世纪数学概观 I汇总课件

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20世纪数学概观I

新世纪的序幕更高的抽象数学的统一化对基础的深入探讨11

20世纪数学概观I新世纪的序幕120世纪纯粹数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。20世纪纯粹数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何220世纪纯粹数学的发展

19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。 20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。20世纪纯粹数学的发展 19世纪数学的变革与积累使数学建立了311.1新世纪数学序幕

1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，这些问题成了新世纪科学前进的杠杠，激发着数学家的激情。一个世纪以来，伴随希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列学科的发展，有些问题的研究还促进了现代计算理论的成长。当然，20世纪的数学发展远远超出了希尔伯特问题的范围。11.1新世纪数学序幕 1900年8月，在巴黎举行的第41120世纪数学概观Ⅰ11.2更高的抽象勒贝格积分与实变函数论泛函分析抽象代数拓扑学公理化概率论1120世纪数学概观Ⅰ11.2更高的抽象511.2更高的抽象

高度抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势与特征之一，这种趋势与特征主要在两大因素的推动下形成的，即集合论的观点和公理化的观点。 集合论由康托尔创立，主要对象是超限数理论。这一理论发展成了20世纪数学的基础。集合概念本身被抽象化，建立了公理化集合论。同时，集合论作为一种普遍的语言深入到数学的每一个角落，初等数学的一些基本概念也集合化了。 公理化方法：现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。他发展了欧氏几何的公理体系，形成了现代公理化方法。现代公理方法有两个本质的飞跃。11.2更高的抽象高度抽象化是20世纪纯粹数学611.2更高的抽象

现代公理化方法重在公理结构而不是对象概念。这样现代公理系统就表现了更大的一般性。当赋予公理关系中以具体对象时，那么公理系统就形成了各种各种特殊的理论。 希尔伯特建立了现代公理方法的基本逻辑要求，即相容性；独立性和完备性。这样的体系就为公理系统结构建立严密的逻辑基础。因此，公理化方法成了现代科学组织理论知识的工具。 集合论和公理化方法在20世纪组建成为数学抽象和科学抽象的范式，它们的相互结合把数学甚至科学引向了高度抽象的道路。 数学高度抽象的发展，形成了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大标志性的学科的形成。这些学科所创造了抽象语言，结构和方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数及概率论等经典学科，推动它们在更抽象的基础上革新演化。11.2更高的抽象 现代公理化方法重在公理结构而不是对711.2更高的抽象11.2.1勒贝格积分与实变函数论

积分学变革是从“病态函数”的积分问题研究开始，创立了勒贝格积分，在此基础上，推广了导数等微积分等基本概念，重建了微积分的基本定理等，逐步形成了实变函数论。实变函数论是普通微积分的推广，它使微积分使用的范围大大扩展，引起数学分析的深刻变化。勒贝格积分看成是现代分析的开端，人们把柯西和黎曼积分称作是经典分析，而前者称为现代分析。11.2更高的抽象11.2.1勒贝格积分与实变函数8实变函数论分析的“分水岭”

1930年尼古丁(波,1887-1974)的抽象测度论勒贝格1902年勒贝格(法,1875-1941)的《积分,长度与面积》建立了测度论和积分论波莱尔1898年波莱尔(法,1871-1956)的测度论1854年黎曼(德,1826-1866)定义了黎曼积分实变函数论分析的“分水岭”勒贝格1902年勒贝格(法,911.2更高的抽象11.2.2泛函分析

在变分法求积分问题一解涉及到“泛函”，即关于函数的函数。泛函的抽象理论在19世纪末20世纪初首先由意大利数学家伏尔泰拉（称“线函数”）和法国数学家阿达马（“泛函”名称即由此得来）在变分法研究中开创。积分方程也是泛函的一个来源。19世纪末瑞典数学家弗雷德霍姆将积分方程看成是线性代数方程组的极限情形。其后，希尔伯特通过严密的极限过程将有限线性代数方程组的结果有效地类比推广到积分方程。这一过程，他创立了希尔伯特空间，是第一个具体的无穷维空间。其后，他的学生施密特和冯.诺伊曼等进一步研究无穷数组集合，并经过几何类比，由内积概念建立了高维空间。后来，匈牙利数学家里斯和德国数学家费舍尔建立了这些空间平方勒贝格可积函数与平方可积数组的等价关系，于是一个平方可积函数就可以看成无穷维空间[L2(a,b)]上的一个点。简单地说，泛函分析就是这种抽象函数空间上的微积分。11.2更高的抽象11.2.2泛函分析10泛函分析创始时期(19世纪80年代至20世纪20年代):1906年弗雷歇(法,1878－1973),1922年列维(法,1886-1971)出版《泛函分析》发展时期(20世纪20至40年代):1932年巴拿赫(波,1892-1945)的《线性算子论》,1940年盖尔范德(苏,1913-,W)的巴拿赫代数理论成熟时期(20世纪40年代起):施瓦兹(法,1915-2002,F)的广义函数理论,格罗登迪克(法,1928-,F)的核空间理论巴拿赫

