物理答案-固体物理学

《固体物理学》习题完全简立方， 6

38

26

26

3 V4(a

3a4r,Va3,晶胞内包含1个原子，所 = 图1.2简立方晶 图1.3体心立方晶子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为 32*4(3a3以 a 3个面心原子球相切，因为2a4r,Va3，14个原子，所以4*4(2a 图1.4面心立方晶 图1.5六角晶 图1.6正四面 2a22r 晶胞体

2*4(a 23ca 2四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为3a8r晶胞体积Va8*4(3 a

图1.7石结1.21.2试证明六角密堆积结构中2 c32322323证明：由1.1题，六角密排中h a rc，故c

1)2 a aa

aa aa 解：由倒格子定义b12 b22 b32 a1a2

a1a2 a

a1a2 a

(i

jk

(i

jk

(i

jk 2

a 倒格子基矢b12 3 (ijk) (ijka1a2 2a2 2

(ijk)(ijk (jka 2 2 同理b22 1 (ik b3 (ija1a2 可见由b1b2,b3为基矢构成的格子为面心立方格aa

jk) a2a(ki)3

j) a 倒格子基矢b12 b1 (ijka1a2 2 同理b2 (ijka

2 b3 (ijka可见由b1b2,b3为基矢构成的格子为体心立方格(2(2a a b12 b22 b32 a1a2 a1a2 a1a2倒格子体积v*bbb v*(2

(2vv (a2a3)(a3a1)(a1a v0vv 1.51.5证明：倒格子矢量Gh1b1h2b2h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3的晶面系 证：CA13,CB2h1 CA0h1h2h3hh CBhh12Gh1b1h2b2h3b3与晶面系(h1h2h3正交1.61.6b,构成简单正交系，证明晶面族(hkld h)2k)2l)2

b

aai,

bj,

a a a

aa aa 倒格子基矢b12 b22 b32 a1a2 a1a2 a1a22

2

2 i,b j,b 倒格子矢量Ghb1kb2lb3

2 2 2ik jl 晶面族(hkl)的面间距d2 (h)2(k)2(l 简立方面心立方体心立方 最近邻间

2 3 次近邻 次近邻间 (110)1.８画体心立方和面心立方晶格结构的金(110)1.８画体心立方和面心立方晶格结构的金属在(100)解 —— BRBaia

2

、、 加上不动C1，所有对称操作构成群2C4=（C1C2C3C4）任意两元素乘积仍是群中元素。1.111.11利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为 00033 0

2

0Ax

0

0 13

31则由A'xA

33 13

13 31 31可

33 330,130,31即

将上式代3133

A'xA. 1

3

3

3

3

0 4

xx4

232 1 31 11 3 11 3 3

33

230,320,1122 0

0

33图晶格的旋转对称性A'B'2acosm0:,3 m1:,2,4,5 m2:,2

mcos2

，4,

分别等于顺时针旋转 ，

2, ,, 2 2,nn2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号r表示相邻离子间的距离，于是有 (1)2[1111 后要乘2，马德隆常数为2[1111 x2x3n(1x)xx

当X=1时，有1

2n U(r)q26baq240dUdU

rr

rr2aq2r20

rrncrn0aq

nc

aq2(11rr得rr

r0(q)

n 结合能U(r02 2 1 1r02q4aq2n14n1r0结合能U(2r0

a4q

)) U(r1(1 r02.3若一晶体的相互作用能可以表示为u(r) ，求（1）平衡间距r0（22.3若一晶体的相互作用能可以表示为u(r) ，求（1）平衡间距r0（2）结合能W（单个 子的）（3） （4）若取m2,n10,r00.3nmW4eV，计算

0 0 n1 r 1单个原子的结合能W

u(r0)(rmrn

r

W VNAr3——A为常数，N为原胞数目晶体内能U(r)N() N(mn 2 2UNr[(mn 2V

3m

3n2

V

29V

r

r

rmrn

N(

n

2 m 2rm1rn1

V 1[m229V V 1[mmnn]29V V Nnm[29V

00V

2U0 体弹性模量K

2)V K

r0 )

W2

n)(mW 1.181095eV2r2[

9.01019eV00r100解：共价键沿立方体四对角线方向，与中心可构成正四面体，易得键角为109°28′i2III族原子，有效电荷q*3821电中性时有q* 故25p 1 f B pA 1 6 6 (r),u(r)2N(4)An(r Al(r) du(r) 6 A6 0 0

