2012ghx第九章非线性控制系统一

第九章非线性控制系统概述相平面法描述函数法利用小结分析非线性控制系统9.1

概述非线性系统常见的非线性环节及特点稳定性分析平衡点的稳定性二阶：相平面法二阶及以上高阶：描述函数法仿真：本章知识体系：Why？非线性控制系统？为什么要引入非线性控制系统的分析方法？What？非线性系统的输出特征分析输入：阶跃响应对象：二阶非线性系统（饱和特性、死区特性和继电特性）输出特征？How？相平面法相迹的绘制：相平面、相轨迹的基本概念、等倾斜非线性系统的相平面分析法输出特征：奇点类型和极限环分析相轨迹图的变化趋势和系统性能的关系描述函数法（频率特性）自激振荡、判稳学习方法一、为什么要引入非线性控制系统的分析方法？线性和非线性欧姆定理的线性形式0mc

0.24

R0

t

I

3U

IR欧姆定理的非线性形式U

IR0各种电磁非线性特性当磁场强度变化一个周期后，铁磁质的磁化曲线形成一个闭合曲线－磁滞回线电磁饱和特征磁感应强度B=f(H)H－交变磁场空间飞行器姿态控制

带时延的非线性动态特性

模型和参数的不确定性非线性现象的普遍性实际系统的环节总带有非线性★线性模型仅仅是忽略了非线性因素后的理想模型★非线性因素的影响时延、模型和参数的不确定性等因素一般对系统有不良影响有时，人为引入非线性校正装置可改善系统性能电阻电磁线圈空间飞行器非线性控制系统？非线性控制系统：系统中某元件或环节的输入量与输出量之间呈现非线性函数关系。模型现实对象抽象控制方法微分方程结构图现实对象抽象根轨迹法经典控制理论线性模型传递函数为什么不适

时域法用？应该怎么分

频率法析？迭加原理不适用：传递函数、频率特性、根轨迹等分析方法不适用；非线性控制系统的特殊性非线性控制系统的特殊性对正弦输入信号的响应：除包含与输入同频率分量外,还包含输入频率整数倍的高次谐波分量。黑箱建模能不能用？系统对不同频率信号的响应能力看不出来。非线性控制系统的新问题稳定性问题:不存在系统是否稳定的笼统概念,要研究的是非线性系统平衡状态的稳定问题。稳定性除与系统结构参数有关,还与外作用及初始条件有关；自持振荡问题:在无外作用时,非线性系统可能发生一定频率和振幅的周期运动,并且受到扰动作用时,运动仍能保持原有频率和振幅。y(t)

Asin(t)二、研究哪些非线性特性？二、研究哪些非线性特性？控制系统的研究方法：典型输入+典型环节

典型响应非线性系统的输出响应特征分析输入：阶跃响应、斜坡响应对象：典型二阶非线性系统=常见非线性+二阶系统输出特征：稳定性、动态过程特征典型非线性特性饱和非线性不灵敏（死区）非线性继电非线性间隙非线性控制系统中的典型非线性特性饱和非线性:在一定输入范围内,元件输出与输入保持线性关系,当输入超出该范围,输出保持为常值。常见实例：执行元件/放大器的工作范围、工作曲线受能源、功率等条件的限制典型应用：限制过负荷控制系统中的典型非线性特性不灵敏区(死区)非线性:只有当输入信号大到一定程度后才会有与输入成线性关系的输出的特性。常见实例：直流电 的电压控制控制系统中的典型非线性特性具有不灵敏区的饱和非线性：同时存在死区和饱和限幅特性。常见实例：电枢电压控制的直流电控制系统中的典型非线性特性继电非线性:非单值特性常见实例：继电器,吸合与释放状态由于磁路磁阻不同以致电流不同,特性出现滞环.具有滞环的三位置继电非线性具有滞环的两位置继电非线性三位置理想继电非线性控制系统中的典型非线性特性间隙非线性间隙非线性:当输入量方向改变时,输出量保持不变,一直到输入量变化超过一定数值(间隙)后,输出量才跟着变化。常见实例：齿轮、滑动轴承齿轮传动中的间隙传动中的油隙控制系统中的典型非线性特性分区线性化特征三、如何研究非线性特性？三、非线性系统的分析方法动态过程分析非线性

