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单调性与单调区间问题单调性与单调区间问题知识梳理xy1﹣1O-4π-2π2π4πxy1﹣1O-4π-2π2π4πy=cosx(x∈R)y=sinx(x∈R)2π2π2π2π2π2π单调性与单调区间问题知识梳理xy1﹣1O-4π-2π2π4πy=sinx(x∈R)一个完整的增区间是,闭区间;一个完整的减区间是,闭区间.增区间:
减区间:单调性与单调区间问题知识梳理xy1﹣1O-4π-2π2π4πy=cosx(x∈R)一个完整的增区间是,闭区间[-π,0];一个完整的减区间是,闭区间[0,π].增区间:[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,减区间:[2kπ,π+2kπ],k∈Z,单调性与单调区间问题例详解令
,则原函数可化为:y=2sinz,z∈R,令
,结合正弦函数单调性构造不等式,再解不等式,从而确定在不同区间内的单调性.即整理得:当k=0时,函数的单调递增区间为:
.已知函数f(x)=2sin(3x-
),求函数f(x)在[,π]上的单调性.单调递增区间为:单调性与单调区间问题例已知函数f(x)=2sin(3x-
),求函数f(x)在[,π]上的单调性.令
,结合正弦函数单调性构造不等式,再解不等式,从而确定在不同区间内的单调性.当k=1时,函数的单调递增区间为:
.所以在
上的单调增区间为:
.单调递减区间为
和
.解决此类问题的基本方法:(1)通过变量代换等价转化为y=sinz在相应区间上的单调性问题;(2)利用复合函数的“同增异减”求得原函数的单调区间.单调性与单调区间问题例比较下列各组数的大小:详解(1)根据诱导公式可得:观察角的大小,由诱导公式转化为同一单调区间内的角,再结合三角函数的单调性比较大小.(2)sin194°与cos160°;(3)sin1,sin2,sin3.(1)与
;单调性与单调区间问题例比较下列各组数的大小:观察角的大小,由诱导公式转化为同一单调区间内的角,再结合三角函数的单调性比较大小.(2)sin194°与cos160°;(3)sin1,sin2,sin3.∵
;且余弦函数y=cosx,在[π,2π]上单调递增,∴即(1)与
;单调性与单调区间问题例比较下列各组数的大小:详解(2)根据诱导公式:(1)与
;(3)sin1,sin2,sin3.sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°,cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°∵0°<14°<70°<90°,∴sin14°<sin70°从而-sin14°>-sin70°,(2)sin194°与cos160°;把不同名三角函数转化为同名三角函数,再运用诱导公式转化到同一单调区间上,再结合三角函数的单调性比较大小.而正弦函数y=sinx在[0°,90°]上单调递增,即sin194°>cos160°单调性与单调区间问题例比较下列各组数的大小:详解(1)与
;(2)sin194°与cos160°;(3)∵1<
<2<3<π,又sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3,0<π-3<1<π-2<
;而y=sinx在
上单调递增,∴sin(π-3)<sin1<sin(π-2),即sin3<sin1<sin2.(3)sin1,sin2,sin3.观察角的大小,由诱导公式转化为同一单调区间内的角,再结合三角函数的单调性比较大小.单调性与单调区间问题例比较下列各组数的大小:(1)与
;(2)sin194°与cos160°;(3)sin1,sin2,sin3.比较三角函数值大小的方法:(1)通常利用诱导公式转化为锐角三角函数值;(2)不同名的函数转化为同名函数;(3)把不在同一单调区间内的角,化为同一单调区间内的角.单调性与单调区间问题例A.B.C.D.求得φ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,当x=时,已知函数f(x)=2sin(2x+φ),其中-π<φ<π,若f(x)≥
对x∈R恒成立,则f(x)的单调递增区间是()函数取最小值,求出f(x)的单调递增区间.详解∵函数f(x)=2sin(2x+φ),其中-π<φ<π,若f(x)≥对x∈R恒成立,则x=
时,函数取最小值,有
+φ=2kπ-
,k∈Z,∴φ=
,f(x)=2sin(2x-
),例已知函数f(x)=2sin(2x+φ),其中-π<φ<π,若f(x)≥
对x∈R恒成立,则f(x)的单调递增区间是()A.B.C.D.单调性与单调区间问题详解令2kπ
-
≤2x
-
≤2kπ+
,k∈Z求得kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z可得f(x)的单调递增区间为[kπ+
,kπ+],k∈Z,故选:C.C求得φ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,当x=
时,函数取最小值,求出f(x)的单调递增区间.单调性与单调区间问题2.正弦函数的单调区间:1.正弦函数y=sinx,当
,k∈Z有最大值y=1;当
,k∈
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