1987年全国统一高考数学试卷(理科)

1987年全国统一高考数学试卷（理科）1987年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）AXBTCφDS．．．．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）ABCD．．．．3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（）A．|a+b|＞|a﹣b|B．|a+b|＜|a﹣b|C．|a﹣b|＜||a|﹣|b||D．|a﹣b|＜|a|+|b|4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交那么（）A甲是乙的充分条件，但不是必要条件．B甲是乙的必要条件，但不是充分条件．C甲是乙的充要条件．D甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件．5．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2区间（1，2）上是（），则f（x）在A减函数，且f（x）＜0B增函数，且f（x）＜0C减函数，且f（x）＞0D增函数，且f（x）＞0．．．．6．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．B．C．D．向左平行移动向右平行移动向左平行移动向右平行移动7．（3分）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（）A直线．B圆．C双曲线．D抛物线．8．（3分）函数y=arccos（cosx）的图象是（）ABCD．．．．二、解答题（共14小题，满分96分）9．（4分）求函数的周期．10．（4分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．11．（4分）若（1+x）n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n．12．（4分）求极限13．（4分）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．14．（4分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．15．（4分）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．16．（10分）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．17．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．18．（12分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．19．（12分）设复数z1和z2满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）20．（12分）设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是是与n无关的常数，且b≠﹣1．，其中b（1）求an和an﹣1的关系式；（2）写出用n和b表示an的表达式；（3）当0＜b＜1时，求极限．21．（10分）定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．22．（1）求极限．（2）设y=xln（1+x2），求y'1987年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S∉T，T∉S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）AXBTCφDS．．．．考点：并集及其运算．分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，由并集的意义，易得S∪X=S，故选D．点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）ABCD．．．．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．3．（3分）设a、b是满足ab＜0的实数，那么（）A．|a+b|＞|a﹣b|B．|a+b|＜|a﹣b|C．|a﹣b|＜||a|﹣|b||D．|a﹣b|＜|a|+|b|考点：基本不等式．分析：选择题无需证明，想到取特殊值进行验证，答案便知．解答：解：用赋值法．令a=1，b=﹣1，代入检验；A选项为0＞2不成立，C选项为2＜0不成立，D选项为2＜2不成立，故选B．点评：对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，﹣1等），往往能使问题获得简捷有效的解决．4．（3分）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交那么（）A甲是乙的充分条件，但不是必要条件．B甲是乙的必要条件，但不是充分条件．C甲是乙的充要条件．D甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：由甲推导乙，判断是否成立；然后由乙推导甲，再判断是否成立．则问题解决．解答：解：点E，F，G，H不共面⇒直线EF和GH不相交，（因为若直线EF和GH相交，则点E，F，G，H共面．）；反之，若直线EF和GH不相交，则直线EF和GH可能异面、也可能平行．若直线EF和GH平行，则点E，F，G，H共面．所以甲是乙的充分条件，但不是必要条件．故选A．点评：本题考查空间中两直线的位置关系及如何由线定面，同时考查充分条件和必要条件的含义．5．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2区间（1，2）上是（），则f（x）在A减函数，且f（x）＜0B增函数，且f（x）＜0C减函数，且f（x）＞0D增函数，且f（x）＞0．．．．考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题．分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．解答：解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2又f（x）=﹣f（x），∴f（x）=log2（1+x），∴1＜x＜2时，﹣1＜x＜﹣2＜0，，∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．故选B．点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个6．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．B．C．D．向左平行移动向右平行移动向左平行移动向右平行移动考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后案．，求出ρ进而得到答解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移故选D．个单位点评：本题主要考查三角函数的平移．属基础题．7．（3分）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（）A直线．B圆．C双曲线．D抛物线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解答：解：原极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ化为：ρ2=ρsinθ+2ρcosθ，∴x2+y2=x+2y，它表示圆，故选B．