建筑结构抗震原理-多自由度体系地震反应分析

工程抗震震原理PrinciplesofSeismicEngineering土木工程程专业本本科专业业课主要内容容工程结构构抗震原原理2/322第一章工程抗震基础础知识第二章场地与地地基基础础抗震原理第三章建建筑结构抗震原理理第六章桥梁结构构抗震原理第七章工程结构构减震控控制原理第三章建建筑结结构抗震原理§1概述§2单自由度度体系地地震反应应分析§3单自由度度体系水水平地震震作用§4多自由度度体系地地震反应应分析§5地震分析析振型分分解反应应谱法§6水平地震震作用的的底部剪剪力法§7考虑扭转转的水平平地震作作用§8结构竖向地震震作用§9建筑结构抗震震验算§10结构自振振周期和和频率的的实用计计算方法法§11工程结构构地震反反应的时时程分析析方法§12地基与结结构动力力相互作作用效应应§4多自由度度体系地地震反应应分析4.1动力方程程的建立立实际工程程结构的的质量都都是沿结结构几何何形状连连续分布布的，因因此，严严格地说说，其动动力自由由度应该是无限的的。但是，采采用无限限自由度度模型，，一方面面计算过过于复杂杂；另一一方面也也没这种必要要，因为为，选用用有限多多自由度度模型的的计算结结果已能能充分满满足一般般工程设设计的精精度要求求。因此，在在研究和和应用中中，一般般通过结构构的离散散化方法，将无限自自由度体体系转化化为有限限自由度度体系。§4多自由度度体系地地震反应应分析由结构动动力学理理论可知知，结构构离散化化的基本本方法有有广义坐标标法、有限元法和集中质量量法。集中质量量法是最最早提出出、也是是最简单单的方法法。这一一方法人人为地将将质量集集中于一一些点处处，与之之相对应应，结构构的刚度度特性、、阻尼特特性、荷荷载特征征则被集集中于质质量的平平移自由由度方向向。集中质量量法所带带来的计计算便利利是显而而易见的的，但是是，对于于动力问问题，不不适当地地集中质质量也可可能导致致较大的的计算误误差。因此，对对集中质量量法应附加动动能等效效原则，，即集中中前后体体系的动动能不发发生显著著变化。。§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析定义影响响系数αij是由j坐标单位位物理量量在i坐标方向向上引起起的力，其具体含义义可以是是刚度系系数、阻阻尼系数数、质量量等。对于一般般多自由由度体系系，假定定任意时时刻t，j坐标方向向的位移移（相对对于平衡衡位置））为uj，相应的的速度、、加速度度分别为为、。则在此时时刻，所所有j坐标处的的物理量量（包括括i坐标处））与相应应于坐标标i处的影响响系数乘乘积之和和即为i坐标方向向所受到到的力，，即：§4多自由度度体系地地震反应应分析惯性力：其其中mij—质量，，对于集集中质量法法，i≠j时mij=0；恢复力：kij—刚度系数；；n—动力自由度度数;阻尼力:cij—阻尼系数。根据达朗贝尔尔原理，上述述各力之和即等于i坐标处作用的的外力pi(t)，即：8/180§4多自由度体系系地震反应分分析全部n个坐标的运动动方程可用矩矩阵形式表示示为式中，[M]、[C]和[K]—分别为结构构离散体系的的质量矩阵、、阻尼矩阵、、刚度矩阵，，对于集中质质量法，[M]为对角矩阵；；{uj}、{}和{}—分别为结构构离散体系的的位移向量、、速度向量和加速度向量；；{P}—动外力向量量。§4多自由度体系系地震反应分分析图示多自由度度弹性体系在在水平地震运运动作用下的的变形情况。。这时，体系上上并无动外力力p(t)作用，仅有地地震引起的地地面运动。此时，i质点的惯性力力为：§4多自由度体系系地震反应分分析注意到弹性力力和阻尼力仅仅与相对位移移和相对速度度有关，因此此，由达朗贝贝尔原理可得得水平地震运运动作用下的的运动方程为为：写成矩阵形式式为：式中，{I}—惯性力指示示向量，§4多自由度体系系地震反应分分析4.2地震反应分析析的振型叠加加法1.振型与自振频频率求解弹性体系的自振频率和振振型称为自振特性分析。