大一上学期-微积分

一、极限存在准则准则准则Ⅰ

如果数列xn

,

yn

及zn

满足下列条件:yn

xn

zn

(n

1,2,3)lim

yn

a, lim

zn

a,nn

n那末数列xn

的极限存在,

且lim

xn

a

.上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′如果当

0

xU)(x(或

Mx)时,

有

0

(A,)xhAxg(2)

lim(1()()(x)h),xfxg0

(,)

limx

)(0x

)(xxxx那末(lximf

存)

在,

且等于A.0x

)(xx注意:利用并且yn与zn的极限是容易求的.准则求极限关键是构造出yn与zn

,准则I和准则I'称为

准则.).111n2

2n2

nn例1

求lim(

解

11,

11

1n2n2nn2

nn2

nn2nnn2

nn1

11

limn又lim

1,n21

11n

1,

limlimn

1nn由定理得n21)1.11

2

1lim

(n2n2

nn2n1n例2

证明lim

nn

1.1证明

当n>1时，nnn于是n

(1

a

)n

.

由1

1，令nn

1

an

(an

0),二项公式n

(1

a

)n

1

nan

n2

2n

n

n

an

n(n

1)

a2

n(n

1)

a22n

1na2

2.n

1n即0

a

于是n准则得lim

an

0，所以1nlim

nn

lim(1

an

)

1.n1x利用上述结果试证lim

x

x

1.xx1x2x3xn

xn12.单调有界准则如果数列xn满足条件x,x,2121单调增加单调减少单调数列准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.几何解释:A

M例3

证明数列

xn

式)的极限存在.3

3

3

(n重根x

是单调递增的;n证显然xn1

xn

,3

3,

假定xk又

x1

3,3

xkxk

1

3

3

3,nx

是有界的;n

lim

xn

存在.

xn1

3

xn

,

3

x

, lim

x

2

lim

(3

x

),x

2n1nn

n1

nnA2

3

A,213

(舍去)13

,

A

1

2解得A

1

1

13

.2nn

lim

x例4

设),并且0.n1

,1

xn1证明lim

xn存在。并求此极限.n证显然xn

0(n

0,1,2,n11

2

1

xn1即xn

是有界的;下面证明数列xn

是单调的显然

k

1,那么1

2.xk

11

0xkkk

1

xk

1(1

x

)(1

x

)

1

x

k

1

数列xn

是单调的递增有上界.lim

xn

存在.nn令lim

xn

a,则1

lim,1

即a

1.1

aaa

1

5

.2a

1

5252nnlim

x

1

所以，2舍掉负值

a

1

5

.2n数列{x

}的极限为1

5

,即AC二、两个重要极限(1)xlim

sin

x

1x

02设单位圆O,

圆心角AOB

x, (0

x

)于是有sin

x

BD,

x

弧

AB, tan

x

AC

,xoBD作单位圆的切线，得ACO.扇形OAB的圆心角为x

,OAB的高为BD,ACtan

x

AC

,x

弧AB,于是有sin

x

BD,Bo

x

DSΔAOB

<S扇AOB

<SΔAOC

sinx

<

x

<

tanx

,2

2

2x

1⇒cosx

<

sinx

<

1,即1<<sinx

cosxx上式对于

x

0也成立.2

1.sin

x

limx

0x例5x

2求lim

1

cos

x

.x

0x

22sin

2

xx

0解

原式

lim22

x

02

1

lim2(

)2xsin

2

xx2sin

x2

x

0

1

lim(22

)2

1

122

1

.例6解令u

arcsin

x，则x

sin

u.当x

0时,u

0.x0求lim

arcsin

xxu0

sin

u原式

lim

1.u例7解原式

lim

sin(u

π)

lim

sin

u

1令u

x

，则当x

时,u

0.xπ

x

π求lim

sin

xu0u

uu0(2)xx

lim(1

1

)

x

enn定义

lim(1

1

)n

enn设

x

(1

1)n证明此数列单调递增有界。nnnn

lim

x

存在.记为lim(1

1

)n

e(e

2.7xxlim

(1

1

)x

e.然后证明例8xx

求lim(1

1

)x

.解x

(1

x1

)

x11

)

x

]1

limx

原式

lim[(1

xe

1

.例92

xx

求lim(3

x

)2

x

.解x

2)4

e2

.1x

2)

x

2

]2

(1

1x

原式

lim[(1

例10解

原式例11

求lim解

令t

ax

1，则x

log (t

1).当x

0时,t

0.ax0求lim

ln(1

x)x1x01

limln(1

x)

x

ln

lim(1

x)

x

lne

1.

x0x0

1axxt

0

loga

(1

t)原式

lim

ln

a

ln

a.t

t

limt

0

ln(1

t)例12解原式例13解3x0求lim1

xtan

x

.

3x3

e

.xx01

tan

x

lim 1

x

x

c

x

4.x

x

c

确定常数c，使lim

x

c

x

2cxlim

lim1

x

x

c

x

c

x

2cx2c

e

4,xc

xc2c

2c

lim

1

x

c

x

所以，

2c

ln

4,

c

ln

2.三、连续复利k

0A

A

(1

r)kk

0nA

A

(1

r

)nk令n

,于是k年后的本利和为设一笔 本金为A0，年利率为r，则k年后的本利和为若一年分n期计息，年利率仍为r，则每期利率为r/n于是k年后的本利和为k

00)nk

AerknA

limA

(1rnnrnn

rk)

r

limA

(10例14

现有初始本金10000元，若银行储蓄年利率为7%，问：按单利计算，3年末的本利和为多少?按年复利计算，3年末的本利和为多少?按连续复利计算，3年末的本利和为多少?按单利计算，需多少年能使本利和为初始本金的两倍?按连续复利计算，需多少年能使本利和为初始本金的两倍?(1)A3

10

0001

3

7%

12

100(元)

33(2)

A

10

000

1

7%

12

250.43(元)3(3)A

10

000e37%12

336.78(元)(4)令At

10

000(1

t

7%)

20

000,则t

14.29年；t(5)令A

10

000et7%

20

000,则t

9.90年.显然，连续复利比单利产生的利息随着时间的推移相差很大．解四、小结两个准则准则;

单调有界准则.两个重要极限设

为某过程中的无穷小,

1;sin01

lim某过程1lim

(1

)

e.某过程20思考题求极限lim

3x1思考题解答lim

3x1xx1

x

1

3x1

1

lim

9

xx

9

lim

1

3x

11

3

3xx

x

9

e0

9x04、

limx

cot

3x

.练习题一、填空题:.xx01、lim

sinx

.x0

sin

3

x2、lim

si