【教学课件】环节一 数学归纳法的原理

数列环节一数学归纳法的原理引入新课证明某类命题多米诺骨牌的全部倒下数学归纳法的原理数学归纳法的应用类比思想数学抽象逻辑推理数学运算研究思路逻辑推理答案：，

，

.问题导入问题1已知数列满足，

，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.猜想通项公式为：（n∈N*）（n∈N*）已知数列满足，

，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.问题导入问题1答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确.如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可拆成两个数的乘积．追问1仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？猜想通项公式为：（n∈N*）（n∈N*）问题导入问题1已知数列满足，

，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证.但当n较大时，验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.追问2该如何证明这个猜想呢？猜想通项公式为：（n∈N*）（n∈N*）类比迁移问题2将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？类比迁移问题2将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？追问1

如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下.类比迁移问题2将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？追问2如果保证了前一块一定能把后一块推倒，那么它们倒了吗？答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒.所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少.可归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下.类比迁移问题2将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？可归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下.追问3

条件（1）与条件（2）有何联系？类比迁移问题2将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？可归纳得出使所有骨牌都倒下的条件有两个：（1）第k块骨牌已倒；（2）从第k块开始，前一块倒下一定能导致后一块倒下.答案：条件（2）中k的最小值就是条件（1）中骨牌倒下的初始值.追问3

条件（1）与条件（2）有何联系？类比迁移问题2将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？追问4多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列的通项公式是

”有相似性吗？由及递推关系由及递推关系……递推关系：命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.如果n=k时猜想成立，那么即当n=k+1时，猜想也成立.即答案：（n∈N*）类比迁移问题2将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？追问4多米诺骨牌游戏与证明猜想“数列的通项公式是

”有相似性吗？答案：骨牌原理猜想的证明步骤（1）第一块骨牌已经倒下（1）证明n=1时，猜想正确（2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的（2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题根据（1）（2），所有骨牌都能倒下根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立（n∈N*）问题解决问题3类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？答案：需要分成两步问题解决问题3类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？追问1

多米诺骨牌游戏的条件（1）是确保第一块已经倒下.那么猜想的证明中第一步应该是什么呢？答案：第一步应该证明猜想在n=1时成立.问题解决问题3类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？追问2骨牌原理的条件（2）是确保“如果第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌也能倒下.”类似的，猜想的证明中就是要证明什么呢？答案：第二步应该证明若n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.如果能证明这一点，那么就可以由“n=1时猜想成立”推出“n=2时猜想成立”，再由“n=2时猜想成立”推出“n=3时猜想成立”，依此类推，就可以使这个猜想成立的范围从1开始，向后一个数接一个数地传递到1以后地每一个数，从而完成证明.抽象概括问题4你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？答案：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；（2）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.抽象概括问题4你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？追问1

所有命题都是从n＝1开始成立吗？答案：证明起点的选择不一定要取1，而是取证明命题成立的最小正整数.如：用数学归纳法证明命题“凸多边形的内角和为(n-2)180。”应从n=3开始验证.抽象概括问题4你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？追问2第二步中的k是怎样的正整数？答案：k应该是大于或等于n0的正整数，

不能把“k≥n0”改成“k＞n0”.抽象概括问题4你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？追问3数学归纳法适用于怎样的数学问题?答案：数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题，可以将这个关于正整数n的命题记为P(n).抽象概括问题4你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？追问4

数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？答案：记P(n)

是一个关于正整数n的命题.条件：（1）P(n0)为真；（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真.P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….归纳奠基归纳递推抽象概括问题4你能从这个具体问题的解决办法中，抽象概括出数学归纳法的一般证明过程吗？追问4

数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？答案：记P(n)

是一个关于正整数n的命题.条件：（1）P(n0)为真；（2）若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真.

结论：P(n)为真.归纳奠基归纳递推课题小结问题5什么是数学归纳法？答案：数学归纳法是用于证明一个与正整数n有关的命题的数学演绎证明方法.课题小结问题5什么是数学归纳法？追问1

数学归纳法中的两个步骤都必要吗？答案：数学归纳法的两个步骤都必要.第一步是命题递推的基础，我们把第一步称为是归纳奠基.第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，我们把第二步称为是归纳递推.“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可.课题小结问题5什么是数学归纳法？追问2为了