由于体系的固有频率和相应的振型都仅取决于体体系自身的性性质，而与时时间无关，所所以从广义的的观点，自振振特性分析的的基本手段是是变量分离法法，即把时间因素与与结构位置因因素分离后，利用特征方程程具有非零解解的充分必要要条件求取自振频率及相应的振型。§4多自由度体系系地震反应分分析无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程程为：设结构作简谐振动，其位移反应应为：式中，ω—自振频率；；θ—初始相位角;{ϕ}—仅与位置坐标标有关的向量量。可以得到特征征方程：根据线性代数数的知识，特征方程存在在非零解的充要条件是是系数行列式等等于零，即得到频率方程：§4多自由度体体系地震反反应分析对于稳定结结构体系，，其质量矩矩阵和刚度度矩阵具有有实对称性性和正定性性，所以，，相应的频率方程的的根都是正正实根。对于处于随遇平衡状状态或不稳定状态的结构构体系，频频率方程会会出现等于于零的重根或虚根根。一般地，地地震工程中中遇到的结结构体系多多为稳定体体系。§4多自由度体体系地震反反应分析根据特征方程：对应于频率率方程中的的每一个根，都存在特特征方程的的一个非零零解{ϕj}，称为振型向量，或叫叫特征向量，或叫叫模态向量。由于特征方方程的齐次性，该非零解是不不定的，即振型向量幅幅值是任意意的，但形状是唯一一的。因此，振型型定义为结结构位移形状保保持不变的振动形式式。根据可知，若结结构体系按按某一振型型振动，则则体系的所有质点将将按同一频频率作简谐谐振动。§4多自由度体体系地震反反应分析为了对不同同频率的振振型进行形形状上的比比较，需要要将其化为为无量纲形形式，这种种转化过程程称为振型的规格格化。振型规格化化的方法可可采用下述述三种方法法之一：(1)特定坐标的的规格化方方法：指定定振型向量量中某一坐标值值为1，其它元素素按比例确确定；(2)最大位移值的的规格化方方法：将振振型向量各元素分别别除以其中中的最大值值；§4多自由度体体系地震反反应分析(3)正交规格化化方法：令其中对于[M]为对角质量量矩阵时，，可简写为为：式中，ϕji—j振型向量第第i坐标处的值值；Mj—j振型的广义义质量。§4多自由度体体系地震反反应分析2.振型的正交交性根据特征方程：分别对振型型i、j列出运动方方程：左式(a)两边边乘乘以以向向量量{ϕj}的转转置置{ϕj}T，右式两两边边乘乘以以向向量量{ϕi}的转转置置{ϕi}T，则则有有：：左式式不不变变，，而而对对右右式式进进行行转转置置运运算算可可得得18/180§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析将右右式式减减去去左左式式，，可可得得：：若ωj≠ωωi，则则有有：：同时时有：：分别别称称为为振振型型对对质质量量矩矩阵阵的的正正交交性性和和振振型型对对刚刚度度矩矩阵阵的的正正交交性性。。§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析振型型对对质量量矩阵阵的的正交交性性的的物物理理意意义义是：：某某一一振振型型在在振振动动过过程程中中所所引引起起的的惯惯性性力力在在其其它它振振型型上上所所作作的的功功为为零零。。这说说明明某某一一个个振振型型的的动动能能不不会会转转移移到到其其它它振振型型上上去去，，或或者者说说体体系系按按某某一一振振型型作作自自由由振振动动时时不不会会激激起起该该体体系系其其它它振振型型的的振振动动。。振型型对对刚度度矩阵阵正交交性性的的物物理理意意义义是，，体体系系按按某某一一振振型型振振动动时时，，它它的的位位能能不不会会转转移移到到其其它它振振型型上上去去。。§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析振型型的的两两两两正正交交特特性性说说明明它它们们具具备备作为为一一类类线线性性空空间间基基底底的的基基本本条条件件。事实实上上，，由由振振型型向向量量所所张张成成的的线线性性空空间间正正是是一一般般动动力力反反应应空空间间，，在在这这空空间间的的任任一一点点表表示示一一个个特特定定的的动动力力反反应应，，并并且且这这一一点点的的坐坐标标值值可可由由关关于于基基底底（（振振型型））的的广广义义坐坐标标给给出出。。