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文档简介

构造等比数列求通项公式构造等比数列求通项公式讲解当已知数列不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an常见类型有:an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化归为

,当

≠0时,数列

为等比数列,从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题;也可消去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2-a1≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列.构造等比数列求通项公式an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化归为

或将递推关系式两边同除以dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项.an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化归为

,即(2)型.构造等比数列求通项公式例1在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式.解析:解法一:令an+1+k=2(an+k),思路点拨:思路一:引入参数k,使an+1+k=2(an+k),则数列{an+k}为等比数列.即an+1=2an+k,又an+1=2an+1,∴k=1.又a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2×2n-1,即an=2n-1.构造等比数列求通项公式例1在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式.解析:解法二:∵an+1=2an+1,思路点拨:思路二:通过观察递推关系式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项公式.∴an=2an-1+1(n≥2),两式相减得,an+1-an=2(an-an-1)(n≥2).∴{an+1-an}是公比为2的等比数列,其中首项为a2-a1=2a1+1-a1=a1+1=2,∴an+1-an=2×2n-1=2n.∴2an+1-an=2n,∴an=2n-1.构造等比数列求通项公式例2在数列{an}中,已知a1=

,an+1=

,求数列{an}的通项公式.思路点拨:用待定系数法构造等比数列求解.解析:令得根据已知条件得

=1,即A=3,所以构造等比数列求通项公式例2在数列{an}中,已知a1=

,an+1=

,求数列{an}的通项公式.思路点拨:用待定系数法构造等比数列求解.又所以

是首项为

,公比为

的等比数列.所以所以构造等比数列求通项公式方法归纳形如an=pan-1+kqn(n≥2,pqk≠0,p≠1,q≠1)的递推关系式,除利用待定系数法直接化归为等比数列外,也可以两边同除以qn

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