概率论教学讲解课件

章随机变量的数字特征节数学期望节协方差及相关系数节矩、协方差矩阵章随机变量的数字特征节数学期望节协方差及相关系数节矩、协方差1§4.1数学期望一、数学期望二、随机变量的函数的数学期望三、数学期望的性质§4.1数学期望一、数学期望二、随机变量的函数的数学期望三2

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，3随机变量有关的某些数字特征，虽然不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，在这些数字特征中，最常用的是

1.随机变量的平均取值——数学期望2.随机变量的取值偏离平均值的程度——方差3.描述两个随机变量之间的线性相关程度——协方差与相关系数随机变量有关的某些数字特征，虽然不能完整地描述随机变量但能清4一.数学期望

例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100

人数1691572则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即1.数学期望的概念数学期望——描述随机变量取值的平均特征11/15/20225一.数学期望

例1设某班40名学生的概率统计成绩及得1.离散型随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望6例1

设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律

X10987 Y10987

Pk0.60.10.20.1 Pk0.40.30.10.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？解由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。（环）例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一解7关于定义的几点说明

(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X

取可能值的真正的平均值,也称均值.

(2)级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数中各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X

取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.(3)

数学期望完全由随机变量的概率分布所确定.若服从某一分布也称是这一分布的数学期望.关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变8例2

商店的销售策略例2商店的销售策略9解解10例3

设X~P(),求E(X).解

X的分布律为E(X)=例3设X~P(),求E(X).解X的分布律11例13.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血.方法是，每100个人一组,把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过；如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样.求平均化验次数.解:设Xj为第j组的化验次数，XjPj1101X为1000人的化验次数，则11/15/202212例13.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种（P106例4.5）11/15/202213（P106例4.5）11/10/2022132.连续型随机变量的数学期望

数学期望的本质——

加权平均它是一个数不再是随机变量2.连续型随机变量的数学期望数学期望的本质——加权平均14例5

设X服从指数分布，其概率密度为求例4

设X~U(a,b),求E(X).解X的概率密度为E(X)=例5设X服从指数分布，其概率密度为求例4设X~U(15解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例

顾客平均等待多长时间?

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例顾客平均等待16例5设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk(k=1,2,..,5)均服从同一指数分布，其概率密度为

求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．例5设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk(k=1,2,17

(1)串联时系统寿命，

其分布函数为解

Xk的分布函数为

(1)串联时系统寿命18注意

不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为它的数学期望不存在!注意不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauc19引例：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望Xpk-101Ypk01上式可见即一般的有二、随机变量函数的数学期望引例：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望20(1)X(离散型)的分布律为：

若级数绝对收敛，则

(2)X(连续型)的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则定理1

设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g为连续函数)(1)X(离散型)的分布律为：

若级数21Y=g(X)证

（1）由离散型随机变量的函数的分布，有（2）设X是连续离散型随机变量，Y=g(X)的概率密度为

Y=g(X)证（1）由离散型随机变量的函数的分布，有（2）22例6

设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力W=kV2,(k为常数),求W的数学期望．解

风速V的概率密度为例6设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压23例7

国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a,b)上的均匀分布．设每售出该商品一吨可以为国家创汇s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损l万元，问应组织多少货源才使国家收益的期望值最大？解

设组织货源为t（吨）,由题意收益Y是X的函数：令得:例7国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变24(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为(2)若(X,Y)是连续型，其概率密度为f(x,y)，则定理推广：则定理推广：

设Z=g(X,Y)（g为二元连续函数),(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为(2)若(X,Y25(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为则结论：(2)若(X,Y)是连续型，其概率密度为f(x,y)，则(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为则结论：(2)若26求的数学期望．XY 12 10.4 0.220.30.1解的取值及对应的概率如下表:(X,Y) (1,1)(1,2)(2.1)(2,2) XY21428 X+Y2334

pk0.40.30.20.1 例8设(X,Y)的联合分布律为求27例9

设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图）求X、Y及XY的数学期望012xyG解：由已知得例9设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图）012xyG解：28例12解例12解29因此所求数学期望为因此所求数学期望为30假设以下随机变量的数学期望均存在．

1.E(C)=C,（C是常数）

2.E(CX)=CE(X),（C是常数）

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y),4.设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)三、数学期望的性质[注]

1）性质3.4.可推广到有限个的情况.2）对于性质4来讲反之不成立.假设以下随机变量的数学期望均存在．三、数学期望的性质[注]31证

(仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4)

设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为

fX（x,y），fY（x,y），则又若X与Y相互独立，则证(仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4)

32解:设则解:设则33由题意[注]

这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.称为随机变量的分解法（P114）例10

一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车．假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立．以X表示停车次数，求E(X)．解