§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析3.正交交阻阻尼尼若无无外外部部能能量量输输入入，，则则任任何何原原来来振振动动的的物物理理系系统统都都会会随随着着时时间间的的增增长长趋趋于于静静止止，这是是因因为为系系统统的的能能量量会会因因为为某某些些原原因因而而耗耗散散。。产生生振振动动系系统统能能量量耗耗散散的的原原因因称称为为阻阻尼尼。。目前前，，关关于于结结构构振振动动的的耗耗能能机机理理并并不不十十分分清清楚楚，，已已经经提提出出的的许许多多材材料料阻阻尼尼的的数数学学模模型型，，每每一一种种模模型型都都有有其其适适应应范范围围和和局局限限性性。。由于结构构的阻尼尼机制十十分复杂杂，工程程上常采采用简单单的正交交阻尼模模型。§4多自由度度体系地地震反应应分析目前工程程上广泛应用用的是瑞瑞雷阻尼尼模型，，其数学学表达式式为：式中，α0、α1—瑞雷阻阻尼系数数。由于振型型向量对对质量矩矩阵和刚刚度矩阵阵具有正正交性，，因此，，对于瑞瑞雷阻尼尼模型，，也有：：即振型对对阻尼矩矩阵也具具有正交交性。利用上述述正交性性条件，，并注意意到：§4多自由度度体系地地震反应应分析其中：为为第j振型的广广义质量量；为第j振型的广广义刚度度；为第j振型的广广义阻尼尼；为第j振型阻尼尼比。因此有：：若已知任任意两阶阶振型的的阻尼比，则则可定出出阻尼系系数：§4多自由度度体系地地震反应应分析4.求解地震震反应的的振型分分解法§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析4.求解地震震反应的的振型分分解法一组正交交向量可可以作为为线性空空间的一一组基底底，这些些基的适适当线性性组合构构成空间间的点。。根据这一一观点，，线性结结构的动动力反应应必然是是其振型型向量所所张成的的线性空空间中的的点，点点的规迹迹则反映映动力反反应的时时程变化化过程。。为简单明明了地说说明问题题，先考虑两两个自由由度的体体系。§4多自由度度体系地地震反应应分析将质点m1和m2在水平向向地震作作用下任任一时刻刻的位移移u1(t)和u2(t)用两个振振型的线线性组合合表示：：其中，第第一振型型向量，第二振振型向量量。这实际上是是一个坐坐标变换换式，原原来的变变量u1(t)和u2(t)为几何坐坐标，而而新的坐坐标q1(t)和q2(t)可称为广广义坐标标。由于体系系的振型型是唯一一确定的的，因此此，当q1(t)和q2(t)确定后，，质点的的位移u1(t)和u2(t)也将随之之确定。。§4多自由度度体系地地震反应应分析对此也可以这这样理解解：体系的位位移可看看作是由由各振型型向量乘乘以相应应的组合合系数q1(t)和q2(t)后叠加而而成的。。换句话讲讲，这种种方法是是将实际际位移按按振型加加以分解解，故称称为振型型分解法法。另外，由由于q1(t)和q2(t)是随时间间变化的的，因此此，同一一振型在在不同时时刻对总总位移““贡献””的大小小是不一一样的。。§4多自由度度体系地地震反应应分析对于一般般的多自自由度线线弹性体体系，有：式中，为为位位移向量量；为广义坐坐标向量量；为振型矩矩阵，其中{ϕj}为体系的的第j个振型向向量。将上式两边分别前乘乘{ϕj}T[M]，利用振振型关于于质量矩矩阵的正正交性及及上式，可导导出广义义坐标与与一般位位移反应应的关系系。一般用于决定定各振型型的初始始条件。。§4多自由度度体系地地震反应应分析在水平地地震作用用下，多多自由度度弹性体体系的运运动方程程为：为应用振振型分解解法，一一般采用用瑞雷阻阻尼模型型。将：代入，，并前乘乘振型型向量量的转转置{ϕj}T，利用用振型型向量量对质质量矩矩阵、、阻尼尼矩阵阵和刚刚度矩矩阵的的正交交性，，可得得：注意到到§4多自由由度体体系地地震反反应分分析则上式式可转化为：：其中称为第第j振型的的振型型参与与系数数。利用有有阻尼尼体系系的Duhamel积分公公式：广义坐坐标q