新高考数学之圆锥曲线综合讲义原题及解析汇编

第1讲轨迹问题一．选择题（共12小题）1．方程所表示的曲线是A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆2．方程表示的曲线为A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆3．在数学中有这样形状的曲线：．关于这种曲线，有以下结论：①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意两点之间的距离都不超过2；③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5．其中正确的结论有A．①③ B．②③ C．①② D．①②③4．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线、已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有①双纽线经过原点；②双纽线关于原点中心对称；③；④双纽线上满足的点有两个．A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④5．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点，是双纽线上一点，下列说法中正确的有①双纽线关于原点中心对称；②；③双纽线上满足的点有两个；④的最大值为．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③6．如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，，则点的轨迹方程为A．（原点除外） B．（原点除外） C．（原点除外） D．（原点除外）7．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为A． B．3 C． D．48．由曲线围成的图形面积为A． B． C． D．9．如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是A． B． C． D．10．已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是A．1 B． C． D．11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为．给出下列四个结论：①曲线有四条对称轴；②曲线上的点到原点的最大距离为；③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④四叶草面积小于．其中，所有正确结论的序号是A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④12．曲线为：到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的个数为（1）曲线一定经过原点；（2）曲线关于轴、轴对称；（3）的面积不大于8；（4）曲线在一个面积为64的矩形范围内．A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共2小题）13．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系中，到定点，距离之积等于的点的轨迹是“曲线”．若点，是轨迹上一点，则下列说法中正确的有A．曲线关于原点中心对称 B．的取值范围是， C．曲线上有且仅有一个点满足 D．的最大值为14．在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则A．曲线关于原点对称 B． C．曲线围成的区域面积小于18 D．到点的最近距离为三．填空题（共6小题）15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过．③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4．其中，所有正确结论的序号是．16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；③曲线围成区域的面积大于；④方程表示的曲线在第二象限和第四象限．其中正确结论的序号是．18．曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹．则曲线与轴交点的坐标是；又已知点，为常数），那么的最小值（a）．19．已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为．20．在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）．则得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为；四．解答题（共5小题）21．如图，直线和相交于点，，点．以，为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等．若为锐角三角形，，，且．建立适当的坐标系，求曲线段的方程．22．已知双曲线的左、右顶点分别为、，点，，，是双曲线上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹的方程．23．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程．24．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．（Ⅰ）设为点的横坐标，证明；（Ⅱ）求点的轨迹的方程；（Ⅲ）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使△的面积，求的正切值；若不存在，请说明理由．

第2讲点差法一．解答题（共9小题）1．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．2．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．3．已知曲线，试确定的取值范围，使得对于直线，曲线上总有不同两点关于该直线对称．4．已知椭圆过点，，且与椭圆有相同的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围．5．在中，是、的等差中项，且，．（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围．6．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．7．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，点，在上（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：的斜率与直线的斜率的乘积为定值．9．已知椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围．第3讲长度问题一．解答题（共19小题）1．已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．（1）若直线的斜率为1，求直线的斜率；（2）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．2．已知椭圆的离心率为，经过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，且点在线段上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．3．已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左焦点，的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：直线与直线的交点在定直线上．4．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为、，四边形的面积为4，四边形的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点，为椭圆上的两个动点，的面积为1．证明：存在定点，使得为定值．5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若，，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围．6．已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，△的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．（1）求椭圆的方程；（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较与的大小．7．已知椭圆的右焦点为，上顶点为．过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值8．已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围．9．已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线，过点作直线交椭圆于不同的两点，交直线于点，问：是否存在常数，使得恒成立，并说明理由．10．已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，为其右焦点，为椭圆上一点，且与轴垂直，．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于不同的两点、，若以为直径的圆恒过原点，求弦长的最大值．11．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是有一个角为的等腰三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）斜率为2的直线与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得成立，并求的值．12．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．13．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．（Ⅰ）当，时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围．14．如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．（Ⅰ）已知直线的斜率为，用，，表示点的坐标；（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．15．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，其中，另一条过的直线交椭圆于，两点（不与，重合），且点不与点重合．过作轴的垂线分别交直线，于，．（1）求点坐标和直线的方程；（2）比较线段和线段的长度关系并给出证明．16．已知，，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为．（1）求曲线的方程：（2）设斜率为的直线与交于，两点，若，求．17．已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论．18．已知椭圆，它的上，下顶点分别为，，左，右焦点分别为，若四边形为正方形，且面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆分别交于点，，，，且四边形是菱形．求证：①直线，关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值．19．在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为2，倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，且点与坐标原点连线的斜率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，是以为直径的圆上的任意一点，求证：．