2 N

bcc

u(r0u(r0)

12.252/(6)/(6) 14.45222.7HLennard—Jones势参数为50106J,2.96AHU2N

P6 R ijR P614.45392;P1212.13188,501016erg, 6.0221023/

将R0代入U 2.96 2.966U260221028/mol501016erg 2.55KJ/ 3.16 3.16因此，计算得到的H2晶体的结合能为2.55KJ／mol，远大于实验观察值对 的晶体，量子修正是很重要的，计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实3.13.1j个格波，在第n个格点引起的位移为，njajsin(jt_naqjj，nnjajsin(jtnaqjj 2 * 2

nj nj j可以忽略不计。所以2 由于nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为2 T0a2sin(tnaq)dt1 T20T2

T d2 w T T dx0 nj dt jjL00a2sin(tnaq)dt

w2T T0

0

0

所以T1w2La21KT j因此将此式代入（2）式有2j PLjj 22 KTjj

PL PL 解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。 2n，2n+2，2n+4……M M (2m2)A(2cosaq)B(2cosaq)A(2M2)B

2

2n

2nAei[t(M M 2 2 2 2AB

2cosaq02M22(mM

{1

aq]2 (mM(mM 2 (mM

sin2aq]212(mM){1 1

aq]2 (mM——

cosmmm

sinm m 长波极限情况下q sin( )

最近邻间距为求在k0和k 处的(ka2a大略地画出色散题模拟双原H2

us Md2usCVdt2

10C

ussMd2Vs10Cudt2s

C

Vs将

ueisKaeit,VVeisKaeit.sM2uC10eikaVsM2VCeika10u11CVM211C,C(10eiKaC(eiKa10M2 M2422MC220C2(1conKa)2C11121201 M 当K=0时 当K=/a222C/M2

220C/M22C/M3.43.4考虑一个全同粒子组成的平面格子，用Ulm记第l行m2U 2U)l l)d2Udt（1）M（2）设解得形式为UlmU(0)exp[i(lkxamkyat)]这里a是最近邻原子间距，证明远 满足的，如果2M2C(2coskacoskakkxky0时和kxky时的k11（4）对于ka1证明M)2(kxky)2M1)2解：（1）对于0原子（Ulm）考虑左右上下原子与其相对位移 l lMUC(UU)C(U l l l l MUC[(UU l l Ul1mU(0)exp[i((l1)kxamkyat)]Ul1mU(0)exp[i((l1)kxamkyat)]Ulm1U(0)exp[i(lkxa(m1)kyat)]Ulm1U(0)exp[i(lkxa(m1)kyat)]将各解代入平面运动方程，的色散关系2M2C(2coskxacoskk( k(, ,) a

a ak

k

0时，22C(1cosMk

时，24C(1cos

a)4C(1cosk 对于ka1

(1coskxa)coska12M

22

1

k2a22 12 12 M[2(12kxa)(12kya)]M(kxkyMM即

(kxky)2 3.53.5已知某离子晶体每对离子平均互作用能为u(r)qr r离子间离子间距r02.82Au1r 其中.为力常数。它与振动频率有如下关 111 ⑴式 左边为每对离子的平均作用能

nr

⑷所 c ⑷0r 40 0e Ebu(r0)

)1.27 n22r0

2u2u(11

5.25所 v 8.351012sc 3.59 8.35

m与吸收频带的关察值61m 波矢取值q

——对应q,d()d2Na 24sin2(aq m令0m

0sin( dacos(aq110cos(aq)2

d2

2200d002

22 dq a2020()a2020

20一维单原子链的频率分布函20

3.7q=0附近的长波极限有3.7q=0附近的长波极限有(q0Aq4f()0

A3/20 ,0,解：时，Aq20f(0,0Aq2qA21

V V依据q(q2Aq,f(2

Vf

V1V1 4

1

3

3 2

1/

3 2

2 2 0 2 B点能量

2KK

22

222所以

2ma a TT2证明：在kkdk间的独立振动模式对应于平面中半径nndn间圆环的面积2ndn 2ndnL2kdk5kdk即

d

d 2E 2

mdE3skBT kBT3skBT xDx2v

0e/kBT 2v22 e/kBT 2v22Dex T0时，ET3,C( )T能为F能为FUk Bq nk1 q 能为FUkT q1ek 2k n B

q

应用ex1xx22 所以ekBT q q kBT q qk因此FUqkBTn11 U0kBTn k其中

1U1

kBTq2EmEgd将E1和g 2代入积分 E 49N，由于k得E9Nk 162v B Bss一股晶体德拜温度为 ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升 所需热能相比拟 （1）光学波0,0，声学波A3.11一维复式格子m51.671024gM4,1.5101Nm(即1.51104dyncmm（4）与 M21.510M21.5104dyn/ 3.0010so