分区线性掌握典型线性系统的相轨迹特征稳定性分析： 夫稳定性定理工程上的常用分析和设计方法：相平面分析法：适于分析二阶系统。描述函数法:又称谐波线性化方法。没有通用的非线性微分方程求解方法☆更注重图形的特征☆相轨迹图的变化趋势和系统性能的关系

时域法

频率法相平面分析法求一组非全0初始条件下的时间解x(t)及其变化率x

'(t)x'二阶系统

f(x,x')

0平衡点x’=0,x”=0相轨迹和相平面图系统的时间解x对时间的导数相轨迹相平面ζ=0.25横轴x，纵轴x’2．相轨迹的微分方程与相平面图(9

5)x

xx

f(x,x

)(9

-

6)x

dx

dt

dx

f(

x,x

)对于上式，消去时间t，得到系统相轨迹微分方程：该方程的一般解为：x

dx

f(x,x

)dxC

0 (9

-7)①当相变量初始值不同时，积分常数C不同②方程的解描述了一族曲线，即相轨迹方程的积分曲线9.2

相平面法：解析法求相轨迹例9-1

二阶系统方程相轨迹x

2

x

0(9

-

8)(9

-9)x

xx

2x解：首先将方程改写为相变量微分方程：0 (9

-10)

1

(x

2

x

2

(0))

22

20

022

2

2(x x

(0))t

txdx

xdx对应相轨迹方程的解为：x

xd

dt

dx

2

x

1

x

2

(0)

(x(0))22x

2整理得：x2x

2

(0)

(x(0))2以(0,0)为中心，长半径为b，短半径为a的椭圆(当>1时)。ba

1x2

x

2a2

b29.2

相平面法：解析法求相轨迹3.

相平面图的性质(1)

相轨迹上的斜率相轨迹上的任意点均满足相轨迹方程x

xd

dt

xd

f(x,x

)(9

-12)0x

x0

xx

0x

x0d

0x

x0：k(x,x

)

xx

dx

f(x,x

)x因此在P(x0

,x0

)处的斜率为称P(x,x0

0一条。d0xx0

x

x

0x

x

0xx0x

x

0

dx

00

f(x,x

)xk(x,x

)(2)相轨迹的常点和奇点在P(x0

,

x

0

)处的斜率)为奇点。通过奇点的相轨迹不止9.2

相平面法：等倾斜绘制相轨迹奇点是平衡点。相轨迹方程x

xd

f(x,x

)

xdx

x(3)

相轨迹的对称性条件此时相轨迹关于x轴对称。xdx则

xf(

x,x

)

f(

x,x

)②对称

x 轴的条件f:(x,x

)

f(-x,x

)，关于x的奇函数，xd相轨迹关于

x轴对称。则有

df(

x,x

)

f(

x,

x

)

，

①对称于x轴的条件:f(x,x

)

f(x,-x

)，是关于

x

的偶函数；dx此时相轨迹关于原点对 称。f(

x,

x

)③原点对称条件:f(

x,x

)

f(

x,

x

)，则有

xd f(

x,x

)d在(x,x')与(x,-x')点的斜率相等，符号相反。在(x,x')与(-x,x')点的斜率相等，符号相反。在(x,x')与(-x,-x')点的斜率相等，符号相同。9.2