巴拿赫(波,1892-1945):1910年中学毕业后自修数学,后就读于利沃夫工学院,1917年发表关于傅里叶级数收敛的论文1920年利沃夫工学院助教,取得博士学位1927年利沃夫工学院教授,形成利沃夫学派1929年创办《数学研究》,1932年出版《线性算子论》1936年奥斯陆ICM上作大会报告,1939年波兰数学会主席,1939-1941年利沃夫大学校长德国占领波兰期间,寄生虫饲养员,后得胃癌去逝泛函分析创始时期(19世纪80年代至20世纪20年代):1111.2更高的抽象11.2.3抽象代数

在20世纪公理化方向向各个领域渗透的过程中，抽象代数的形成与发展占有特殊的地位。19世纪，关于群的概念的确立，代数学的对象突破了数的范畴，在群的概念对象发展中，人们构造了各种各样的群，发展了与相关的各种代数系统。后来人们注意到这些代数系统中的具体对象并不重要，重要的是这些元素的运算和所服从的规律。数学家们开始舍弃对象的具体性质，开始从具体的代数系统向抽象代数系统的过渡。 凯莱首先（1849－1854）引进了（有限）抽象群概念；弗罗贝尼乌斯（1849－1917）发展（1895）了群表示论，韦伯（1842－1913）提出（1893）域的抽象理论。20世纪初，享廷顿域狄克森给出了抽象群的公理系统（1902，1905）；斯坦尼兹对抽象域的综合研究（1911），韦德波恩发展了线性结合代数（1907）。11.2更高的抽象11.2.3抽象代数12

20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－1935）及其学派最终确立了公理化方法在代数领域的统治地位。1921年诺特发表《环中的理想论》揭开了现代抽象代数的开端。她用公理化泛函发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础。其后逐步建立非交换代数及其表示理论，1932年与人合作证明的“代数主定理”称为代数发展史上的重大转折。由于她的工作，吸引了世界各地的学者，形成了哥廷根抽象代数学派。因此，哥廷根大学成了20世纪20年代和30年代前期世界抽象代数中心。 抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构由集合以及集合元素之间的二元运算组成。代数结构对现代数学的发展产生了深远影响，在此基础上，法国布尔巴基学派提出了一般的数学结构观点，明确了另外两类结构——“拓扑结构”和“序结构”，并将它们结合代数结构称为“母结构”。结构观点可以说是公理化方法更上一层楼，引起了对数学中更一般的抽象结构的研究。 20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－19313抽象代数希尔伯特(德,1862-1943)的抽象思维及公理方法的产物经典代数学:求解代数方程和代数方程组抽象代数学:公理化方法研究具有代数结构的集合创立者:诺特(德,1882-1935)与阿廷(奥,1898-1962)范•德•瓦尔登(荷,1903-1996)《近世代数学》(1930-1931)基本代数结构群环域抽象代数希尔伯特(德,1862-1943)的抽象思维及公理14抽象代数阿廷范•德•瓦尔登诺特

诺特(德,1882-1935):父亲是埃尔朗根大学数学教授,1902年进入埃尔朗根大学,1903年在哥廷根大学学习,1907年通过博士论文答辩,从事不变量研究1916-1933年在哥廷根大学,开创“近世代数”,1932年苏黎世ICM上作一小时报告1933年9月到美国宾州布林莫尔女子学院“根据现在的权威数学家们的判断,诺特小姐是自妇女开始受到高等教育以来有过的最杰出的富有创造性的数学天才.在最有天赋的数学家辛勤研究了几个世纪的代数学领域中,她发现了一套方法,当前一代年轻数学家的成长已经证明了这套方法的巨大意义.”(爱因斯坦于《纽约时报》)抽象代数阿廷范•德•瓦尔登诺特诺特(德,1882-1931511.2更高的抽象11.2.4拓扑学

