因式分解-例题精选讲解-综合练习题附答案

因式分解——例题精选讲解——综合练习题附答案因式分解——例题精选讲解——综合练习题附答案因式分解——例题精选讲解——综合练习题附答案因式分解——例题精选讲解——综合练习题附答案编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:【因式分解】——例题精选讲解——综合练习题附答案【例题精选】：（1）评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。解：=（2）评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y解:===（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)把分解因式评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式解：=2=2=把分解因式评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比较麻烦。解：=xy2(x6-y6)=xy2[]==（6）把分解因式评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的解：==(x+y-6z)2把分解因式评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。解：===分解因式a2-b2-2b-1评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。解：a2-b2-2b-1=a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。把a2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)把分解因式解法一：=解法二：=说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是1：1，解法二是2：（-3）(11)分解因式评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一：==解法二：==解法三：==分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c=[(a-b)2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式8a2-5ab-42b28a-21b解：8a2-5ab-42b2a+2b=(8a-21b)(a+2b)-21ab+16ab=-5ab分解因式a6-10a3+16解：a6-10a3+16a3-2=(a3-2)(a3-8)a3-8=(a3-2)(a-2)(a2+2a+4)-8a3-2a3=-10a3分解因式-x2+x+30解：-x2+x+30（先提出负号）x+5=-(x2-x-30)x-6=-(x+5)(x-6)+5x-6x=-x分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7解：12(x+y)2-8(x+y)-72(x+y)+1=[2(x+y)+1][6(x+y)-7]6(x+y)-7=(2x+2y+1)(6x+6y-7)-14+6=8（17）把分解因式评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：解：===把分解因式评析：把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。解：===（19）分解因式评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）解：====（20）把分解因式解：====（21）把分解因式评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）解：======（22）把分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6利用结合律会出现a2+6解：===（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现的形式，这就不难发现（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘，得到（a+6）（a+16）而分解。解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9=[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-9=以下同于例3==+96==（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有a（a+2）-24，此时已易于分解解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]-24====（25）把分解因式评析：不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解：==（26）把分解因式评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。据此可把它们看作为一个整体。解：====（27）把分解因式评析：把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体（1+a）解：===（28）把分解因式评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到此时可设再用待定系数法求出m和n解：设=比较两边对应系数得到m+2n=2①-3n+2m=11②mn=-4③由①和②得到m=4，n=-1代入③也成立∴=（2x-3y+4）（x+2y-1）（29）把分解因式解：==（x+4y+m）（x-2y+n）=有m+n=-4①4n-2m=-10②mn=3③由①和②得到m=-3，n=-1代入③也成立∴=（x+4y-3）（x-2y-1）（30）当x+y=2时，求的值评析：∵x+y=2这是唯一的条件。∴要从中找到x+y或有关（x+y）的表达式解：=（x+y）（）+6xy∵x+y=2∴原式===2=8（31）己知=2求的值解：=∵=2∴原式=2[（2）2-3]=2（32）己知x-y=2，求的值解：==（x-y）-3a=（x-y）+2a∵x-y=a∴原式=【综合练习题】∶一、填空（每空1分，共15分）1、把一个多项式化为的形式，叫做因式分解。2、（）+2ab+1=（）23、因式分解=（）-4x2=（）2-（）2=（）（）4、二次三项式=（）（）5、立方和8（a-b）3+27=（）（）6、（n是大于2的整数）中，各项的公因式是（）7、己知x2-2xy+1是完全平方式，则y=8、（3x-y）（）=27x3-y3二、选择题（四选一；每题3分，共15分）1、多项式作因式分解，结果为（）A、B、C、D、2、2-x和3+x同是下面某多项式的因式，它是（）A、6+x-x2B、6-x+x2C、x2+x+6D、6-x-x23、因式分解时，正确分组方法有（）A、1种B、2种C、3种D、4种4、因式分解时，正确分组方法有（）A、1种B、2种C、3种D、4种1、若将（2x）n-81分解后得，那么n的值为A、2B、6C、4D、8三、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分）1、2、3、4、5、四、利用因式分解计算（每小题3分，共15分）1、2、83×773、××44、10125、×+×五、求值（每小题3分，共15分）己知a+b=-3,ab=-2，求己知x+y=-2，a+b=，，求的值六、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分）1、2、3、4、5、（）（-9）+18七、己知a、b、c均大于0，任意两个数之和大于第三个数，试确定的值的符号（5分）答案一、1、n个整式的积2、3、4、（2x-y）（3x+5y）5、=6、7、y=18、二、1、B2、D3、A4、B5、C三、1、