【教学课件】同角三角函数的基本关系参考教学课件

同角三角函数的基本关系

新知探究问题1

诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？

借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然而然地，我们还可以研究“终边不同的角的三角函数有什么关系”．新知探究问题2

总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？

解：因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝

；如果α是第三象限角，那么cosα＜0．于是cosα＝

，新知探究例1

已知

，求cosα，tanα的值．从而

；

如果α是第四象限角，那么cosα＞0．于是cosα＝

，从而

．新知探究例1

已知

，求cosα，tanα的值．

追问你能对这种“已知一个三角函数值，求同角的另两个三角函数值”（简称“知一求二”）题型总结出解题步骤吗？解题步骤如下：新知探究第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，确定各三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求解．

证法一：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1＋sinx≠0，于是左边所以，原式成立．＝右边．新知探究例2

求证：

．

证法二：因为（1－sinx）（1＋sinx）＝1－sin2x＝cos2x＝cosxcosx，且1－sinx≠0，cosx≠0，所以

．新知探究例2

求证：

．

（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构图来反映本单元的研究思路及内容？（2）任意角三角函数的现实背景是什么？（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．归纳小结问题3

请大家回顾本单元学习内容，并回答下面问题：

（1）基本脉络是“现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质”；归纳小结（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构图来反映本单元的研究思路及内容？问题3

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单位圆上点的运动规律三角函数的概念三角函数的基本性质三角函数的符号诱导公式一同角三角函数基本关系式归纳小结（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构图来反映本单元的研究思路及内容？问题3

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（2）一些周期现象；归纳小结（2）任意角三角函数的现实背景是什么？问题3

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（3）定义过程包括背景的简化、本质化，借助单位圆进行对应关系的分析，确认弧度制下角的集合R到区间[－1，1]（角的终边与单位圆交点的横、纵坐标的取值范围）的对应关系是函数关系，引进符号sinα，cosα表示函数值，进而引进函数tanα，完善函数的定义域等等．归纳小结（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．问题3

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任意角三角函数与锐角三角函数的区别是：锐角三角函数是用直角三角形边长的比来刻画的，它的引入与“解三角形”有直接关系；而任意角的三角函数是通过角的终边与单位圆的交点坐标或坐标比来定义的，它主要是用来刻画周期变化现象的．归纳小结（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．问题3

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归纳小结（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．问题3

请大家回顾本单元学习内容，并回答下面问题：它们的联系是：当

时，对应的函数值相等．

（4）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，背景下同时得到三个定义，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．归纳小结（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？问题3

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此过程可以培养我们的数学基本思想，积累基本活动经验，提高发现和提出问题的能力．归纳小结（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？问题3

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目标检测因此．已知

，

，求cosα－sinα的值．1解：由已知可知

，

目标检测＝t