方方法法第六六章章几几种种通通用用有有限限元元分分析析软软件件介介绍绍（（ANSYS、MARC、ABAQUS）第七七章章几几种种典典型型材材料料成成形形过过程程计计算算机机模模拟拟分分析析实实例例4.1非线线性性问问题题及及分分类类在分分析析线线性性弹弹性性问问题题时时，，假假定定：：应力力应应变变线线性性关关系系结构构位位移移很很小小（（变变形形远远小小于于物物体体的的几几何何尺尺寸寸））加载载时时边边界界条条件件的的性性质质不不变变如果果不不满满足足上上述述条条件件之之一一，，就就称称为为非线线性性问问题题非线线性性结结构构的的基基本本特特征征：：变化化的的结结构构刚刚度度非线线性性问问题题可可以以分分为为三三类类：材料料非非线线性性：：体系系的的非非线线性性由由材材料料的的应应力力应应变变关关系系的的非非线线性性引引起起。。如金金属属变变形形弹弹塑塑性性行行为为、、橡橡胶胶的的超超弹弹性性行行为为等等几何何非非线线性性：：结构构的的位位移移使使体体系系的的受受力力状状态态发发生生了了显显著著的的变变化化。。如板板壳壳的的大大挠挠度度问问题题———平衡衡方方程程必必须须建建立立于于变变形形后后的的状状态态接触触非非线线性性：：接触触状状态态的的变变化化所所引引起起。。如金金属属成成形形、、跌跌落落试试验验、、多多零零件件装装配配体体等等碰到到障障碍碍物物的的悬悬臂臂梁梁（（端部部碰碰到到障障碍碍物物时时，，梁梁端端部部的的边边界界条条件件发发生生了了突突然然变变化化，，阻阻止止了了进进一一步步的的竖竖向向挠挠度度。。）板料料的的冲冲压压成成形形接触触非非线线性性例例子子随着着有有限限元元算算法法理理论论、、计计算算机机硬硬件件和和软软件件技技术术的的进进步步及及实实际际工工业业的的需需求求，，CAE技术术的的应应用用逐逐步步由由线线性性模模拟拟为为主主向向非非线线性性模模拟拟为为主主快快速速发发展展。。1969年，第一一个商业业非线性性有限元元程序——Marc诞生。目前几乎乎所有的的商业有有限元软软件都具具备较强强的非线线性问题题的分析析求解能能力。非线性求求解技术术的先进进性与稳稳健性已已经成为为衡量一一个结构构分析程程序优劣劣的标准准。非线性问问题的有有限元求求解方法法非线性方方程(组)的求解方方法直接迭代代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非线性问问题通常常采用增增量法求求解（追踪加载载过程中中应力和和变形的的演变历历史。））每个增量量步采用用Newton-Raphson迭代法非线性问问题有限限元控制制方程：：非线性方方程的迭迭代求解解方法直接迭代代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代非线性方方程组的的迭代求求解方法法直接迭代代法N-R迭代修正的N-R迭代非线性问问题的增增量法求求解过程程(1)将总的外外力载荷荷分为一一系列载载荷段(2)在每一载载荷段中中进行迭迭代，直直至收敛敛(3)所有载荷荷段循环环，并将将结果进进行累加加(1)将总的外外力载荷荷分为一一系列载载荷段(2)在每一载载荷段中中进行迭迭代，直直至收敛敛N-R迭代:(3)所有载荷荷段循环环，并将将结果进进行累加加4.2材料非线线性问题题及分类类概念：由由于材料料的应力力应变非非线性关关系引起起的非线线性。分类：不依赖时时间的弹弹、塑性性问题非线性弹弹性——橡胶弹塑性——冲压成形形依赖于时时间的粘粘（弹、、塑）性性问题蠕变——载荷不变变，变形形随时间间继续变变化松弛——变形不变变，应力力随时间间衰减非线性弹弹性材料料行为橡胶应力力应变关关系曲线线弹塑性材材料进入入塑性的的特征：：载荷卸卸去后存存在不可可恢复的的永久变变形。