【教学课件】环节一 空间向量的概念和线性运算

空间向量及其运算环节一空间向量的概念和线性运算我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？问题1类比概念追问1平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？平面向量的概念空间向量的概念

平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或|a|.

空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作或|a|.类比概念追问2如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间量的表示吗？平面向量的表示法空间向量的表示法

(1)有向线段(1)有向线段A(起点)B(终点)a(2)字母a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐标表示：a＝(x，y，z)acb印刷体：

a手写体：类比概念追问3从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？类比概念平面向量的相关概念

零向量：单位向量：相等向量：相反向量：共线向量：类比概念平面向量的相关概念空间向量的相关概念

模为0的向量，记作0；零向量的方向任意；模和方向都相同的两个向量，记作a＝b；模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b；零向量：单位向量：相等向量：相反向量：模为1的向量；类比概念平面向量的相关概念空间向量的相关概念

共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．规定，零向量和任意向量共线．共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．

规定，零向量和任意向量共线．类比概念在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算．你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？问题2类比线性运算追问1平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算．先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律．答案类比线性运算追问2

平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？

空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，都可以通过平移使它们的起点重合，从而确定一个平面，即任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．由此，就可以把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算．答案类比线性运算平面向量的线性运算

(1)

加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算．法则：三角形和平行四边形法则；b类比线性运算平面向量的线性运算

(2)数乘运算：

实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0．类比线性运算转化平面向量的线性运算空间向量的线性运算ab.Oα类比线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(1)加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算．法则：三角形和平行四边形法则；(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算．法则：三角形和平行四边形法则；b类比线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算

实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0．(2)数乘运算：

实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa与a的方向相同；

若λ<0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0．(2)数乘运算：类比线性运算追问3平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空向量线性运算的运算律吗？

平面向量的线性运算有交换律、结合律和分配律．可以推广到空间向量的运算．答案类比线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(3)运算律：①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb．类比线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算

(3)运算律：(3)运算律：①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb．①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb．类比线性运算追问4空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？除空间向量加、减法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律的证明．答案类比线性运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算

①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.(3)运算律：(3)运算律：a+(b+c)＝(a+b)

+c

①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb．类比线性运算追问5如何证明空间向量的加法结合律呢？acb可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点重合，从而构成一个平行六面体．我们可以借助这个平行六面体来证明结合律．答案类比线性运算acb在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记则a+(b+c)

＝

(a+b

)

+c＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b

)

+c．a，b，c．追问5如何证明空间向量的加法结合律呢？，，类比线性运算一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量．acb追问5如何证明空间向量的加法结合律呢？类比线性运算平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？问题3线性运算的应用追问1你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？任意两个空间向量都可以通过平移转化成共面向量，因此可以用平面向量共线的充要条件判断两个空间向量是否共线的．答案线性运算的应用追问1你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？平面向量共线的充要条件空间向量共线的充要条件

对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb

.线性运算的应用

如右图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数λ，使得=λa．也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．追问1你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于间向量也成立吗？线性运算的应用追问2任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？

任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面．

ab.Oαcp如何判断三个向量是否共面呢？

线性运算的应用追问3你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ab.Oαpp＝xa+yb线性运算的应用平面向量基本定理

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)

，使得：

p＝xa+yb．线性运算的应用ab.Oαp若p在α内，则有p＝xa+yb；p若p＝xa+yb，则p在α内．追问3你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？线性运算的应用平面向量基本定理

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)

，使得：

p＝xa+yb．

两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：

p＝xa+yb.空间向量共面的充要条件ABC线性运算的应用例1如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面．

问题4线性运算的应用追问1如何证明E

，F

，G

，H四点共面？

可以通过证明这四点构成的三个向量，如共面，来证明这四点共面．追问2

如何证明这三个向量共面