第4讲三角形面积问题一、解答题1．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且,为椭圆上异于，的点，和的斜率之积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆中心，，是椭圆上异于顶点的两个动点，求面积的最大值．2．已知椭圆（）的离心率为，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，点与原点关于直线对称，试求四边形的面积的最大值.3．已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，当时，△MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．4．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，且它的焦距是短轴长的倍.（1）求椭圆C的方程.（2）若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1k2＝λ时，的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.5．已知分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，且与椭圆相交于两点，当时，求的面积.6．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.7．已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.8．已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.9．已知P是圆上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与（1）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.10．已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.11．已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线和分别交于P、Q两点.当时，求（O为坐标原点）面积的取值范围.12．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．13．如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．14．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率一次为k1、k2，满足4k=k1+k2．（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；（ii）求△OPQ面积的取值范围．

第5讲四形面积问题一、解答题1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．2．设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值．3．设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），直线l：x＝a2交x轴于点A，且．（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．4．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.5．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.（I）求椭圆的离心率；（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.（i）求直线的斜率；（ii）求椭圆的方程.6．已知点在椭圆:（）上，且点到左焦点的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点关于坐标原点的对称点为，又､两点在椭圆上，且，求凸四边形面积的最大值.7．如图，已知椭圆C：的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.（1）求动点N的轨迹方程；（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．8．设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.9．已知椭圆，过点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点（与不重合）.（1）证明：直线过定点；（2）若以点为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积.10．已知椭圆的左焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于、．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．11．已知椭圆的长轴长为，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于、两个不同的点，为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积取得最大值时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，其中．设点，关于轴的对称点分别为，，当四边形的面积为时，求直线的方程．13．已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程（2）过点作倾斜角互补的两条直线，若直线与曲线交于两点，直线与圆交于两点，当四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程.14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．（1）求动点的轨迹方程；（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．②求四边形面积的最小值．15．已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值.16．已知，分别为椭圆的左､右顶点，为右焦点，点为上的一点，恰好垂直平分线段(为坐标原点)，.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交于，两点，若点满足(，，三点不共线)，求四边形面积的取值范围.17．已知抛物线，圆，当时，抛物线与圆仅有两个交点．（1）求抛物线的方程；（2）如图，若圆与抛物线有四个交点，且交点分别为，，，，求四边形面积的最大值．18．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆所得的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设分别过点，且互相平行的直线，与椭圆依次交于，，，四点，求四边形面积的最大值．

第6讲图形问题一、解答题1．已知椭圆（），以椭圆内一点为中点作弦，设线段的中垂线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得，，，在同一个圆上，并说明理由．2．已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．3．已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率满足：．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．4．已知椭圆的右焦点为F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝交于点M、N．以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．5．如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.6．设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.(ⅰ)求的值；(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.7．已知抛物线上一点到焦点F的距离为.（1）求抛物线M的方程；（2）过点F斜率为k的直线l与M相交于C，D两点，线段的垂直平分线与M相交于两点，点分别为线段和的中点.①试用k表示点的坐标；②若以线段为直径的圆过点C，求直线l的方程.8．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．9．设椭圆（）的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.10．已知圆的方程为，点，点M为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点N.（1）求点N的轨迹C的方程.（2）已知点，过点A且斜率为k的直线交轨迹C于两点，以为邻边作平行四边形，是否存在常数k，使得点B在轨迹C上，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.11．如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切，过定点M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．12．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．13．过点作直线与曲线：交于两点，在轴上是否存在一点，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由.14．直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点.（Ⅰ）当点的坐标为，且四边形为菱形时，求的长；（Ⅱ）当点在上且不是的顶点时，证明：四边形不可能为菱形.15．已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点.（1）求椭圆的方程.（2）已知点，是椭圆上的两点.（ⅰ）若，且为等边三角形，求的边长；（ⅱ）若，证明：不可能为等边三角形.