应力应变变之间不不是单值值对应关关系，与与加载历历史有关关。单轴应力力状态下下弹塑性性材料行行为单轴（一一维）应应力状态态下材料料的应力力应变行行为可以以从拉伸伸试验中中获得。。单调加载载硬化塑性性理想弹塑塑性各向同性性硬化:运动硬化化:混合硬化化:反向加载载运动硬化化各向同性性硬化混合硬化化在简单拉拉伸的情情况下，当材料料发生塑塑性变形形后卸载载，此后后再重新新加载，，则应力力和应变变的变化化仍服从从弹性关关系，直直至应力力到达卸卸载前曾曾经达到到的最高高应力点点时，材材料才再次屈服服（后继屈服服）。这个最高高应力点点的应力力就是材材料在经经历了塑塑性变形形后的新新的屈服服应力。。由于材材料的强强化特性性，它比比初始屈屈服应力力大。为了与初初始屈服服应力相相区别，，我们称称之为后继屈服服应力。与初始屈屈服应力力不同，，它不是一一个材料料常数，，而是依依赖于塑性变变形的大大小和历历史。后继屈服服应力是是在简单单拉伸下下，材料料在经历一一定塑性性变形后再次加加载时，，变形是是按弹性性还是塑塑性规律律变化的的界限。和简单应应力状态态相似，，材料在复杂应应力状态态下同样存在初始始屈服和和后继屈屈服的问问题。材料在复复杂应力力状态下下，在经经历初始始屈服和和发生塑塑性变形形后，此此时卸载载，将再再次进入入弹性状状态（称称为后继弹性性状态）。把复杂应应力状态态下，确确定材料料后继弹弹性状态态的界限限的准则则就称为为后继屈服服条件，又称为为加载条件件。问题:当材料处处于后继继弹性状状态而继继续加载载时，应应力（或或变形））发展到到什么程程度材料料再一次次开始屈屈服呢？？一般应力力状态下下弹塑性性材料行行为屈服准则则（初始始屈服条条件）硬化法则则（后继屈屈服函数数、加载载函数、、加载曲曲面）流动法则则加载、卸卸载准则则屈服准则则（初始始屈服条条件）在单向受受力情况况下，当当应力达达到材料料的屈服服强度时时材料开开始产生生塑性变变形。对于一般般复杂的的应力状状态，应应力状态态由六个个应力分分量决定定时，显显然不能能根据某某个单独独应力分分量的数数值作为为判断材材料是否否进入塑塑性变形形的标准准。为此此，引入入以应力力分量为为坐标的的应力空空间，根根据代表表不同应应力路径径的实验验结果，，可以定定出从弹弹性阶段段进入塑塑性阶段段的各个个界限，，即屈服服应力点点。在应应力空间间中，这这些屈服服应力点点形成一一个区分弹性性和塑性性的分界界面——屈服面。。描述这个个屈服面面的数学学表达式式就是我我们所要要寻求的的一般应应力状态态下的屈屈服准则则。常用的各各向同性性Von-Mises屈服准则则：各向同性性屈服准准则：各个方向向屈服应应力相同同各向异性性屈服准准则：不同方向向屈服应应力有差差异三维主应应力空间间π平面上的的屈服轨轨迹σ3=0平面上的的屈服轨轨迹硬化法则则塑性硬化化法则规规定了材材料进入入塑性变变形后的的后继屈屈服函数数（又称称加载函函数或加加载曲面面）各向同性性硬化运动硬化化混合硬化化运动硬化化：该模型假假设材料料随塑性性变形发发展时，，屈服面面的大小小和形状状不变，，仅是整整体在应应力空间间作平动动。各向同性性硬化：：材料进入入塑性变变形以后后，屈服服面在各各方向均均匀地向向外扩张张，其形形状、中中心及其其在应力力空间的的方位均均保持不不变。材料的强强化只与与总的塑塑性变形形功有关关而与加加载路径径无关。。应力有反反复变化化时，等等向强化化模型与与实验结结果不相相符合。。混合硬化化：其实质就就是将随随动强化化模型和和等向强强化模型型结合起起来，即即认为后后继屈服服面的形形状、大大小和位位置一起起随塑性性变形的的发展而而变化。该模型能能够更好好的反映映材料的的Bauschinger效应。。