拓扑学是研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质。早期的哥尼斯堡七桥问题、地图四色问题都与拓扑学有关，高斯耶研究过与拓扑学有关的问题。“拓扑学”名称则是高斯学生尼斯廷首先引用的。但是，拓扑学本质上是20世纪抽象学科。庞加莱在1895－1905年间发表了一组论文，开创了现代拓扑学研究，他将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片，并用代数组合的方法研究其性质，即形成了组合拓扑学。1926年，诺特注意到群论在组合拓扑学中的重要意义。此后，一系列数学家将组合拓扑学发展成代数拓扑学。从点集概念出发，则建立起的是“点集拓扑学”或“一般拓扑学”。11.2更高的抽象11.2.4拓扑学16拓扑学七桥问题多面体1752年欧拉示性数V-E+F=2李斯廷1847年李斯廷(德,1808-1882)《拓扑学引论》欧拉1736年欧拉(瑞,1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题——形成拓扑学七桥问题多面体1752年欧拉示性数V-E+F=2171736年欧拉(瑞,1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题拓扑学——形成1736年欧拉(瑞,1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问18拓扑学——形成

默比乌斯

1858年默比乌斯(德,1790-1868)带1874年克莱因(德,1849-1925)瓶克莱因

1895年庞加莱(法,1854-1912)发表《位置分析》庞加莱拓扑学——形成默比乌斯1858年默比乌斯(德,17919拓扑学——默比乌斯带拓扑学——默比乌斯带20拓扑学——克莱因瓶拓扑学——克莱因瓶21拓扑学一般拓扑学代数拓扑学微分拓扑学拓扑学——发展豪斯道夫

1914年豪斯道夫(德,1868-1942)《集合论纲要》布劳威尔莱夫谢茨布劳威尔(荷,1881-1966)和莱夫谢茨(俄-美,1884-1972)的不动点定理E嘉当吴文俊拓扑不变量拓扑学一般拓扑学代数拓扑学微分拓扑学拓扑学——发展豪斯道夫2211.2更高的抽象11.2.5公理化概率论

概率论的公理化，是20世纪数学抽象的又一大成果。 概率论起源于15－16世纪关于赌博问题的讨论。到19世纪，在一系列数学家的努力下，概率论积累了大量的概念和定理并系统化，开始从组合技巧向分析方法过渡。19世纪后期，极限理论的发展成了概率论研究的中心课题。19世纪末，人们开始追求概率论的基础。20世纪，在人们对概率论公理化的过程中，揭示了概率论的基本概念于测度论及度量函数基本概念之间的深刻相似性，使数学家们看到了一条建立概率论逻辑基础的正确道路。20年代开始，前苏联数学家科尔莫戈罗夫通过概率论和数学分析之间概念的类比，建立了公理化概率论。从而赋予了概率论以演绎数学的特征。在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。11.2更高的抽象11.2.5公理化概率论23来源概率论1657年惠更斯(荷,1629-1695)在“论赌博中的机会”中提出数学期望

研究随机现象数量规律的数学分支帕斯卡(法,1962)惠更斯(荷兰,1929)赌博问题－－1654年帕斯卡(法,1623-1662)与费马(法,1601-1665)通信讨论“点问题”来源概率论1657年惠更斯(荷,1629-1695)在“论24概率论拉普拉斯(法,1749-1827):1774年提出概率的严格定义,1812年出版《分析概率论》,严格证明了棣莫弗-拉普拉斯积分极限定理(中心极限定理),研究了统计问题雅格布•伯努利:1713年出版《猜度术》,伯努利大数定律棣莫弗(法,1667-1754):1738年出版《机会的学说》,发现二项分布的极限形式为正态分布概率论拉普拉斯(法,1749-1827):1774年25概率论柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(苏,1903-1987)《概率论基本概念》(1933)20世纪40年代后:法国学派、苏联学派、日本学派、美国学派柯尔莫哥洛夫:幼年由姨妈抚育1920年进入莫斯科大学,1922年成为鲁金（苏，1883－1950）的学生,1929年研究生毕业1931年任莫斯科大学教授,1933年任数学所所长,1939年当选苏联科学院院士并任科学院斯捷克洛夫数学所所长,1980年获得沃尔夫奖研究工作几乎遍及一切数学领域,主要有调和分析、概率论、遍历论和动力系统,发表学术论文488篇20世纪苏联最有影响的数学家、20世纪为数极少的几个最有影响的数学家之一

