高等数学自我检查试题集

高等数学自我检查试题集第一部分高等数学上册自我检查试题一填空（每小题3分，满分15分）设的定义域为[1，5)，则的定义域为_________________。。则。已知、、都是单位向量，且，则。设，则。单项选择（每小题3分，满分15分）1．当时，变量是的（）无穷小。（A）等价（B）同阶但不等价（C）高阶（D）低阶2．设二阶可导，且，则是的（）。（A）极大值（B）极小值（C）驻点（D）拐点3．设，当取（）时，函数是连续函数。（A）2（B）1（C）-1（D）04．已知曲线在处有水平切线，且，则曲线在处的曲率为（）。（A）0（B）1（C）2（D）5．下列广义积分发散的是（）。（A）（B）（C）（D）计算题（每小题7分，满分49分）求。设是由所确定的隐函数，求。设，其中在内具有一阶连续导数，求。求不定积分。已知，且，计算。求过点垂直于直线且平行于平面的直线方程。设，试求在上的最大值和最小值。应用题（每小题8分，满分16分）设平面图形D由曲线所围成，求D的面积；求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。将长为a的铁丝分成两段，一段围成正方形，一段围成圆形。问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小。证明题（5分）设在[0，1]上连续，且，证明：在[0，1]上有且仅有一根。自我检查试题二填空（每小题3分，满分15分）若的定义域为（0，1），则的定义域为____________________。设，则。曲线的拐点是______________。曲线在点处的曲率。位于平面上的曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是____________________。单项选择（每小题3分，满分15分）1．函数在处（）。（A）连续且可导（B）连续但不可导（C）可导但不连续（D）不连续也不可导2．设，且，则在处（）。（A）不可导（B）可导，且（C）取极大（D）取极小3．设对一切x恒成立，且当时，有，则在内一定有（）。（A）（B）（C）（D）4．双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（）。（A）（B）（C）（D）5．设直线L为：，平面为：，则直线L与平面的相互关系是（）。（A）L∥π，但L不在π上（B）L在π上（C）L⊥π（D）L与π斜交计算题（每小题7分，满分49分）求极限。设，求。设，求。求不定积分。求定积分。求过点的直线L，使L与z轴相交且与已知直线：垂直。曲线与所围图形绕轴旋转，求旋转体的体积。应用题（每小题8分，满分16分）求曲线在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线和曲线所围成的图形面积最小。一正圆锥的半径以的速率增加，而它的高以的速率减少，求该圆锥在半径为30cm，高为70cm时的体积变化率。证明题（5分）设在上，且可导，证明存在，设。自我检查试题三填空（每小题3分，满分18分）函数的定义域为__________________。若，则。如果连续函数在区间的内部只有一个极大值点，没有极小值点，那么函数的最______值与极______值相同。。。。单项选择（每小题2分，满分12分）1．下列陈述中错误的是（）。（A）图形是椭球面（B）的图形是母线平行于z轴的圆柱面（C）的图形是直线（D）在空间直角坐标系中，的图形是原点2．下列各极限中极限值为e的是（）。（A）（B）（C）（D）3．设函数在处处连续，则（）。（A）0（B）1（C）（D）4．在区间上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（）。（A）（B）（C）（D）5．设在区间I上，则在I上（）。（A）（B）（C）（D）6．设是连续函数，且，则（）。（A）1（B）（C）（D）计算题（每小题7分，满分49分）求。求。设，求。求曲线在其拐点处的曲率。设函数，计算。求过两平行直线和的平面方程。设，求。应用题（每小题8分，满分16分）一位飞机观察员观察到一架飞机正在1143m的高度向他飞来，仰角为，并以的速度增加，问飞机的地面速度是多少？设图形由与围成，求面积S，并求其绕y轴旋转一周所形成的封闭立体的体积。证明题（5分）设在[0，1]上连续，且。证明在（0，1）内至少存在一点，使得。第二部分高等数学下册自我检查试题一填空（每小题3分，满分15分）设，则。曲面在点（2，1，0）处的切平面方程为______________________。微分方程满足的特解为_________________。设是以为周期的函数，且，则它的傅立叶级数在点处收敛于________________。函数在处的泰勒级数为___________________________________。单项选择（每小题3分，满分15分）1．设函数，在点（0，0）处为（）。（A）连续，但偏导数不存在（B）的偏导数存在但不连续（C）连续且偏导数存在（D）不连续且偏导数不存在2．设，则u在点处的方向导数的最大值为（）。（A）（B）4（C）（D）{2，4，2}3．曲线积分，其中L是从O（0，0）经A（1，1），B（2，0）到O（0，0）的闭折线，则其值是（）。（A）2（B）（C）0（D）14．设为连续函数，则交换积分次序后为（）。（A）（B）（C）（D）5．设是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分的值是（）。（A）0（B）（C）（D）计算题（每小题7分，满分42分）设，求。计算。设，求。求幂级数的收敛区间及和函数。设是所围立体的表面，取外侧，求曲面积分。求微分方程满足初始条件的特解。四、（9分）设，且曲线积分在右半平面内与积分路径L无关。求未知函数；计算从点（1，0）到（2，1）的曲线积分的值。五、（11分）在曲面上，求该曲面的切平面，使其在三坐标轴上的截距之积为最大。六、（8分）判别级数的敛散性。自我检查试题二填空（每小题3分，满分15分）函数在点处的梯度为____________________。已知方程确定，则。一曲线构件L：上任一点处的线密度，则L的质量为________________。幂级数的收敛半径为________________。方程的通解为___________________。单项选择（每小题3分，满分15分）1．().(A)0(B)1(C)2(D)2．=（）。（A）（B）（C）（D）3．设，且以4为周期，则的傅立叶级数在处（）。（A）收敛于3（B）收敛于2（C）收敛于1（D）收敛于04．若是二阶非齐次线性方程的三个线性无关的特解，为任意常数，则该方程的通解是（）。（A）（B）（B）（D）5．设为正常数，则级数是（）。（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与有关计算题（每小题7分，满分49分）已知，其中有二阶连续导数，求。设，其中z是由所确定的x，y的函数，求。设D：所围，求。设：位于第一卦限的部分，求。计算曲线积分，其中L为上点（1，0）和（e，1）间的弧段。已知在右半平面内是某个二元函数的全微分，其中可导，且，求及。求微分方程的通解。四、（8分）求级数的和函数，并求其收敛区间。五、（9分）设，试问将质点M从原点沿直线移到直线上哪一点时，作功最小？并求最小的功。六、（4分）若级数和都收敛，求证：收敛。自我检查试题三填空（每小题3分，满分15分）周期为2的函数在一个周期内表达式为，则它的傅立叶级数的和函数在处的值是________________。设，则。若二重积分的积分域D的面积为A，则。设L为，则。微分方程的通解为______________________。单项选择（每小题3分，满分15分）1．微分方程的特解形式是（）。（A）（B）（C）（D）2．设，则下列结果中错误的是（）。（A）（B）（C）（D）3．设是连续函数，则（）。（A）（B）（C）（D）4．设简单闭曲线L所围区域的面积为S，则S=（）。（A）（B）（C）（D）5．设常数，则级数（）。（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛或发散与k的取值有关计算题（每小题8分，满分48分）设，求和。求函数在曲线上点（1，1，1）处，沿曲线在该点处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。计算二重积分，其中D是曲线和在第一象限所围区域。计算为球面的