引入随机变量则由题意[注]这种引进新的随机变量34解由于X与Y相互独立，则与也相互独立，例11设X,Y相互独立,分别服从参数为,的指数分布试求解由于X与Y相互独立，则与35概率论教学讲解课件36性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立反例1XYpij-101-1010p•jpi•附性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X37XYP-101但XYP-1038作业第113-115第四章习题2；5；7；8；9(1)；11；15作业第113-115第四章习题2；5；7；39章随机变量的数字特征节数学期望节协方差及相关系数节矩、协方差矩阵章随机变量的数字特征节数学期望节协方差及相关系数节矩、协方差40§4.1数学期望一、数学期望二、随机变量的函数的数学期望三、数学期望的性质§4.1数学期望一、数学期望二、随机变量的函数的数学期望三41

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，42随机变量有关的某些数字特征，虽然不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，在这些数字特征中，最常用的是

1.随机变量的平均取值——数学期望2.随机变量的取值偏离平均值的程度——方差3.描述两个随机变量之间的线性相关程度——协方差与相关系数随机变量有关的某些数字特征，虽然不能完整地描述随机变量但能清43一.数学期望

例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100

人数1691572则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即1.数学期望的概念数学期望——描述随机变量取值的平均特征11/15/202244一.数学期望

例1设某班40名学生的概率统计成绩及得1.离散型随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望45例1

设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律

X10987 Y10987

Pk0.60.10.20.1 Pk0.40.30.10.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？解由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。（环）例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一解46关于定义的几点说明

(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X

取可能值的真正的平均值,也称均值.

(2)级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数中各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X

取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.(3)

数学期望完全由随机变量的概率分布所确定.若服从某一分布也称是这一分布的数学期望.关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变47例2

商店的销售策略例2商店的销售策略48解解49例3

设X~P(),求E(X).解

X的分布律为E(X)=例3设X~P(),求E(X).解X的分布律50例13.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血.方法是，每100个人一组,把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过；如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样.求平均化验次数.解:设Xj为第j组的化验次数，XjPj1101X为1000人的化验次数，则11/15/202251例13.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种（P106例4.5）11/15/202252（P106例4.5）11/10/2022132.连续型随机变量的数学期望

数学期望的本质——

加权平均它是一个数不再是随机变量2.连续型随机变量的数学期望数学期望的本质——加权平均53例5

设X服从指数分布，其概率密度为求例4

设X~U(a,b),求E(X).解X的概率密度为E(X)=例5设X服从指数分布，其概率密度为求例4设X~U(54解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例

顾客平均等待多长时间?

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例顾客平均等待55例5设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk(k=1,2,..,5)均服从同一指数分布，其概率密度为

求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．例5设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk(k=1,2,56

(1)串联时系统寿命，

其分布函数为解

Xk的分布函数为

(1)串联时系统寿命57注意

不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为它的数学期望不存在!注意不是所有的随机变量都有数学期望例如：柯西(Cauc58引例：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望Xpk-101Ypk01上式可见即一般的有二、随机变量函数的数学期望引例：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望59(1)X(离散型)的分布律为：

若级数绝对收敛，则

(2)X(连续型)的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则定理1

设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g为连续函数)(1)X(离散型)的分布律为：

若级数60Y=g(X)证

（1）由离散型随机变量的函数的分布，有（2）设X是连续离散型随机变量，Y=g(X)的概率密度为

Y=g(X)证（1）由离散型随机变量的函数的分布，有（2）61例6

设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力W=kV2,(k为常数),求W的数学期望．解

风速V的概率密度为例6设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压62例7

国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a,b)上的均匀分布．设每售出该商品一吨可以为国家创汇s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损l万元，问应组织多少货源才使国家收益的期望值最大？解

设组织货源为t（吨）,由题意收益Y是X的函数：令得:例7国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变63(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为(2)若(X,Y)是连续型，其概率密度为f(x,y)，则定理推广：则定理推广：

设Z=g(X,Y)（g为二元连续函数),(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为(2)若(X,Y64(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为则结论：(2)若(X,Y)是连续型，其概率密度为f(x,y)，则(1)若(X,Y)是离散型，其分布律为则结论：(2)若65求的数学期望．XY 12 10.4 0.220.30.1解的取值及对应的概率如下表:(X,Y) (1,1)(1,2)(2.1)(2,2) XY21428 X+Y2334

pk0.40.30.20.1 例8设(X,Y)的联合分布律为求66例9

设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图）求X、Y及XY的数学期望012xyG解：由已知得例9设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图）012xyG解：67例12解例12解68因此所求数学期望为因此所求数学期望为69假设以下随机变量的数学期望均存在．

1.E(C)=C,（C是常数）

2.E(CX)=CE(X),（C是常数）

3.E(X+Y)=E(X)+E