概率论柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(苏,1903-19872611.3数学统一化

数学统一化的趋势是20世纪数学的又一大特征。数学不同领域和分支的方法和思想不断交叉融合，形成了一系列的综合性交叉学科。 1微分突破和代数拓扑 以微分流行为基本对象的拓扑学就是微分拓扑学。 2整体微分几何 整体微分几何以研究微分几何性质于整体性质的联系为目标。陈省身作了奠基性的贡献。整体微分几何表现了与现代分析学更深刻的联系。 3代数几何 用抽象的代数方法在抽象域中建立代数几何理论。 4多复变函数论 多复变函数论是单复变函数论的自然推广。20世纪下半叶，综合运用了拓扑学、微分几何、偏微分方程以及抽象代数领域的概念与方法，多复变函数论取得了长足的进步和突破。以华罗庚为首的中国数学家在此方向作出了自己的特色。11.3数学统一化 数学统一化的趋势是20世纪数学的又2711.3数学统一化5动力系统动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的结合取得了重大进步，借助于计算机又拓展了混沌、分岔、分形理论的研究。6偏微分方程与泛函分析偏微分方程以往主要以幂级数为主要工具。20世纪，借助了泛函分析的观点和方法打开了全新的局面。现代偏微分方程论与拓扑学、微分几何、多复变函数论都有密切的联系。7随机分析概率论与分析、几何等结合。数学是统一的。数学理论越向前发展，就越显示出数学结构的一致性。数学的这种统一性是数学发展的源泉，也是数学与其他学科广泛联系的生命力。11.3数学统一化5动力系统2811.4对基础的深入探讨

数学的严格性是数学家追求的目标，也是人们信服数学真理性的理由。数学基础的严格化是在对数学悖论的探讨中发展起来的。每一次探讨都引起了数学发展的高峰，变革了人们的认识观念。 20世纪的数学基础的研究是在集合论悖论的讨论中发展起来的。 罗素悖论 1901年，罗素提出了一个被称之为“理发师悖论”的集合问题。这一悖论引起了数学的第三次危机。 罗素悖论的两种表述：M是其自身的集合，N表示不是其自身的集合，那么N是属于哪个集合。11.4对基础的深入探讨 数学的严格性是数学家追求的目2911.4对基础的深入探讨

“理发师悖论”：一小岛上的理发师有一个规定：他只给那些不给自己理发的人理发，那么他的发谁理呢。 罗素悖论除了集合概念外不设计任何概念，从而明白无疑地揭示了集合论本身存在矛盾，在数学界引起一片震惊。这类悖论产生的原因罗素认为是一个待定义的对象用了包含该对象在内的一类对象来定义。这样集合论和整个经典分析都包含着悖论。为了消除悖论，人们对集合概念加以公理化，并建立了各种公理系统。 三大学派：对集合论悖论的进一步的尝试，形成了关于数学基础的三大学派，即以罗素为代表的逻辑主义；以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。11.4对基础的深入探讨 “理发师悖论”：一小岛上的理30数理逻辑弗雷格(德,1848-1925)1879年《概念语言》提供数理逻辑的体系,一切数学可以化归为逻辑,成为数理逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人1884年《算术基础》作为逻辑的延展建立数学,从逻辑推出算术由于罗素(英,1872-1970)的工作,弗雷格的工作受到重视逻辑代数施罗德(德,1841-1902)《逻辑代数讲义》(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰施罗德数学基础数理逻辑弗雷格(德,1848-1925)1879年《概31数理逻辑皮亚诺(意,1858-1932)以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面1889年《算术原理新方法》完成了整数的公理化处理,给出了自然数公理1895-1908年5卷本的《数学公式汇编》试图从逻辑记号的若干基本公理出发,建立整个数学体系,希望将数理逻辑的概念应用在数学各分支的所有已知结果上对罗素(英,1872-1970)及布尔巴基学派的工作产生影响数学基础数理逻辑皮亚诺(意,1858-1932)以简明的符号及32数学基础逻辑主义罗素(英,1872-1970)受弗雷格(德,1848-1925)和皮亚诺(意,1858-1932)的影响1903年《数学的原理》,1910－1913年《数学原理》数学就是逻辑1920年来中国讲学一年,1950年获得诺贝尔文学奖

直觉主义布劳威尔(荷,1881-1966)受庞加莱(法,1854-1912)的影响1907年《论数学基础》数学独立于逻辑，数学的基础是“原始知觉”构造主义数学基础逻辑主义罗素(英,1872-1970)直觉主义33数学基础形式主义纲领1900年希尔伯特问题:连续统假设；算术公理的相容性1922年提出希尔伯特纲领:将数学形式化,构成形式系统,通过有限的证明方法,借助超限公理,导出无矛盾的数学系统1928年提出4个实施步骤:希尔伯特(德,1862-1943)分析的无矛盾性选择公理的无矛盾性算术及分析形式的完全性一阶谓词逻辑的完全性数学基础形式主义纲领1900年希尔伯特问题:连续统假设34三大学派逻辑主义直觉主义形式主义罗素(英,1872-1970)布劳威尔(荷,1881-1966)希尔伯特(德,1862-1943)数学基础《数学原理》《论数学基础》《数理逻辑基础》三大学派逻辑主义直觉主义形式主义罗素布劳威尔希尔伯特数学基础351903年罗素悖论.把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．若M是第一类集,则MM,由M的定义,MM,矛盾;若M是第二类集,则MM,由M的定义,MM,矛盾.