6.7010132Mm21.51042Mm21.51044551.671024dyn/451.67102451.67m21.5104dyn/51.67 5.9910（2）o

6.5810165.991013s11.971026.5810166.701013s14.411026.5810163.001013s13.95102（3）nA

A

/kBT1

0.873,nO

O

/kBT

2

/kBT（4）

比较两个电子云分布（即2）说明能隙的来源(假设V=V*)a4.1根据k 状态简并微扰结果，求出与E及E相应的波函数及。说明它们都代表驻波，解：令kk，简并微扰波函数为A0(xB0 E0(k)EAV*B VAE0kEB EEEE0(knA0(x)0(x)A

2 eiax eiaeLL LL EEEE0k

VnAVnB得到AA0(x)0(x)A

2 eiax eiaeLL LL 可知，及均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度(k)为零．产生驻波因为电子波kn时，电子波的波长22a 电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k的0级波函数 i2 i i2 i2(m1)LLLLk解：*(x) eikx eikxe e2ae e LLLLk**第一能带：m 0,m0,(x)

iLe2L

a

iL*L

i3

,即m

=e2a）k(x) e i i2 i5LLk第三能带：cc,m LLk

,即m1,*(x) e2ae e24.31m2[b2(xna)2 nabxna周期场中的势能．V(x) (n1)abxna 其中a，(1)试画出此势能曲线，求其平均值(2)V(x)1V(x)1aV(x)dx1L a a

Va4b，故积分上ab3b，但由于在b3b区间内V(x)0，故只需在bb区间内a 2a 2a 1 m2 m2a 2a 2a V V(x)dx (bx)dx bxb xb mb 1 V(x)V0

Vmcos2bx,Vm2b0V(x)cos2bxdxb0V(x)cos2b第一个禁带宽度Eg2V1,以m1代入上式,Eg

b(b2x2)cos u2 u2利用积分公式u2cosmudu16m2

musinmu2cosmum2

sinmuEg1 bEg22V2,以m2代入上式,m2 2m2Eg2 0(bx)cosbdx再次利用积分公式有Eg2

(k)sJ0 Rs

J(Rs 1 JJ(R)0*(R)[U()V()]0()}1 E(k)J

eikRRsa aa 2 0 2

a a 0

a a

2

2 aa

a 0 a

a

a 2 , ,0 , 2 a a i j

Es(k)J

eikR i(kijki(kijkkj0k

aa

RseikRs z(2iia(kxky)(coskxaisin kyaisine Es(k)4J(cosksxa kyacos kzacos kzz 2cos 2cos2 a a a a a a a a a 2 a

a a , ,

a a a i j

Es(k)J

eikR

Rsi i(kki

jk)aaa

kk keikRs z k

2 ei2(kxy (coskxaisin kyaisin kzaisin Es(k)sJ08J1cos(kxa/2)cos(kya/2)cos(kza/mHn4.5n表示一维晶格的第n个格点的s

xnn

k(x)eikxkn

x

x

)eikxn

xnik 即Cexn薛定谔方程为Hˆ(xxE(x)

2H

v(r

2 ˆˆ u( xn [v(r xn H 其中 ˆ

ˆ

v(r)u(xxn)

mHn

ˆ (x)(HˆHˆ)exn(xx 0

n

E

k

ik(xx

m*(x

NE(0)Neik

ˆ

(xn

xm

x)H x（（1）根据 近似，只计入近邻相互作用，写出s态对应的晶体波函数形1N 态的波函数k(r) exp[ikRm]i(rRm)变NN (r)N Rm

exp[ik(Rmd)]i(r

d其中d0和b两个值，分别表示原胞中两个原子的位置，用ab(r) 1exp[ikna](rna)exp[ik(nab)](rnaN NE(k)iJ0(0)J(naab)exp[ik(naab)]J(nab)exp[ik(nanE(k)iJ0(0)J1{exp[ik(naab)]exp[ik(naE(k)J(0)Jexp[ik(2n1a a iE(k)