各向同性性硬化运动硬化化流动法则则塑性应变变增量和和应力分分量的关关系：塑性应变变沿后继继屈服面面F=0的法线方方向——是一正的的待定系系数，其其具体数数值和材料硬化准准则有关加载、卸载载准则对于硬化材材料（当材材料处于某某一塑性状状态）：4.3几何非线性性问题及分分类概念：由于大位移移、大转动动而引起的的非线性。。分类：大位移、大大转动、小应变问题——板壳的大挠挠度和后屈屈曲大位移、大大转动、大应变问题——薄板成形、、弹性材料料的受力比较：线弹弹性—几何非线性性线弹性：小变形假设设——假定物体发发生的位移移远小于物物体本身的的几何尺寸寸，应变远远小于1。建立平衡衡方程时不不考虑物体体位置和形形状的变化化。几何非线性性：物体发生有有限变形——大位移、大大转动的情情况。建立立平衡方程程时必须考考虑物体位位置和形状状的变化。。第四章弹弹塑性有限限元法基本本理论与模模拟方法4.4弹塑性矩阵阵应力与应变变的关系有有各种不同同的近似表表达式和简简化式。根根据普兰特特尔—罗伊斯（Prandtl-Reuss）假设和密密赛斯屈服服准则，当当外作用力力较小时，，变形体内内的等效应应力小于屈屈服极限时时为弹性状态。当外力增增大到某一一值，等效效应力达到到屈服应力力，材料进进入塑性状态，这时变形形包括弹性性变形和塑塑性变形两两部分，即即：式中下脚e、p分别表示弹弹、塑性状状态。(4-10)在弹性阶段段，应力与与应变关系系符合虎克克定律。进入塑性状状态后，符符合Prandtl-Reuss假设。4.4.1弹性阶段在弹性阶段段，应力和和应变的关关系是线性性的，应变变仅取决于于最后的应应力状态，，并且一一一对应，而而与变形过过程无关，，有下列全量形式：式中为为弹性矩阵。(4-11)对于各向同同性材料，，由广义虎虎克定律可可得：或：(4-12)式中：是材料的弹性模量，是泊松比。对于各向同同性材料，，广义虎克克定律：是材料的剪切弹性模模量式中：是材料的弹性模量，是泊松比。公式（4-12）的具体推推导：（2）+（3）有：将其带入（（1）得：将其带入（（1）得：同理可推得得得得表达式式，写成矩阵阵的形式，，就是：4.4.2弹塑性阶段段当材料所受受外力达到到一定值时时，等效应应力达到屈屈服极限，，应力应变变关系曲线线由弹塑性矩阵阵决定，现推推导弹塑性性矩阵。等效应力为：对应力求导导得：式中为为应力偏偏量，(4-13)(4-14)公式（4-14）对应力求求导的具体体推导：由普兰特尔尔—罗伊斯关系系有：将式4-14代入式4-15得：写成矩阵形形式为：(4-15)(4-16)(4-17)公式（4-16）的具体推推导：式中:又因有：写成矩阵乘乘积的形式式为：(4-18)(4-19)设为硬化曲线线上上任任一点的斜斜率，即将式4-20代入式4-19中得：将式4-11写成增量形形式为：(4-20)(4-21)(4-22)再利用式4-10就可得到：：两边同乘以以后可得:利用式4-17和式4-21，可将上式式写成：(4-23)(4-24)(4-25)由此得：将式4-26代入式4-17得：(4-27)(4-26)将式4-27代入式4-23得：(4-28)由式4-14有：则:(4-29)(4-30)将式4-12代入式4-30，并注意到到：得得：：因有：(4-31)(4-32)(4-33)因为：所以：公式（4-31）的具体推推导：故：注意：因为：所以：公式（4-33）的具体推推导：即：那么：或者：故令：式4-28可写成：(4-34)(4-35)利用上述关关系式可将将式4-34表示成显式式，即：(4-36)(4-31)公式（4-36）的具体推推导：对于平面应应力状态，，，，则有：：(4-38)(4-37)公式（4-37）的具体推推导：对于平面应应力状态，，，，则有：：(1)(2)得：同理可推得得的的表表达式:写成矩阵的的形式，就就是：按照上述同同样方法可可得：式中：在塑性区：：(4-39)公式（4-39）的具体推推导：所以：由普兰特尔尔—罗伊斯关系系有：写成矩阵形形式为：仿照前面，，不难推得得：而：其中：对于平面应应变问题，，有只需从式4-12和式4-36中消去上述述为零的分分量，就可可得到下列列各式。