第7讲共线问题一、解答题1．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为,直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围．2．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于A，B，且，O坐标原点.（1）求椭圆的离心率e；（2）若，过点F作与直线平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点.（ⅰ）求的值；（ⅱ）点M满足，直线与椭圆的另一个交点为N，求的值.3．已知曲线.（1）若曲线C表示双曲线，求的范围；（2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围；（3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.4．已知圆O的方程为，圆O与y轴的交点为A，B(点A在点B的上方)，直线与圆O相交于M，N两点（1）当k=1时，求弦长；（2）若直线y=4与直线BM交于点D，求证：D、A、N三点共线.5．已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求的面积的最小值；（Ⅱ）证明：，，三点共线.6．已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点.（1）若直线l的方程为，求的值；（2）若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且，求.7．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.（1）若，求直线的方程；（2）若，求线段的长度.8．在平面直角坐标系中，A（﹣1.0），B（1，0），设△ABC的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于点P，Q，R，已知|CP|＝1，记动点C的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过G（2，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线E交于点H，HA⊥x轴，过S的另一直线与曲线E交于M、N两点，若S△SMG＝6S△SHN，求直线MN的方程.9．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为-1的直线与l交于点N，若sin∠FON（O为坐标原点），求k的值．10．如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的半焦距为c,且过点,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为.(1)求椭圆E的方程;(2)A为椭圆E上异于顶点的一点,点P满足,过点P的直线交椭圆E于B,C两点,且,若直线OA,OB的斜率之积为,求证:.11．已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为．求椭圆C的方程；如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围．12．已知抛物线与椭圆的一个交点为，点是的焦点，且.(1)求与的方程；(2)设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于，直线交轴于，且?若存在，求出点的坐标和的面积；若不存在，说明理由.13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点

在椭圆C上．求椭圆C的方程；设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．14．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知圆，圆，，当两个圆有公共点时，所有可能的公共点组成的曲线记为.（1）求出曲线的方程；（2）已知向量，，，为曲线上不同三点，，求面积的最大值.16．已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若已知点，点M,N是椭圆C上不重合的两点，且，求实数的取值范围.17．已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上一点.若椭圆C的离心率为，且，的面积为.（1）求椭圆C的方程；（2）已知O是坐标原点，向量，过点（2，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点.若点满足，，求的最小值.18．已知椭圆经过点，其离心率为，经过点，斜率为的直线与椭圆相交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别相交于两点，则是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

第8讲角度问题一、解答题1．设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△为钝角三角形．2．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向（ⅰ）若，求直线的斜率（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形3．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.4．设抛物线，F为C的焦点，点为x轴正半轴上的动点，直线l过点A且与C交于P，Q两点，点为异于点A的动点.当点A与点F重合且直线l垂直于x轴时，.（1）求C的方程；（2）若直线l不垂直于坐标轴，且，求证：为定值.5．如图，已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，F为椭圆C的右焦点.A（-a，0），|AF|=3.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E.求证：∠ODF=∠OEF.6．设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.7．（本小题满分14分）已知椭圆x2a2+y（Ⅰ）求直线BF的斜率;（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M,|PM（ⅰ）求λ的值;（ⅱ）若,求椭圆的方程.8．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.9．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.10．设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.11．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

第9讲蒙日圆问题一、解答题1．已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.2．给定椭圆C：(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．3．给定椭圆C:，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”.若椭圆C的一个焦点为F1(,0)，其短轴上的一个端点到F1的距离为（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；（2）若倾斜角45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M.N两点，求弦MN的的长；（3）点P是椭圆C的伴随圆上一个动点，过点P作直线l1、l2，使得l1、l2与椭圆C都只有一个公共点，判断l1、l2的位置关系，并说明理由.4．已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.5．已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.6．已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点．(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.7．已知椭圆的方程为.（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为､，点在直线上的射影为点，求点的坐标；（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且､都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程.8．已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设点P为椭圆C2上的一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．10．已知抛物线上一点到焦点的距离.（1）求抛物线的方程；（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.11．如图，已知是椭圆:上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点、．（1）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：为定值；（2）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．12．已知抛物线E：过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：相切，且分别交抛物线E于M、N两点．（1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若直线MN的斜率为，求点P的坐标．