数学基础公理集合论康托(德,1845-1918)意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾.1900年巴黎ICM上庞加莱(法,1854-1912)说:绝对的严密性已经达到了.集合论矛盾的出现，形成第三次数学危机，动摇了整个数学的基础,导致了策梅罗系统的诞生.罗素(英,1872-1970)

1903年罗素悖论.把集合分成两类：凡不以自身为元素36策梅罗(德,1871-1953)数学基础公理集合论1963年柯恩(美,1934-2007,F)证明了连续统假设的独立性

哥德尔(奥-美,1906-1978)科恩(美,1934-2007)

公理集合论的主要开创者1904年发表“每一集合都能够被良序地证明”,提出了良序定理,选择公理1908年给出策梅罗系统1921-1923年费兰克尔(德,1891-1965)提出“替换公理”,1925年冯•诺伊曼(匈-美,1903-1957)提出“正则公理”1929-1930年策梅罗确定为“策梅罗-费兰克尔公理系统”(ZF系统,ZFC系统)1938年哥德尔(奥-美,1906-1978)证明了选择公理、连续统假设的相容性策梅罗(德,1871-1953)数学基础公理集合论19637数学基础哥德尔时代哥德尔(奥-美,1906-1978)亚里士多德、莱布尼茨以来最伟大的逻辑学家数学家、哲学家1906－1924年：捷克布尔诺，“为什么先生”1924－1939年：奥地利维也纳，博士，不完备性定理、连续统假设，3次赴美国讲学，维也纳大学无薪讲师；1940－1978年：美国普林斯顿，教授，研究哲学1951年“爱因斯坦勋章”，1975年美国“总统奖”数学基础哥德尔时代哥德尔(奥-美,1906-1978)亚38数学基础爱因斯坦与哥德尔数学基础爱因斯坦与哥德尔3911

20世纪数学概观I

新世纪的序幕更高的抽象数学的统一化对基础的深入探讨11

20世纪数学概观I新世纪的序幕4020世纪纯粹数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。20世纪纯粹数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何4120世纪纯粹数学的发展

19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。 20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。20世纪纯粹数学的发展 19世纪数学的变革与积累使数学建立了4211.1新世纪数学序幕

1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，这些问题成了新世纪科学前进的杠杠，激发着数学家的激情。一个世纪以来，伴随希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列学科的发展，有些问题的研究还促进了现代计算理论的成长。当然，20世纪的数学发展远远超出了希尔伯特问题的范围。11.1新世纪数学序幕 1900年8月，在巴黎举行的第431120世纪数学概观Ⅰ11.2更高的抽象勒贝格积分与实变函数论泛函分析抽象代数拓扑学公理化概率论1120世纪数学概观Ⅰ11.2更高的抽象4411.2更高的抽象

高度抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势与特征之一，这种趋势与特征主要在两大因素的推动下形成的，即集合论的观点和公理化的观点。 集合论由康托尔创立，主要对象是超限数理论。这一理论发展成了20世纪数学的基础。集合概念本身被抽象化，建立了公理化集合论。同时，集合论作为一种普遍的语言深入到数学的每一个角落，初等数学的一些基本概念也集合化了。 公理化方法：现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。他发展了欧氏几何的公理体系，形成了现代公理化方法。现代公理方法有两个本质的飞跃。11.2更高的抽象高度抽象化是20世纪纯粹数学4511.2更高的抽象

现代公理化方法重在公理结构而不是对象概念。这样现代公理系统就表现了更大的一般性。当赋予公理关系中以具体对象时，那么公理系统就形成了各种各种特殊的理论。 希尔伯特建立了现代公理方法的基本逻辑要求，即相容性；独立性和完备性。这样的体系就为公理系统结构建立严密的逻辑基础。因此，公理化方法成了现代科学组织理论知识的工具。 集合论和公理化方法在20世纪组建成为数学抽象和科学抽象的范式，它们的相互结合把数学甚至科学引向了高度抽象的道路。 数学高度抽象的发展，形成了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大标志性的学科的形成。这些学科所创造了抽象语言，结构和方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数及概率论等经典学科，推动它们在更抽象的基础上革新演化。11.2更高的抽象 现代公理化方法重在公理结构而不是对4611.2更高的抽象11.2.1勒贝格积分与实变函数论