(4-40)(4-42)(4-41)4.5变刚度法变刚度法又又称切线刚度法法，它所采用用的应力与与应变关系系见图3-1。在等效应应力达到屈屈服极限后后，应力与与应变不再再是线性关关系，而是是由下列关关系式所确确定。(4-43)弹塑性矩阵阵[D]ep中含有应力力，它是加载过程程的函数。直接求解是是困难的，，通常采用增量形形式来近似代替替微分形式式，这样使求求解成为可可能。计算中由于于[D]ep在∆{σ}范围内变化化不大，因因此可假设在每一加加载步中是是一个常数数，并以该加加载步前的的应力状态近似计计算出[D]ep，即：单元刚度矩矩阵[k]在一个加载载步中也同同样取作常常数，即：(4-44)(4-45)在一个变形形体中，不不仅各点的的应力状态态是不相同同的，而且且随着加载载而变化着着，通常变形体受外外力作用时时，从一个个区域到另另一个区域域，等效应应力是逐渐渐地达到屈屈服极限，，即进入塑塑性（弹塑塑性）状态态。为了简化化，本章所所指进入塑塑性即为弹弹塑性状态态，这就是是说在变形形体中，各各单元的应应力和应变变状态是不不一样的，，随着加载载又是变化化的，且各各有各的变变化规律。。变形体内的的单元按状状态可分为为三类:弹性单元塑性单元过渡单元各类单元有有不同的本本构关系和和单元刚度度矩阵。在加载过程程中，各单单元的状态态是变化的的，为此[K]也是变化的的。在计算算中，每增增加一个载载荷增量，，就得重新新计算一次次整体刚度度矩阵[K]，这也就是是变刚度法法名称的由由来。式中[K]整体刚度矩矩阵；n1、n2、n3分别为弹性性单元、塑塑性单元和和过渡单元元的数量；；[k]e、[k]ep、[k]g分别别为为弹弹性性单单元元、、塑塑性性单单元元和和过过渡渡单单元元的单单元元刚刚度度矩矩阵阵。。对于于整整体体来来说说，，可可用用下下列列关关系系式式表表示示：：(4-46)整体体刚刚度度矩矩阵阵求求得得之之后后，，就就可可根根据据下下列列载载荷荷和和位位移移的的线线性性方程程组组求求解解出出未未知知的的节点点位位移移增增量量。有了了节节点点位位移移增增量量就就能能求求得得各各单单元元的的应变变及及应应力力增增量量。(4-47)(4-49)(4-48)4.5.1定加加载载法法定加加载载法法又又称称等量量加加载载法法。它每每次次的的加加载载量量是是预先先给给定定的。。这种种加加载载法法的的加载载量量一一般般较较大大。由于于每每次次加加载载量量较较大大，，每次次加加载载中中由由弹弹性性单单元元转转变变为为弹弹塑塑性单单元元的的过过渡渡单单元元较较多多。过过渡渡单单元元在在加加载载步步中中达达到到屈屈服服，，式中中m为加加权权系系数数，，0≤≤m≤≤1，采用用不同同的的加加载载方方法法，，过过渡渡单单元元的的处处理理也也有有所所不不同同。下面面介介绍绍几几种种加加载载方方法法。。(4-50)m的取取值值需需要要进进行行迭迭代代来来逼逼近近，，收收敛敛性性一一般般都都很很好好，，只只需需进进行行2～3次迭迭代代就就能能达达到到满满意意的的精精确确度度。。定加加载载法法计算算程程序序框框图图4.5.2变加加载载法法这种种方方法法又又被被称称作作r因子子法法。用这这种种方方法法计计算算，，每次次加加载载量量是是变变化化的的，其其大大小小是是由由计计算算结结果来来确确定定。。