第10讲非对称韦达一、解答题1．已知椭圆E：的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点．求椭圆E的标准方程；求面积的最大值；设直线与直线交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．2．已知A，B分别为椭圆的左右顶点，E为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的右焦点，E与F关于直线对称，的面积为，过的直线交椭圆C于两点M，N(异于A，B两点).（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线与的交点P在一条定直线上.3．已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且的周长是，直线与交于点M.(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．4．已知、分别是离心率的椭圆的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且.（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.5．已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．6．已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）求四边形面积的最大值；（3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程.（结论不要求证明）7．已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|．（1）求椭圆C的标准方程：（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．8．已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．9．如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．10．椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两顶点为A,B如图，离心率为22，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点，并与（Ⅰ）当|CD|=322（Ⅱ）当点P异于A,B两点时，求证：OP⋅11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．12．已知椭圆的长轴长为6，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，记直线AM，BN的斜率分别为，且,求直线的方程.13．已知椭圆的长轴长为6，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线AM，BN的斜率分别为，试证明:的值为定值.14．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.（1）求椭圆的方程（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

第11讲阿基米德三角形问题一、解答题1．设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.2．如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形．5．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．6．已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上.7．已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．①求证直线l过定点；②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．8．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.9．已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.10．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.11．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.12．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.（1）求拋物线的方程.（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.13．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.14．如图，设抛物线y2（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.15．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，，证明：；（3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值.16．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB．17．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（Ⅰ）设线段的中点为；（ⅰ）求证：平行于轴；（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

第12讲定点问题一、解答题1．设椭圆经过点，且离心率等于.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.2．已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．3．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.4．已知点P是椭圆C:上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，（1）求椭圆C的标准方程;（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论5．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|＝且|AF1|+|AF2|＝4.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝3，求直线l的方程.6．已知⊙M过点，且与⊙N：内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程：（2）设直线l不经过点且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．7．已知椭圆C：，直线l：y＝kx+b与椭圆C相交于A、B两点．（1）如果k+b＝﹣，求动直线l所过的定点；（2）记椭圆C的上顶点为D，如果∠ADB＝，证明动直线l过定点P（0，﹣）；（3）如果b＝﹣，点B关于y轴的对称点为B，向直线AB是过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．8．已知椭圆C：，若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．9．已知点为椭圆C：上一点，且直线过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程．（2）不经过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线的斜率分别为，若，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．10．椭圆C的焦点为，，椭圆上一点.直线l的斜率存在，且不经过点，l与椭圆C交于A，B两点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线l过定点.11．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，直线BM与直线BN的斜率之积为，证明直线l过定点并求出该定点坐标．12．已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不过点的动直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.13．如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.（1）求椭圆的方程；（2）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.14．已知椭圆的右焦点为F，过点的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为，当l的斜率不存在时，.（1）求椭圆E的方程.（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.15．已知椭圆：（），与轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，已知，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l过定点．17．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，且过点．（1）求C的方程；（2）设点M为C上的动点，求的取值范围；（3）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线（，）与C交于P，Q两点，PQ的中点为E，若，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标．18．已知椭圆过、两点.（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的右顶点为，点在椭圆上（不与椭圆的顶点重合），直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：直线过定点.19．已知椭圆，点在椭圆上，椭圆上存在点与左焦点关于直线对称（1）求椭圆的方程；（2）若､为椭圆的左､右顶点，过点的直线，与椭圆相交于点､两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

第13讲切点弦问题一、解答题1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1．（1）求椭圆的方程；（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；（3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．2．已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.3．已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.（1）求p的值.（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.4．已知圆O：上的点到直线的最小距离为1，设P为直线上的点，过P点作圆O的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.（1）求圆O的方程；（2）当点P为直线上的定点时，求直线AB的方程.5．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．6．已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）证明直线过定点7．过直线上的动点作抛物线的两切线，，，为切点.（1）若切线，的斜率分别为，，求证：为定值；（2）求证：直线过定点.8．已知圆，直线．（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；（2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点．9．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.10．已知抛物线，直线，设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.（1）当点在轴上时，求线段的长；（2）求证：直线恒过定点.11．已知抛物线，设为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为、.（1）证明：动直线恒过定点；（2）设与（1）中的定点的连线交抛物线与、两点，证明.