J(0)

2exp[ik(2n1a

a

J(eikaeika)

coska

cos1s ikR1sE(k)EJ J(ps ,N(E)2

L

2Na ,NF2(k)2dk20

2J1asin J1sin 2kF FkFE0E(k0)E2JcosaE,N(E0)

Jsin

aa0区边中点的波矢为

iˆ,角顶B点的波矢为K

iˆa a 电子能量

KK

2 22A点能量 K2ma2ma2 2

A点能量A

2ma 2 2

222B点能量

2m

K2K2K22ma a

2m3a 所以BA为

2K

K

K

4

3a

2 N

其中V3a

2 2220 2 E(k)E(k)2(kk)2,m0.06E1(k)E1(0)2k2,m10.18 E(k)E(0)2k E(k)E(k)

2(kk2 2

1N(E) 1

kk2[E1(0)E1(k2[E1(0)E1(k)]/

(2)3 k kN1(E) k(2(2)32[E1(0)(2)32[E1(0)E1(k)]/13

4k 2m1E1(0)E1(0)1(E)22

2E2(k)E1(kE2(k)E1(k32(E)22

2E0EF

N1(E)dE

0EFEE

N2

2m

E1)0(2)2( E1(0)E1(k)dEEE1)0

(2)2(

2)

E2(k)

(k0

3/2

3/

3/2 [E(0)E(k [E(k)E(k

EFE

E2(k0m[E(0)E0]m[E0E(k E0m1E1(0)m2E2(k0 m0.18m,m0.06 E(0)E(k)0.1 m E0E(k) 2m* 电子(空穴)单位体积能态密度为g(E)

)2E下面取能带1中E轴向下为正，k0处为原点；取能带2中E轴向上为正，kk0处为原点。另外，设半金属能带交叠的部分中电子能带宽度为n，空穴能带宽度为p，则np0.1eV

2m*

2m* p pg(E)dE 0

1)2E2dE

62

21)22中电子总数n

2m* 2)26 m1pm2 0.18mp0.06m 3p所以再与np0.1eV0.075eV， E0E(k) 解：设锌原子个数与总原子个数之比为m，则 2 4k (2 k332

32(4 a(a(1)2(1)2(1) 3 ，[111]方向kmin 相切时有

，m 343334.114.11三维简单立方晶格，立方原胞边长为a，使用简约布里渊区表 电子E(k)函解：简单立方晶格的晶格常数为a，到格子基矢为A2)iˆB2)ˆjC2 E(0k2k2

矢Gn，使得kkGnk En(k)En(kGn) k nn

2m[(kx

nx)2(k

ny)2(k

nz)2a 2 ， (k)的单位 ()， 2mE(0)(k)(k2nx)2(ky2ny)2(kz2nz) 对于X方向：kxkx,kykz0，且取0kx1内，E(0)(k)(k2nx)24ny24nz 所以(0,0,0)E(00,0,0k2xaa y4.12设有二维正方晶格，晶体势为U(xy)aa y4.12设有二维正方晶格，晶体势为U(xy)4Ux近似求出布里渊区顶角)处的能解：V1

a

a [

cos( (xa20 a i2 i2 i2 i2 V1

a20

a a a a) (xa0 a i4 i40V1

a2

(1 a)(1 aV

(x

i4a

(y

i4a a i i U[aa

ia

(cos42V14.13证明面心立方体的s（（1）沿X(kykz0,kx ,0Es4(12cos（2）沿L轴(kkk2,01 E12cos2a （3）沿K轴(k0kk2,0a2sz a4)E4(cos22coss（4）沿W轴(kz0,kxaky2a,0 E4(coscos1coscos1s22kE4

cos

kxa

2ky

2kxacos

kz

2

kyacos

kzaΓX方向,将kx

kxky0,代入（1）akE4 cos2kxacos2ky cos2kxacos2kz cos2kyacos2kza =Es412cosΓL方向,将kx

KyKZ,代入（1）akE4 cos2kxacos2 coskxacos2 cos2kyacos2 =Es12COS2ΓK方向,将kx

ky,kz=0代入（1）kE4

cos2kxacos2ky cos2kxacos2kz cos2kyacos2kza =Es4COS22cos沿ΓW方向,将kx a

,

0,k

12代入（1） kE4 cos2kxacos2ky cos2kxacos2kz cos2kyacos2kza =E

4cos

cos2

coscos ma28

(7coska

cos 能带底部k E(0)能带顶部k E() 能带宽度EE()E(0) E(k)