计算算开开始始时时预先先施施加加一一个个单单位位载载荷荷增增量量，然然后后求求出出各各单单元元在在施加加单单位位载载荷荷增增量量后后的的等等效效应应力力增增加加量量。。根根据据这这个个增增加加量量求出各各弹弹性性单单元元当当达达到到屈屈服服时时所所需需要要施施加加的的增增量量值值，，最最后后取取这这些增增量量值值中中最最小小的的一一个个增增量量值值作作为为本本次次加加载载的的加加载载量量。各弹弹性性单单元元的的加加载载因因子子按按下下式式进进行行计计算算：：式中中,i单元元前前次次加加载载后后的的等等效效应应力力；；,i单元元本本次次施施加加单单位位载载荷荷增增量量后后的的等等效效应应力力；；,i单元元达达到到屈屈服服所所需需施施加加单单位位加加载载量量的的倍倍数数。(4-51)为了了加加快快计计算算步步伐伐，，常常假假设设单单元元的的等等效效应应力力接接近近屈屈服服极极限时时就就由由弹弹性性单单元元转转变变为为弹弹塑塑性性单单元元。。一一般般可可取取单单元元等等效应应力力，，在在下下一一次次施施加加载载荷荷增增量量的的计计算算中，，这这单单元元就就按按弹弹塑塑性性单单元元处处理理。。采用用这这种种处处理理方方法法，，能能保证证每每次次加加载载后后弹弹性性单单元元中中等等效应应力力的的最最大大者者正正好好达达到到屈屈服服。在下下一一次次加加载载中中该该单单元按按弹弹塑塑性性单单元元处处理理。这种种方方法法能能避避免免在在每每个个加加载载步步中单单元元由由弹弹性性转转变变为为弹弹塑塑性性所所需需要要迭迭代代计计算算m因子子的的过程程，，还还能能保保证证足足够够好好的的计计算算精精度度。变加加载载法法的的计计算算程程序序框框图图4.5.3位移移法法对于于有有些些问问题题如如圆圆柱柱体体镦镦粗粗，，每每次次施加加的的增增量量不不是是控控制制加载载力力，，而而是是控控制制压压下下量量。假假设设工工具具为为刚刚性性体体，，在在工工具具与与坯料料的的接接触触面面上上，，各各节节点点的的位位移移相相同同。。而而接接触触面面上上的的压压力力分布布是是未未知知的的。。这这样样在在计计算算中中需需对对与与接接触触表表面面上上节节点点有有关关的方方程程进进行行处处理理。。计算算这这类类问问题题时时，，一一般般先假假设设接接触触表表面面上上有有一一个个已已知知的的轴向向位位移移增增量量，，根根据据这这个个已已知知位位移移增增量量求求出出各各单单元元的的应应力和应变增量量。这种施加位移移增量的方法法又分为定位移增量法法和变位移增量法。4.5.3.1定位移增量法法定位移增量法法每次施加的位位移增量相同同。计算过程先算算出各单元的的应力和应变增增量，有了应力增增量，累加后可可得全应力和计算得到等效应力。根据等效应应力的大小将单元分成弹弹性单元、塑塑性单元和过过渡单元。对于过渡单元元的处理与定定加载法相同同，为此这种种方法在求取m因子时也需要要进行迭代。4.5.3.2变位移增量法法这种方法与变变加载法相似似，每次施加的位位移增量由计计算结果来决定。每步计算也是是先施加一个单单位位移增量量，然后根据这这位移增量计算应力增量量，从而找出弹性单元元中等效应力力增长最快而又最先达到到屈服极限的的单元，以这个单元达达到屈服所需需要的位移增量量为本次施加加的位移增量量。达到屈服极限限的弹性单元元在下次计算算中按弹塑性性单元处理。4.6初载荷法初载荷法是将将塑性变形问问题试图转化化为弹性问题题来求解，它它把塑性变形形部分视作初初应力或初应应变来处理。。在弹性有限元元中，当弹性性体的单元中中存在初应变变{ε}，如因温度而而引起的应变变，或有初应应力，如残余余应力，则应应力和应变关关系分别为：：(4-52)(4-53)这样可得有初应变时时的的变形能为：即：(4-54)(4-55)因：得：上式中最后一一项为与节点点位移无关的的变形能，由由此可得到与节点位移有有关的变形能能为：式中∑是对对所有单元求求和。