相平面法dxx相轨迹的斜率xd

f(x,x

)4

相轨迹的在相平面的上半平面,x

0,即x

,故状态沿相迹曲线由左

向右转移;下半平面,x

0,即x

,

故状态沿相迹曲线由右

向左转移。d

0x

5

相轨迹通过dx

x轴的斜率f(x,x

)k(x,x

)

xxx

x0

xx0xx

x

000有x

0

0时，k

，相轨迹垂直向上或者向下通过x轴。若f(x,

x )

0,

x

0时，奇点

x轴上，且不能确定斜率，相轨迹不能确定是否垂直通过x轴。9.2

相平面法：等倾斜

绘制相轨迹9.2

相平面法：等倾斜绘制相轨迹等倾斜

的步骤如下：（1）将相轨迹 相同的相点，即斜率相同的相点，连接起来画出等倾斜线。显然，等倾斜线满足方程tan

k

f(x,x

)

a

(9-113)x①为等倾线与x轴的夹角，将满足方程（9-13）的点连接成等倾线②取不同的角，画出不同的等倾线在等倾斜线上各点用一个斜率为k的带小箭头的短线画出相轨迹的切线方向，从而建立一个表示相轨迹 的方向场。按方向场

的方向，在等倾斜线的各点勾划出相轨迹。9.2

相平面法过B相轨迹迹小段直线作为相轨迹.BBAxx设给定初态A(xA,xA

),过A作斜

f(x

x

)

f(xA,xAk

B,B

小段直段直线作为作为A如x

0,故状态应由A点沿作斜率为kA直线向右转移至B(x

B

,x

B

),然后过B作斜率率k率A

)斜率为kA等倾线斜率斜率9.2

相平面法(9-15)x

(axxb

)x

x例9-2

考虑系统

f(

x,x

)

ax

xb

,解:(1)系统的相变量微分方程为：取a=b=1斜率为kB=-1.2等倾线斜率-a/(kB+b)=5试绘出系统的一条相轨

迹。线性系统的等倾线为通过原点、斜率为-a/(k+b)的直线x(2)因f(x,x

)

f(x,

x

)，关于原点对称。(3)等倾线方程：x

(axxb

)

kx

xx

ak

b9.2

相平面法

ax

0,试绘出系统的相平面图。考虑非线性系统x

bx(9

-18)x

xb

ax

0,

x

0x

bx

ax

0,

x

0(1)上述方程可转化为：例9-3解：(2)f(x,x )

bx

ax

f(x,-是x)，关于x

的偶函数。对称于x轴，可先画出上半部分，再对称绘出下半部分。令a=b=1,画出系统的相平面图如图9-8所示。9.2

相平面法

x

0

的相平面图。(9

-20)412x

(xx)解：系统的相变量方程为：x

x例9-4

考虑非线性系统4xx2k

4x

(xx2

)等倾线方程为：x

2

4kx即x(

2k)2

(x

4k2

)

0

x

0(9

-

21)①等倾线是抛物线，抛物线的顶点位于相平面的(4k2,－2k)处。②将抛物线上的短线按方向场的方向连接起来即可勾划出相轨迹。9.2

相平面法

x

0

的相平面图。(9

-20)412x

(xx)解：系统的相变量方程为：x

x例9-4

考虑非线性系统4xx2k

4x

(xx2

)等倾线方程为：x

2

4kx即x(

2k)2

(x

4k2

)

0

x

0(9

-

21)①等倾线是抛物线，抛物线的顶点位于相平面的(4k2,－2k)处。②将抛物线上的短线按方向场的方向连接起来即可勾划出相轨迹。二阶线性系统的相平面图（根的特征与图形）X(s)

/

R(s)

2

/

(s2

2s

2

)n

n

nx''

2ζ

ω

x'

(1)

0:ω(Aω)2A2x2

x'2x'x2

1(

)2

A2

或写成:dtx(t)

Asin(ωt

)x'(t)

dx

Aωcos(ωt)'200ω2x2x'x

ω

x

0

arctg0,

Aξ=0时的相平面图s

ωx'

00s2s2s2x

ω2

ω2ω2

ωsx

x'X(s)