(7coska

cos 1电子的速度v(k

v(k)(sinka1sin

(coska

cos 22E 电子的有效质量m

k coska(1/2)cos能带底部k能带顶部ka

有效质量m*有效质量m*23 动的准经典运动方程 则电子在k空间的速 顶与带底相距故所需时 taaE1102Vm

t8.3108

E2107Vm时t8.31013

2能带底部：k0时，E(0)0 能带顶部：ka

E() ma

2mE(a)P(0)2mE(aa电子由能带底运动到能带顶所需时间：t

105.27101.602 t2

1071.60210192.5

5.27105.35.3kSnrAnAA(c)2nndke

(v

B)

1(c

Bt积分ck r(c

(c)2 5.45.4(1)根 对于解：(1)1

22F2 F2二 电子气费米圆的面积SFkF量增量△E随1/B呈周期变化,周期取决于最大截面SF，钾的 k2(0.6022

(1)

21.602

1.0551034(0.6202)a B

905361015m在真空空间中电子运动轨迹的面积S2k

4

4.081014 1 2 3外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为,,2k2k2k （（2）证明电子绕磁场回转频率为qBm*m1m3m2m2m133

dk

qv(k)电子的速度1 v(k

kE(k 222k2

2kE(k

23 2k 2 2 231kE(k) 11

2

3

k1kˆ

v(k

2

3

k

dk

qv(k)

应 ˆ

dkqB[(

ˆk2

1m 1m

2dk1qB(k2k3 dk1qB(k2k3)

k

2qB(31 dk2qB(31) 31212dkqB(k3k1 dk3qB(k3k1)31212 令k1k0eit,kk0eit,kk dk1qB(k2k3) ik0qBk0qBk0

dk2

3

1) ik0

k0

k0dk3

k3k1

k0 k0k0

k0k012) 12)

k0k0k0有非零解

2

2m

2

2}

qB

1 12112121m12m2m12m22m3m1m2m

其中m* m2m2m1235.6若已知E(kAk2c m2m2m123 C

2A Cp 2 C 2

p2A 2A 2A122A 32A 12A 2A 2

k0 2A 2 2A 2A2C (PE)X y0，2AC 得1 y0，

C

32A2C时

但1,2不正交，故需正交11

0,则

22

(21)

（1

1

1单位化得

，

2，

1

2 2

6 3

3 1 附：证明德·哈斯—范·阿尔芬效应的周期为 1B附：证明德·哈斯—范·阿尔芬效应的周期为 1B,Sk0z解：由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H所作的 VH,

dUVc

其中Vc是晶体 B

（1（2） VcB 01/B作振荡的反l V2m32 l

1 1cNEc

2

En

c n

82

2 V2m3 1 c

a,n

cbn

2

2 Eb1nU Eb1n n0l2

32232l 12 32aE a 2abn

2a n0 nUl2a 32312b2a32312b

a

a n

n n03 B 3 B l 3 12bn

bn a

a

bnB

ab

BEFEFEFEF

EFbn 因

n1 1n n 2 2 所 bnn1

2

1 2abnn mFn1 2mFn1 2 n EF n1eBEUBB i 2 n1eBi F 2对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应BBi1n11eBi1 2 其中假设Bi1大于Bi.由以上两式可 B B

i 上式的11的间距（周期）eB

B 1

BF因为kz0的平面在费密球上截得的圆面 Sk2F费密能

12e B TF2 4k3N0.081VN2(2)3 2 F0.95451018 1kF(0.324NA2)31.25108EFk

0.954510181.381023J/

6.91046.26.2在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成Ce2.08T2.57T3mJmolK

金属钾有N610金属钾有N61023个电子，求钾的费米温度TF德拜温度E2VN0 E2e与实验结果比较C2.08T2.57T3mJmole k (