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．8．（3分）函数y=arccos（cosx）的图象是（）ABCD．．．．考点：反三角函数的运用．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：结合题意，分别求出和时的函数，然后可得正确选项．解答：解：，y=arccos（cosx）=x当，y=arccos（cosx）=﹣x所以函数图象如图故选A．点评：本题考查反三角函数的应用，函数的表示方法，是基础题．二、解答题（共14小题，满分96分）9．（4分）求函数的周期．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：解析：正切函数的周期可应用公式T=来求解即可．解答：解：由正切函数周期公式得T==故函数的周期为点评：本题主要考查正切函数的周期性和周期的求法，属于非常基础的题型，难度系数为0.9．10．（4分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．考点：双曲线的标准方程；函数的定义域及其求法；极限及其运算；计数原理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线2+λ和1+λ同号，进而求得λ的范围．解答：解：依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜﹣2或λ＞﹣1；故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．11．（4分）若（1+x）n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n．考点：二项式系数的性质；二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r=3，r=1得x3，x的系数，列出方程解得．解答：解：（1+x）n的展开式的通项为Tr+1=Cnrxr故x3的系数为Cn3，x的系数为Cn1∴Cn3=7Cn1∴n=8故n=812．（4分）求极限考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：利用等差数列求和公式把转化为，即，由此可知的值．解答：解：===2．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意等差数列前n项和的应用．13．（4分）在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：根据抛物线的方程设出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出点P到直线y=4x﹣5的距离d，利用二次函数求最值的方法得到所求点P的坐标即可．解答：解：设点P（t，4t2），点P到直线y=4x﹣5的距离为d，则，当时，d取得最小值，此时为所求的点．点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握二次函数求最值的方法，是一道中档题．14．（4分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数．考点：排列、组合及简单计数问题．分析：由题意知组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，可以采用插空法，，首先将除去1和2的三个数字全排列，再在这三个数字形成的四个空上选两个位置排列1和2，再用分步乘法得到结果．解答：解：由题意知组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，可以采用插空法，首先将除去1和2的三个数字全排列，有A33种结果，再在这三个数字形成的四个空上选两个位置排列1和2，共有A42种结果根据分步计数原理知共有A33A42=72种结果，点评：本题是一个简单计数问题，解题过程中要用到排列和分步计数原理，数字问题是计数中经常出现的题目，可以借助于排列数和组合数来表示．15．（4分）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：因为几何体为正三棱台，可知上下底为正三角形，上底面的边长为4，下底面的边长为10，且侧面积等于两底面积之差，再求解即可．解答：解：几何体为正三棱台，可知上下底为正三角形，上底面的边长为4，下底面的边长为10，底面积为所以三侧面的面积和为，，单个面积为，又因为侧面为梯形，所以面积==7，所以斜高为．点评：本题考查学生对正三棱台的利用和根据条件求解具体长度的能力，是基础题．16．（10分）求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．考点：角的变换、收缩变换；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：原式乘上，并把分子中的sin50°sin70°，化为cos40°cos20°分子中可以连续应用倍角公式，最后用诱导公式，即可求出结果．解答：解：原式=点评：本题考查角的变换，二倍角的正弦，和诱导公式，考查计算能力，是基础题．17．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：由题意说明PAD是垂直边长的两个三棱锥的公共底面，求出其面积，再求体积即可．解答：证明：连接AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD，∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA•ED=LhVB﹣PAD=（Lh）•BD=Lh•BD同理，VC﹣PAD=Lh•CD∴三棱锥P﹣ABC的体积V=Lh•BD+Lh•CD=Lh（BD+CD）=Lh•BC=L2h．若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立．点评：本题考查学生空间想象能力，考查逻辑思维能力，棱锥的体积公式，是中档题．18．（12分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．考点：其他不等式的解法；二次函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：本题是一元二次不等式x∈R恒成立问题，用判别式法转化为：再求解．解答：解：由题意得：19．（12分）设复数z1和z2满足关系式证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2），其中A为不等于0的复数．考点：复数的基本概念；复数求模．专题：证明题．分析：（1）因为|z|=||，故|z1+A||z2+A|=|z1+A|||，展开与已知式子比较可得解题思路．（2）利用复数的除法运算的算法和（1）中的结论可证．解答：证明：（1）∵所以|z1+A||z2+A|=|A|2（2）∵A≠0，由此得z1+A≠0，z2+A≠0，=点评：本题考查复数的运算、复数的模等知识，综合性较强．20．（12分）设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是是与n无关的常数，且b≠﹣1．，其中b（1）求an和an﹣1的关系式；（2）写出用n和b表示an的表达式；（3）当0＜b＜1时，求极限．考点：数列递推式；极限及其运算；数学归纳法．专题：计算题．分析：（1）由sn和an的关系式an=，求出数列的递推公式．（2）把（1）的结果逐层代入观察其特点，归纳推理出an的式子．（3）根据题意把an代入所给的式子进行整理，利用b的范围求出极限．解答：解：=解得，∴由（1）得===由此推得∴∵∴当．点评：本题利用an=，求出数列的递推公式；再求通项公式时利用了归纳推理写出21．（10分）定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M