新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何思维深化微课堂寻找球心解决与球有关的问题教师用书

欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！寻找球心解决与球有关的问题球与其他几何体的切、接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：类型一球与多面体的切、接问题考向1球与多面体的内切问题已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．[思维架桥]如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，过点O作OF⊥PE于点F．由条件可求DE＝1，PE＝eq\r(2)．易知EF＝DE＝1，设OD＝OF＝r．由OP2＝OF2＋PF2，求r＝eq\r(2)－1．所以棱锥的内切球的半径为eq\r(2)－1．解：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，过点O作OF⊥PE于点F．由条件可求DE＝1，PE＝eq\r(2)．易知EF＝DE＝1，设OD＝OF＝r．由OP2＝OF2＋PF2，求r＝eq\r(2)－1．所以棱锥的内切球的半径为eq\r(2)－1．考向2球与多面体的外接问题在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B．eq\f(9π,2)C．6π D．eq\f(32π,3)[思维架桥]利用勾股定理先求AC，若V最大，则球一定与直三棱柱的若干面相切．分别讨论球与直三棱柱侧面相切或与上下底面相切两种情况，可得球的最大体积V．B解析：因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10．故三角形ABC的内切圆半径满足eq\f(8r＋6r＋10r,2)＝eq\f(6×8,2)，可得r＝2，故直三棱柱ABC­A1B1C1的内切球半径为eq\f(3,2)，此时V的最大值为eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9π,2)．故选B．处理球的外接问题的策略(1)“接”的处理：抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，求半径常用等体积法．(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以将其补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．[应用体验]在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝eq\r(15)，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．eq\f(83π,2)解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为eq\r(15－32)＝eq\r(6)，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(eq\r(6)－x)2，解得x＝eq\f(5\r(6),4)，所以R2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PC,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(75,8)＋1＝eq\f(83,8)(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝eq\f(83π,2)．类型二球与旋转体的切、接问题如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．[思维架桥]内切球的半径与圆柱的底面圆半径相等，圆柱的高是内切球的直径，利用体积公式即可得到eq\f(V1,V2)．eq\f(3,2)解析：设球O的半径为r，则eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2)．“切”的处理方法：首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心．[应用体验]如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的eq\f(3,8)，则这两个圆锥的高之差的绝对值为()A．eq\f(R,2) B．eq\f(2R,2)C．eq\f(4R,3) D．RD解析：设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(h<R)，体积为V1，下面圆锥的高为H(H>R)，体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r．由球和圆锥的对称性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R．因为V1＋V2＝eq\f(3,8)V，所以eq\f(1,3)πr2h＋eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(3,8)×eq\f(4,3)πR3，所以r2(h＋H)＝eq\f(3,2)R3．因为h＋H＝2R，所以r＝eq\f(\r(3),