0

0研究非全0初始条件下系统的ω运2

x动若R(s)=1,0

0x0'(0)

x'

,x(0

)

xζ=0ξ=0时的二阶线性系统特征特征根为共轭虚根；相轨迹为一些封闭曲线,表明系统状态将沿封闭曲线回转不息,说明非全0初始条件时系统将产生周期运动解;若两初始条件同时减小,则A减小;当全0初始条件时,A=0,椭圆缩小到原点,系统处于平衡状态。00ω2x'2x2x2A2

1,式中:A'2x(Aω)2

ξ=0时的相平面图运动收敛于平衡状态（原点），系统稳定；运动趋于平衡状态的过程是周期衰减振荡过程。二阶线性系统的相平面图（0<ξ<1）(2)

0

1:特征根为负实部共轭复根运动收敛于平衡状态，系统稳定；运动趋于平衡状态的过程是非周期性的。二阶线性系统的相平面图（ξ>1）(3)

1:特征根为两个负实数根9.2.4

非线性系统的相平面图分析1．奇点设所考虑奇点为原点，不在原点的奇点可坐标平移移到原点。此时，奇点处有f(0,0)=0，也是系统的平衡点。x

f(x,x

)

x

f(x,x

)xx

ax

bx

(9

-24)x0

xx0

x0x

0在（0，0）附近

级数展开，略掉最高次项，得：f(x,x

)

f(x,x

)

x0(9-25),x0

x0x0

x0a

f(x,xx)

b

f(x,x0

)xx

0f(x,x

)

x0

0,用线性系统来分析非线性系统在奇点(0,0)附近的类型特征；多个奇点时，在不同的奇点邻域线性化后分析；奇点小邻域之外，高次项不可忽略，不可用局部情况分析整体。x

f(x,x

)

0x''

bx'

ax

0相平面图的分析：奇点附近线性化稳定焦点0ζ

1系统的运动为收敛于平衡点的周期性衰减振荡。不稳定焦点

1

ζ

0运动都是从原点向外发散,为周期性的增幅振荡。x''

bx'

ax

0稳定节点ζ

1系统

运动为非周期地趋向平衡点。不稳定节点

ζ

1相迹曲线从原点向外发散,系统运动为背离平衡点向外发散。相平面图的分析：奇点附近线性化x''

bx'

ax

0(5)鞍点x'

2ζωx'ω2x

0即b

0.特征根为一正一负实数根系,,系统的

运动为背离平衡点的发散运动

(6)中心点ζ

0系统 运动为不衰减的正弦振荡相平面图是一簇

围绕原点的椭圆。相平面图的分析：奇点附近线性化x''

bx'

ax

0若系统的一对特征根为实数,则斜率等于此两实数的两条直线既是相迹曲线,也是其它相迹曲线近线。相平面图的分析析：奇点附近线性化一对实数特征根稳定节点不稳定节点鞍点x''

bx'

ax

09.2

相平面法2．极限环极限环是相平面图中一条孤立的封闭相轨迹，有三种类型：稳定极限环：极限环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地渐近地趋近极限环，对应于系统的自持振荡。不稳定极限环：环内外两侧的相轨迹均呈螺旋状地从极限环离开，这种极限环是不稳定的9.2

相平面法(3)半稳定极限环：环内外一侧相轨迹渐近地趋近极限环，而另一侧的相轨迹从极限环离开。xxxxtxM0MtxM0M9.2

相平面法例9-5

试研究如下二阶非线性系统的奇点和稳定性。x

x

2

sin

x

0 (9

-

26)解：x

f(x,x

)

（x

2

sin

x)令

f(

x,x

)

0时，有

（x

2

sin

x)

0，此时x

0，

sinx

0，

x

i,即对于所有i

0,1,2...，有f(i,0)

0x轴上点(i,0)都为系统奇点。zf(0,

0)

f(z,)

z

f(z,z

z0z

0)