数理统计-统计第5章

从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作

.但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导

出这些数据范围之外的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.历史和发展数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所

的问题作出推断和，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.数理统计学的概念由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象的全部信息.因而由此获得的结论必然包含不肯定性.在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.数理统计与概率论的关系可见，在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法.因为随机抽样的结果带有随机性，必须当作随机现象来处理.由此也可以说，概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用.但它们是并列的两个学科，并无从属关系.统计方法具有“部分推断整体”的特征.因为

是从一小部分样本观察值去推断该全体对象（总体）情况，即由部分推断全体.这里使用的推理方法是“归纳推理”.这种归纳推理不同于数学中的“演绎推理”，需要强调说明一点：归纳推理第一节

简单随机样本一、总体与二、随机样本的定义三、统计量四、小结一、总体与1.总体试验的全部可能的观察值称为总体.在研究2000名学生的时,这些学生的的全体就构成一个总体,每个学生的就是

.2.实例1总体中的每个可能观察值称为.某工厂10月份生产的灯泡

所组成的实例2总体中,

的总数就是10月份生产的灯泡数,这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生产和今后生产的灯泡.当有限总体包含的的总数很大时,可近似地将它看成是无限总体.3.

有限总体和无限总体4.

总体分布实例3

在2000名大学一年级学生的

中,年龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20”

的依次有9，21，132，1207，588，43

名,

它们在总体中所占比率依次为,9

21

,132

,

1207

,

588

,

43

,即学生2000

2000

2000

2000

2000

2000的取值有一定的分布.一般地,所研究的总体,即研究对象的某项数量指标X

,其取值在客观上有一定的分布,X是一个随量.如实例3中,总体就是数集{15,

16,

17,

18,19,

20}.总体分布为2019

21

132

1207

588

432000

2000

2000

2000

2000

2000比率二、随机样本的定义量若X1

,,1.样本的定义设X

是具有分布函数F

的随2

,,XXn

是具有同一分布函数F、相互独立的随 量

则称

21,,

从分布函数F(或总体F、或总体X

)得到的容量为n

的简单随机样本简称样本.,它们的观察值

n

称为样本值,

又称为X

的n

个独立的观察值.2.简单随机抽样:获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.根据定义得:个样本,21,,,

n

为F若n

的联合分布函数为n则

()x,,Fi,)i121

n又若X

具有概率密度f

,则21,f

*(n联合概率密度为n

)

f

(

xi

).i

1n

)是来自总体的样本,求样本n

)的概率密度.(例4布,(设总体X

服从参数为

(

0)的指数分解总体X

的概率密度为

0,

x

0,x

0,f

(

x)

ex

,有相同的分布,21

,,21

因为所以,(概率密度为n

12ni

1n

(,,(),)ff

x

ni其他.x

0,0,n

xii

1X1

X

2

,(,

Xn

的分布律.),例5

设总体X

服从两点分布B

1,(p),

其中

p

1,0解总体X

的分布律为P{

X

i}

pi

(1

p)1i因为

21

,,

互独立,且与X

有相同的分布,所以

X12

(X,,),

的分布律为(i

0,

1)

2211

P{

X1

x1

}P{

X2

x2

}

P{

Xn

xn

}n

nn

xii

1

xi

pi

1(1

p)中取{值0,1.}其中x1

,x2

,,集合三、统计量12,,,12gxg

XXn是相应于样本n(,,,1,2)(,,,)

是计量.设12,,,的样本值则称的观察值.n

)是一个统的一个样本,n

的函数,若g中1.

统计量的定义设X1

,g(

n

)是不含未知参数,

则称

g(2

)的,(

一个,

来自总体N实例1

设,其中样为本已知,2

为未知,判些是统计量,哪些不是?是T134X1

,1

(3,,T2

XT5

X e

X3

,1

2

X1

X2

2,1不是T6

2

(3).2.