积分学变革是从“病态函数”的积分问题研究开始，创立了勒贝格积分，在此基础上，推广了导数等微积分等基本概念，重建了微积分的基本定理等，逐步形成了实变函数论。实变函数论是普通微积分的推广，它使微积分使用的范围大大扩展，引起数学分析的深刻变化。勒贝格积分看成是现代分析的开端，人们把柯西和黎曼积分称作是经典分析，而前者称为现代分析。11.2更高的抽象11.2.1勒贝格积分与实变函数47实变函数论分析的“分水岭”

1930年尼古丁(波,1887-1974)的抽象测度论勒贝格1902年勒贝格(法,1875-1941)的《积分,长度与面积》建立了测度论和积分论波莱尔1898年波莱尔(法,1871-1956)的测度论1854年黎曼(德,1826-1866)定义了黎曼积分实变函数论分析的“分水岭”勒贝格1902年勒贝格(法,4811.2更高的抽象11.2.2泛函分析

在变分法求积分问题一解涉及到“泛函”，即关于函数的函数。泛函的抽象理论在19世纪末20世纪初首先由意大利数学家伏尔泰拉（称“线函数”）和法国数学家阿达马（“泛函”名称即由此得来）在变分法研究中开创。积分方程也是泛函的一个来源。19世纪末瑞典数学家弗雷德霍姆将积分方程看成是线性代数方程组的极限情形。其后，希尔伯特通过严密的极限过程将有限线性代数方程组的结果有效地类比推广到积分方程。这一过程，他创立了希尔伯特空间，是第一个具体的无穷维空间。其后，他的学生施密特和冯.诺伊曼等进一步研究无穷数组集合，并经过几何类比，由内积概念建立了高维空间。后来，匈牙利数学家里斯和德国数学家费舍尔建立了这些空间平方勒贝格可积函数与平方可积数组的等价关系，于是一个平方可积函数就可以看成无穷维空间[L2(a,b)]上的一个点。简单地说，泛函分析就是这种抽象函数空间上的微积分。11.2更高的抽象11.2.2泛函分析49泛函分析创始时期(19世纪80年代至20世纪20年代):1906年弗雷歇(法,1878－1973),1922年列维(法,1886-1971)出版《泛函分析》发展时期(20世纪20至40年代):1932年巴拿赫(波,1892-1945)的《线性算子论》,1940年盖尔范德(苏,1913-,W)的巴拿赫代数理论成熟时期(20世纪40年代起):施瓦兹(法,1915-2002,F)的广义函数理论,格罗登迪克(法,1928-,F)的核空间理论巴拿赫

巴拿赫(波,1892-1945):1910年中学毕业后自修数学,后就读于利沃夫工学院,1917年发表关于傅里叶级数收敛的论文1920年利沃夫工学院助教,取得博士学位1927年利沃夫工学院教授,形成利沃夫学派1929年创办《数学研究》,1932年出版《线性算子论》1936年奥斯陆ICM上作大会报告,1939年波兰数学会主席,1939-1941年利沃夫大学校长德国占领波兰期间,寄生虫饲养员,后得胃癌去逝泛函分析创始时期(19世纪80年代至20世纪20年代):5011.2更高的抽象11.2.3抽象代数

在20世纪公理化方向向各个领域渗透的过程中，抽象代数的形成与发展占有特殊的地位。19世纪，关于群的概念的确立，代数学的对象突破了数的范畴，在群的概念对象发展中，人们构造了各种各样的群，发展了与相关的各种代数系统。后来人们注意到这些代数系统中的具体对象并不重要，重要的是这些元素的运算和所服从的规律。数学家们开始舍弃对象的具体性质，开始从具体的代数系统向抽象代数系统的过渡。 凯莱首先（1849－1854）引进了（有限）抽象群概念；弗罗贝尼乌斯（1849－1917）发展（1895）了群表示论，韦伯（1842－1913）提出（1893）域的抽象理论。20世纪初，享廷顿域狄克森给出了抽象群的公理系统（1902，1905）；斯坦尼兹对抽象域的综合研究（1911），韦德波恩发展了线性结合代数（1907）。11.2更高的抽象11.2.3抽象代数51

