【教学课件】环节二 双曲线的简单几何性质

双曲线环节二双曲线的简单几何性质引入新课复习回顾1.双曲线的定义是什么？2.双曲线的标准方程是什么？引入新课复习回顾1.双曲线的定义一般地，我们把与平面内两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．引入新课复习回顾2.双曲线的标准方程标准方程焦点坐标焦点在x轴上焦点在y轴上，，引入新课椭圆的学习路径椭圆的现实背景与几何情境椭圆的几何特征与概念椭圆的标准方程椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）应用引入新课思考类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线

的哪些几何性质呢？探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？答案：类比研究椭圆的简单几何性质的方法，分别从“形”的角度和“数”的角度研究双曲线的范围，对称性，顶点，离心率等性质．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问1：你能从两个角度分析双曲线的范围吗？答案：“形”的角度：观察双曲线，可以直观发现双曲线上的点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问1：你能从两个角度分析双曲线的范围吗？答案：“数”的角度：根据方程①，得到

，所以或；．双曲线上的点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问2：你能从两个角度分析双曲线的对称性吗？答案：“形”的角度：

双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？(x,y)(x,-y)(-x,-y)(-x,y)追问2：你能从两个角度分析双曲线的对称性吗？答案：“数”的角度：

双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．A2A1探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问3：你能从两个角度分析双曲线的顶点吗？答案：“形”的角度：

从图形直观上可以发现双曲线与x轴有两个交点

和，与y轴没有公共点．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？A1A2追问3：你能从两个角度分析双曲线的顶点吗？答案：“数”的角度：令y=0，得x=-a或x=a，所以双曲线的顶点为和；令x=0，，没有实数解．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？c追问4：能否类比椭圆把和两点画在y轴上？线段有何几何意义？答案：线段称为双曲线的虚轴，是直角三角形，

且，，

，线段叫做双

曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半

轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，

叫做双曲线的虚半轴长．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问5：在双曲线右支上做一点M，测量点M的横坐标以及它到直线的距离d，向右拖动点M，观察与d的大小关系，你发现了什么？答案：在向右拖动点M时，点M的横坐标越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0．探究新知问题

如何研究双曲线的几何性质？探究新知渐近线一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线

逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．

实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问6：已知双曲线方程

，如何求其渐近线方程？答案：对于双曲线方程

，

令，得双曲线的渐近线为．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问7：在双曲线方程中，如果a=b，渐近线是什么？实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．答案：此时方程变为，双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a．

探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问8：双曲线的离心率是什么？

探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问9：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？

因此，双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？追问10：类比焦点在x轴上的双曲线的简单几何性质，你能写出焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质吗？探究新知问题如何研究双曲线的几何性质？范围对称性顶点渐近线离心率，；，；对称轴：坐标轴对称中心：坐标原点对称轴：坐标轴对称中心：坐标原点，，知识应用例1求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把双曲线的方程化为标准方程．由此可知，实半轴长

，虚半轴长

．焦点坐标是

，

；离心率

；渐近线方程为．知识应用例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8．解：（1）设双曲线方程为 ，由题意可知：，，所以双曲线方程为：

．知识应用例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；