(4-56)(4-57)通过变分可得得到初载荷时时的有限元公公式为：同样可导出有初应力时的变形能为为：这样，基本方程就比比无初应变或或无初应力时时多一项{R}，{R}是作为载荷存存在于基本方方程中，称为为载荷向量。它是由于有有初应变或初初应力而引起起的，下面分分别导出{R}的表达式。(4-58)(4-59)4.6.1初应力法在小位移的弹弹塑性问题中中，应力应变变关系为：为使问题线性化，对于区域中中已达到屈服服的单元，采采用逐次加载载法。如每次加载的载载荷较小，可将上式的的微分形式近似似地写作增量量形式，即：(4-60)(4-61)得：因有：将式:代入上式，并并将右边表示示成矩阵乘积积形式，变分分后得到：令：由前面可知：：(4-64)(4-63)(4-65)(4-62)上式要表示成成（*）的形形式，必有：：写成增量形式式为：式中：(4-66)(4-68)(4-67)由上式可以看看出，初载荷荷{R}不仅与加载前前的应力有关关，而且与该该次加载引起起的应变增量量有关，即式：的两边都含未知知数。因此每此加加载时，必须须利用迭代法来求解解。具体迭代过程程：可先取，则得，求得初载矢量量，，在在载荷下下，，解方程式：：此时方程可写写成：(4-69)解方程：得到后后，再照照上述方法依依次迭代计算算下去。写作一般迭代代式为：当相邻两次迭迭代所得初应应力相差甚小小时，可认为为迭代结束。求得后后，再由由求求和和初载荷矢量量，，然后进行第二二次迭代计算算。(4-70)(4-71)为了考虑过渡渡单元，运用用前面引入的的加权系数m，这样初载荷矢矢量为：当单元为弹性状态时，取m=1单元为塑性状态时，取m=0若为过渡单元，则取计算出出的m值。(4-72)计算步骤如下下：⑴施加全部载荷荷{P}于结构，按线线弹性计算；；⑵算出各单元的的等效应力，，并取出最大大值σmax。若σmax≤σs，则材料尚未未达到或刚巧达达到屈服，所所计算结果就就是最终结果果。否则，令令β=σs/σmax，则β{P}是恰好使等效效应力为σmax的单元达到屈屈服的载荷，，同时存贮由由β{P}产生的应力、、应变和节点点位移。余下下的载荷{P}−β{P}如分n次加载完，每每次施加的载荷增增量为：⑶再施加载荷增增量∆{P}于结构；⑷计算屈服单元元和过渡单元元的[D]p，应力取加载载前的值，过过渡单元取达达到屈服时的应力值；⑸对载荷增量∆{P}进行纯弹性计计算，求得各各单元的全应应变增量∆{ε}；⑹用迭代所得的的全应变增量量，重新计算算初应力；⑺求出相应的初初载荷，与∆{P}一起作用，按按弹性问题求求解得节点位位移增量和应应变增量；⑻重复步骤⑹、、⑺直到相邻邻两次计算所所得的初应力力非常接近时时为止；⑼求出应力增量量，把位移增增量、应变增增量、应力增增量迭加到加加载前的数值值上；⑽输出本次加载载后的计算结结果；⑾载荷若全部加加完，则停机机。否则，回回到步骤⑶继继续计算。4.6.2初应变法有初应变时，，与节点位移移有关的变形形能为：将上式代入式式4-64后，进行变分分运算可得：：(4-73)(4-64)由此可得：在小位移弹塑塑性问题中，，应力应变关关系可写成：：把视视为初初应变，则与与弹性问题中中存在初应变变的情况相似似，只要在基基本方程的右右边加上由引起的初载荷荷矢量。由于于使用的只是是弹性矩阵，所以其相应应的刚度矩阵阵计算与弹性性时相同。(4-74)(4-75)把塑性应变增增量视为初应应变，则:由式4-17与式4-21可得：写作增量形式式为：(4-76)(4-78)(4-77)应用式4-76和式4-78的关系，式4-72可写成：(4-79)这样，初载荷荷矢量不仅与与加载前的应应力有关，而