20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－1935）及其学派最终确立了公理化方法在代数领域的统治地位。1921年诺特发表《环中的理想论》揭开了现代抽象代数的开端。她用公理化泛函发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础。其后逐步建立非交换代数及其表示理论，1932年与人合作证明的“代数主定理”称为代数发展史上的重大转折。由于她的工作，吸引了世界各地的学者，形成了哥廷根抽象代数学派。因此，哥廷根大学成了20世纪20年代和30年代前期世界抽象代数中心。 抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构由集合以及集合元素之间的二元运算组成。代数结构对现代数学的发展产生了深远影响，在此基础上，法国布尔巴基学派提出了一般的数学结构观点，明确了另外两类结构——“拓扑结构”和“序结构”，并将它们结合代数结构称为“母结构”。结构观点可以说是公理化方法更上一层楼，引起了对数学中更一般的抽象结构的研究。 20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－19352抽象代数希尔伯特(德,1862-1943)的抽象思维及公理方法的产物经典代数学:求解代数方程和代数方程组抽象代数学:公理化方法研究具有代数结构的集合创立者:诺特(德,1882-1935)与阿廷(奥,1898-1962)范•德•瓦尔登(荷,1903-1996)《近世代数学》(1930-1931)基本代数结构群环域抽象代数希尔伯特(德,1862-1943)的抽象思维及公理53抽象代数阿廷范•德•瓦尔登诺特

诺特(德,1882-1935):父亲是埃尔朗根大学数学教授,1902年进入埃尔朗根大学,1903年在哥廷根大学学习,1907年通过博士论文答辩,从事不变量研究1916-1933年在哥廷根大学,开创“近世代数”,1932年苏黎世ICM上作一小时报告1933年9月到美国宾州布林莫尔女子学院“根据现在的权威数学家们的判断,诺特小姐是自妇女开始受到高等教育以来有过的最杰出的富有创造性的数学天才.在最有天赋的数学家辛勤研究了几个世纪的代数学领域中,她发现了一套方法,当前一代年轻数学家的成长已经证明了这套方法的巨大意义.”(爱因斯坦于《纽约时报》)抽象代数阿廷范•德•瓦尔登诺特诺特(德,1882-1935411.2更高的抽象11.2.4拓扑学

拓扑学是研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质。早期的哥尼斯堡七桥问题、地图四色问题都与拓扑学有关，高斯耶研究过与拓扑学有关的问题。“拓扑学”名称则是高斯学生尼斯廷首先引用的。但是，拓扑学本质上是20世纪抽象学科。庞加莱在1895－1905年间发表了一组论文，开创了现代拓扑学研究，他将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片，并用代数组合的方法研究其性质，即形成了组合拓扑学。1926年，诺特注意到群论在组合拓扑学中的重要意义。此后，一系列数学家将组合拓扑学发展成代数拓扑学。从点集概念出发，则建立起的是“点集拓扑学”或“一般拓扑学”。11.2更高的抽象11.2.4拓扑学55拓扑学七桥问题多面体1752年欧拉示性数V-E+F=2李斯廷1847年李斯廷(德,1808-1882)《拓扑学引论》欧拉1736年欧拉(瑞,1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题——形成拓扑学七桥问题多面体1752年欧拉示性数V-E+F=2561736年欧拉(瑞,1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题拓扑学——形成1736年欧拉(瑞,1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问57拓扑学——形成

默比乌斯

1858年默比乌斯(德,1790-1868)带1874年克莱因(德,1849-1925)瓶克莱因

1895年庞加莱(法,1854-1912)发表《位置分析》庞加莱拓扑学——形成默比乌斯1858年默比乌斯(德,17958拓扑学——默比乌斯带拓扑学——默比乌斯带59拓扑学——克莱因瓶拓扑学——克莱因瓶60拓扑学一般拓扑学代数拓扑学微分拓扑学拓扑学——发展豪斯道夫

1914年豪斯道夫(德,1868-1942)《集合论纲要》布劳威尔莱夫谢茨布劳威尔(荷,1881-1966)和莱夫谢茨(俄-美,1884-1972)的不动点定理E嘉当吴文俊拓扑不变量拓扑学一般拓扑学代数拓扑学微分拓扑学拓扑学——发展豪斯道夫6111.2更高的抽象11.2.5公理化概率论

概率论的公理化，是20世纪数学抽象的又一大成果。 概率论起源于15－16世纪关于赌博问题的讨论。到19世纪，在一系列数学家的努力下，概率论积累了大量的概念和定理并系统化，开始从组合技巧向分析方法过渡。19世纪后期，极限理论的发展成了概率论研究的中心课题。19世纪末，人们开始追求概率论的基础。20世纪，在人们对概率论公理化的过程中，揭示了概率论的基本概念于测度论及度量函数基本概念之间的深刻相似性，使数学家们看到了一条建立概率论逻辑基础的正确道路。20年代开始，前苏联数学家科尔莫戈罗夫通过概率论和数学分析之间概念的类比，建立了公理化概率论。从而赋予了概率论以演绎数学的特征。在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。11.2更高的抽象11.2.5公理化概率论62来源概率论1657年惠更斯(荷,1629-1695)在“论赌博中的机会”中提出数学期望