第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．2．若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，，其中，，．（Ⅰ）设动点满足：，求点的轨迹；（Ⅱ）设，求点的坐标；（Ⅲ）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标．5．已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.6．已知椭圆：的左焦点为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆过点，且左焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上．8．设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程．9．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.10．如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，.（1）求证：；（2）若直线PQ过定点，求证：.11．已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.12．椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.（1）求椭圆的方程；（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.13．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点．14．设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点.（1）若，求椭圆的方程；（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.15．已知曲线.（1）若曲线C表示双曲线，求的范围；（2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围；（3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线.16．已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点．（1）求椭圆的方程，并求点的坐标；（2）求证：，，三点共线．17．已知椭圆的左右顶点分别为A和B，离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆的左、右顶点分别为，，为原点.以为对角线的正方形的顶点，在上.（1）求的离心率；（2）当时，过作与轴不重合的直线与交于，两点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.（1）求C的方程.（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.

第15讲长度定值问题一、解答题1．已知椭圆：，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A，B两点．（1）求证：O到直线AB的距离为定值．（2）求0AB面积的最大值．2．已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）．（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程；（2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；（3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．3．已知椭圆.（1）直线过点与椭圆交于两点，若，求直线的方程；（2）在圆上取一点，过点作圆的切线与椭圆交于两点，求的值.4．已知分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由5．设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．6．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．7．已知椭圆，离心率，点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A，上顶点为B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值．8．已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、Ｆ两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.9．如图，已知椭圆，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在轴下方），且线段AB的中点E在直线上.（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线于点M、N，证明：OM·ON为定值.10．已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证：为定值.11．已知椭圆：（）经过与两点.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足.求证：为定值.12．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.13．已知椭圆：在右、上顶点分别为、，是椭圆的左焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相切于点（在第二象限），过作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.14．已知点F1为椭圆1（a＞b＞0）的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.15．已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.16．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由．

第16讲面积定值问题一、解答题1．已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．(1)求椭圆E的方程；(2)证明：为定值．2．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．3．已知椭圆C：（）的离心率为，直线与椭圆C有且只有一个公共点．（1）求椭圆C的标准方程（2）设点，，P为椭圆C上一点，且直线与的斜率乘积为，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且满足，，求证：的面积为定值．4．如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点．设直线，的斜率分别为，．（1）求椭圆C的方程，并求的值；（2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．5．如图，、为椭圆的左、右焦点，、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，．若在椭圆上，则点称为点的一个“好点”．直线与椭圆交于、两点，、两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．6．已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若，为椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.7．已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为．（1）求双曲线的方程；（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．8．如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.9．已知椭圆的离心率为，过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．10．已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且.求证：的面积为定值.11．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.（1）求双曲线的方程.（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.12．已知椭圆：（）的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为；（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值.13．已知椭圆过点两点．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．14．已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.15．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，椭圆与轴的一个交点为，且，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，，为椭圆上不同的两点，点关于轴的对称点为点.若直线的斜率为1，求证：的面积为定值.16．已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左､右顶点分别为，，斜率为正的直线过点，交双曲线于点，(点在第一象限)，直线交轴于点，直线交轴于点，记面积为，面积为，求证：为定值.17．已知双曲线的一条渐近线方程为，右准线方程为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线分别交双曲线的左、右两支于点，交双曲线的两条渐近线于点（在轴左侧）．①是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；②记和的面积分别为，求的取值范围．18．已知F是抛物线的焦点，点M是抛物线上的定点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)直线AB与抛物线C交于不同两点，直线与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．19．已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

第16讲斜率定值问题一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，离心率为22．分别过O，F的两条弦AB，（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．2．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：＋＝1的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．3．已知椭圆C：的离心率为，且过点．Ⅰ

求椭圆C的方程；Ⅱ

若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.4．已知直线l经过椭圆的左焦点和下顶点，坐标原点O到直线l的距离为.（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C经过点，点A，B是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.5．已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不