几个常用统计量的定义设

21,

来自总体的一个样本,21,这一样本的观察值.ni

1iX

;1n(1)样本平均值

X

(2)样本方差1n

1S

n

ii

12(

X

X

)

222

1

n

i

1

iX

nX

.n

11n其观察值

x

ni

1ix

.其观察值n

1s

ni

1i2(

x

x

)

2122

1

n

i

1n

1ix

nx

.(3)样本标准差S

S

2

1n

ii

1X

X

2

;n

1其观察值1n

ii

1(

x

x)2

.n

1s

(4)

样本

k

阶(原点)矩

A

X

,

k

1,

2,

;1nni

1kik其观察值,

k

1,

2,

.nn

1

i1xkk

i(

X

X

) ,

k

2,

3,

;1nB

(5)样本k

阶中心矩：2阶相似于样本方差nk

ii

1k其观察值,

k

2,

3,

.(

x

x)1nbk

nk

ii

1由以上定义得下述结论:若总体X

的k

阶矩E(

X

k

)

记成

存在,k则当n

时,

A

P

,

k

1,

2,.k

k证明因为同分布,k

同分布,所以X

k

,X

k

,,1

21故有

E(

X

k

)

E(

X

k

)

E(

X

k

)

.辛

理2

n

k理知,

k

1,

2,

;1nk再根据第五章辛nk

P

ii

1X

更一般地，由第四章关于依概率收敛的序列的性质知g(

A

,

A

,,

A

)

P

g(

,

,,

),1

2

k

1

2

k其中g

是连续函数.以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.*依概率收敛序列的性质（见书本P102）:设

X

P

a,

Y

P

b,n

n又设函数g(x,y)在点(a,b)连续,则

g(

X

,

Y )

P

g(a,

b).n

n证明

因为g(

x,

y)

在(a,b)

连续,

0,

0,使得当

x

a

y

b

时,g(

x,

y)

g(a,b)

,2

2

nn

X

a

Y

b

,于是{g(Xn

,Yn

)

g(a,b)

}

{

Xn

a

Yn

b

}因此P{g(Xn

,Yn

)

g(a,b)

}

2

2

nn

P

X

a

P

Y

b

n0,n故lim

P{g(Xn

,Yn

)

g(a,b)

}

1.[证毕]3.

特殊统计量：经验分布函数总体分布函数F

(x)相应的统计量称为经验分布函数.经验分布函数的做法如下:个样本,X

2

不)

大设

21,,,

n是总体F用(S)

(x

x

表示

X1于

x

的随

量的个数,定义经验分布函数Fn

(x)为nF

(

x)

1

S(

x),

(

x

)n对于一个样本值,Fn

(x)的观察值容易求得.(Fn

(x)的观察值仍以Fn

(x)表示.)实例2

设总体F

具有一个样本值

1,

2,

3,3F

(x)的观察值为则经验分布函数1,3120,

x

1,,

1

x

2,3, 2

x

3,x

3.F

(

x)

3实例3

设总体F

具有一个样本值

1,

1,

2,则经验分布函数F3

(x)的观察值为0,

x

1,21

x

2,1,

x

2.F3

(

x)

3

,一般地，设n

是总体F

的一个容量为n

样本值,n

按自小到大的次序排列,先将并重新

,)2()1((

k

1)

,1,

x

x(

n)

.则经验分布函数Fn

x)的(

观察值为0,

x

x(1)

,kFn

(

x)

n

,对于任一实数x

当n

时Fn一致收敛于分布函数F

x),(即x

以概率)1(x

F

x

1.0)()(supP

lim

Fnn

x

对于任一实数x当n

充分大时,经验分布函数的任一个观察值Fn

(x)与总体分布函数F

(x)只有微小的差别,从而在实际上可当作F

(x)来使用.汶科汶科定理四、

直方图：密度函数的图形近似（1）先把样本值x

x21,,

行分组：（i）找出最小值x*和最大值x*

;1

nt10其分点记为a

t

t

tmm1

b.

（iii）计算样本值分别落入区间（ttii

1

]的,

频率（2）对每个i，以线段titi1为底，1nii

选a

x(*,)

b

x*，并m

1等

分区间（a,]b

，为高画一排竖着的长方形fii以y

ti1

ti称之为直方图。下面列出了84个依特拉

人男子的头颅的最大宽度(mm),试验证这些数据是否来自正态总体?(