研究随机现象数量规律的数学分支帕斯卡(法,1962)惠更斯(荷兰,1929)赌博问题－－1654年帕斯卡(法,1623-1662)与费马(法,1601-1665)通信讨论“点问题”来源概率论1657年惠更斯(荷,1629-1695)在“论63概率论拉普拉斯(法,1749-1827):1774年提出概率的严格定义,1812年出版《分析概率论》,严格证明了棣莫弗-拉普拉斯积分极限定理(中心极限定理),研究了统计问题雅格布•伯努利:1713年出版《猜度术》,伯努利大数定律棣莫弗(法,1667-1754):1738年出版《机会的学说》,发现二项分布的极限形式为正态分布概率论拉普拉斯(法,1749-1827):1774年64概率论柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(苏,1903-1987)《概率论基本概念》(1933)20世纪40年代后:法国学派、苏联学派、日本学派、美国学派柯尔莫哥洛夫:幼年由姨妈抚育1920年进入莫斯科大学,1922年成为鲁金（苏，1883－1950）的学生,1929年研究生毕业1931年任莫斯科大学教授,1933年任数学所所长,1939年当选苏联科学院院士并任科学院斯捷克洛夫数学所所长,1980年获得沃尔夫奖研究工作几乎遍及一切数学领域,主要有调和分析、概率论、遍历论和动力系统,发表学术论文488篇20世纪苏联最有影响的数学家、20世纪为数极少的几个最有影响的数学家之一

概率论柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫(苏,1903-19876511.3数学统一化

数学统一化的趋势是20世纪数学的又一大特征。数学不同领域和分支的方法和思想不断交叉融合，形成了一系列的综合性交叉学科。 1微分突破和代数拓扑 以微分流行为基本对象的拓扑学就是微分拓扑学。 2整体微分几何 整体微分几何以研究微分几何性质于整体性质的联系为目标。陈省身作了奠基性的贡献。整体微分几何表现了与现代分析学更深刻的联系。 3代数几何 用抽象的代数方法在抽象域中建立代数几何理论。 4多复变函数论 多复变函数论是单复变函数论的自然推广。20世纪下半叶，综合运用了拓扑学、微分几何、偏微分方程以及抽象代数领域的概念与方法，多复变函数论取得了长足的进步和突破。以华罗庚为首的中国数学家在此方向作出了自己的特色。11.3数学统一化 数学统一化的趋势是20世纪数学的又6611.3数学统一化5动力系统动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的结合取得了重大进步，借助于计算机又拓展了混沌、分岔、分形理论的研究。6偏微分方程与泛函分析偏微分方程以往主要以幂级数为主要工具。20世纪，借助了泛函分析的观点和方法打开了全新的局面。现代偏微分方程论与拓扑学、微分几何、多复变函数论都有密切的联系。7随机分析概率论与分析、几何等结合。数学是统一的。数学理论越向前发展，就越显示出数学结构的一致性。数学的这种统一性是数学发展的源泉，也是数学与其他学科广泛联系的生命力。11.3数学统一化5动力系统6711.4对基础的深入探讨

数学的严格性是数学家追求的目标，也是人们信服数学真理性的理由。数学基础的严格化是在对数学悖论的探讨中发展起来的。每一次探讨都引起了数学发展的高峰，变革了人们的认识观念。 20世纪的数学基础的研究是在集合论悖论的讨论中发展起来的。 罗素悖论 1901年，罗素提出了一个被称之为“理发师悖论”的集合问题。这一悖论引起了数学的第三次危机。 罗素悖论的两种表述：M是其自身的集合，N表示不是其自身的集合，那么N是属于哪个集合。11.4对基础的深入探讨 数学的严格性是数学家追求的目6811.4对基础的深入探讨

“理发师悖论”：一小岛上的理发师有一个规定：他只给那些不给自己理发的人理发，那么他的发谁理呢。 罗素悖论除了集合概念外不设计任何概念，从而明白无疑地揭示了集合论本身存在矛盾，在数学界引起一片震惊。这类悖论产生的原因罗素认为是一个待定义的对象用了包含该对象在内的一类对象来定义。这样集合论和整个经典分析都包含着悖论。为了消除悖论，人们对集合概念加以公理化，并建立了各种公理系统。 三大学派：对集合论悖论的进一步的尝试，形成了关于数学基础的三大学派，即以罗素为代表的逻辑主义；以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。11.4对基础的深入探讨 “理发师悖论”：一小岛上的理69数理逻辑弗雷格(德,1848-1925)1879年《概念语言》提供数理逻辑的体系,一切数学可以化归为逻辑,成为数理逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人1884年《算术基础》作为逻辑的延展建立数学,从逻辑推出算术由于罗素(英,1872-1970)的工作,弗雷格的工作受到重视逻辑代数施