高数下册总复习课件

（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（1）（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之（1）（一）（2）设则（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（一）（2）设则（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量（3）曲面在某点处的法线方程的确定要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定（1）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程（3）曲面在某点处的法线方程的确定要点：I：曲面在某点处的法（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：3、典型例题3、典型例题解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（）解：C例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（高数下册总复习课件要点：I、方向导数与梯度的计算II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；例1：设答案：IV：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；（二）隐函数存在定理的应用、方向导数与梯度的计算、复合函数高阶偏导函数的计算、多元函数极值（含条件极值和无条件极值）；

要点：I、方向导数与梯度的计算III：隐函数的偏导数的计算例:(1)函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例1：设例3：设求(2)求函数在点处沿到点的方向上的方向导数例:(1)函数例3：设求解：zxyuxyu例3：设求解：zxyuxyu例4：设答案：例4：设答案：例5：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得例5：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解例6：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得例6：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题1

的所有可能的极值点。问题1：求函数z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（3）条件极值。拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)

为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。

由于d

中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序的交换、二重积分（直角坐标、极坐标）的计算、三重积分（柱面坐标）计算；重点内容（1）二重积分在直角坐标下的计算；三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序的交换、重点内容（答案：例1：计算二重积分答案：答案：例1：计算二重积分答案：三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（2）二重积分中二次积分的交换次序；答案:例2：试证：三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（2）二重积分解积分区域分为两块解积分区域分为两块例2：试证：证明：画出积分区域D

由图可知D

又可以写成X

型区域例2：试证：证明：画出积分区域D由图可知D又可以写成（3）利用极坐标计算二重积分；再根据D

的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。例3:计算由直线y=x

及曲线所围平面区域。（3）利用极坐标计算二重积分；再根据D的极坐标表示，将极（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。例5：计算其中D

由直线y=x,y=1,及x=1所围平面区域（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的解解（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提示：再对用“先二后一”的方法计算，并用对称性给出另外两项的结果。（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐标计算三重积分例8：绕z

轴旋转一周而成曲面与平面z=8所围空间立体例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法（四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、（1）曲线和曲面积分（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.平面曲线积分“封口法”和“挖洞法”。与路径无关在单连通区域G

内（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；3.利用关系式将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或例1：设椭球面

的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对称性例2：设则提示：利用曲线方程及对称性0例3：提示：利用高斯公式及椭球体的体积。例1：设椭球面的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对例4：设f(x)在(0,+)上有连续的导数，L是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A(1,2)到点B(2,8)的直线段，计算（30）例5：计算由抛物面与圆柱面及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标例4：设f(x)在(0,+)上有连续的高数下册总复习课件例6：计算再由坐标原点沿x

轴到B(2,0)。解：其中，L为由点A(1,1)沿曲线到坐标原点，分析：应用格林公式补充：例6：计算再由坐标原点沿x轴到B(2,0)。解五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、幂级数的收敛域，幂级数求和函数，傅里叶级数的收敛定理。（1）数项级数收敛性判别1.正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件几何级数、P

级数和调和级数2.交错级数：莱布尼茨定理3.任意项级数：绝对收敛和条件收敛。五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、（1）数项级数收任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R及收敛区间处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判（3）求幂级数的和函数求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径R及收敛区间处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换（3）求幂级数的和函数求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数s(x)

在收敛域I上可积，并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。（3）求幂级数的和函数性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数s(x)在收敛性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数s(x)

在收敛区间内可导，并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。说明：求和函数一定要先求收敛域。性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数s(x)在收敛典型例题例1：若幂级数在x=-2处收敛，则此幂级数在x=5

处（

）

（A）一定发散。（B）一定条件收敛。（C）一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。

C例2：若幂级数的收敛半径是16，则幂级数的收敛半径是（）4典型例题例1：若幂级数在x=-2处收敛，则此幂级数例3：已知的收敛半径为3，则的收敛区间为（）

例4：级数当（）（A）p>1时条件收敛，（B）0<p

1时绝对收敛，（C）0<p

1时条件收敛，（D）0<p

1时发散。C例3：已知的收敛半径为3，则的收敛区间为（例5：求下列幂级数的和函数答案：答案：例5：求下列幂级数的和函数答案：答案：例5：求下列幂级数的和函数容易求得例5：求下列幂级数的和函数容易求得答案：答案：（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（1）（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之（1）（一）（2）设则（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（一）（2）设则（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量（3）曲面在某点处的法线方程的确定要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定（1）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程（3）曲面在某点处的法线方程的确定要点：I：曲面在某点处的法（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：3、典型例题3、典型例题解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（）解：C例2：设直线L和平面的方程分别为则必有（高数下册总复习课件要点：I、方向导数与梯度的计算II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III：隐函数的偏导数的计算；例1：设答案：IV：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；（二）隐函数存在定理的应用、方向导数与梯度的计算、复合函数高阶偏导函数的计算、多元函数极值（含条件极值和无条件极值）；

要点：I、方向导数与梯度的计算III：隐函数的偏导数的计算例:(1)函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例1：设例3：设求(2)求函数在点处沿到点的方向上的方向导数例:(1)函数例3：设求解：zxyuxyu例3：设求解：zxyuxyu例4：设答案：例4：设答案：例5：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得例5：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解例6：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得例6：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题1

的所有可能的极值点。问题1：求函数z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（3）条件极值。拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)

为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。

由于d

中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序的交换、二重积分（直角坐标、极坐标）的计算、三重积分（柱面坐标）计算；重点内容（1）二重积分在直角坐标下的计算；三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序的交换、重点内容（答案：例1：计算二重积分答案：答案：例1：计算二重积分答案：三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（2）二重积分中二次积分的交换次序；答案:例2：试证：三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（2）二重积分解积分区域分为两块解积分区域分为两块例2：试证：证明：画出积分区域D

由图可知D

又可以写成X

型区域例2：试证：证明：画出积分区域D由图可知D又可以写成（3）利用极坐标计算二重积分；再根据D

的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。例3:计算由直线y=x

及曲线所围平面区域。（3）利用极坐标计算二重积分；再根据D的极坐标表示，将极（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。例5：计算其中D

由直线y=x,y=1,及x=1所围平面区域（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的解解（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提示：再对用“先二后一”的方法计算，并用对称性给出另外两项的结果。（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法（6）利用柱面坐标计算三重积分例8：绕z

轴旋转一周而成曲面与平面z=8所围空间立体例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法（四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、（1）曲线和曲面积分（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.平面曲线积分“封口法”和“挖洞法”。与路径无关在单连通区域G

内（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2.（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；3.利用关系式将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或例1：设椭球面

的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对称性例2：设则提示：利用曲线方程及对称性0例3：提示：利用高斯公式及椭球体的体积。例1：设椭球面的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对例4：设f(x)在(0,+)上有连续的导数，L是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A(1,2)到点B(2,8)的直线段，计算（30）例5：计算由抛物面与圆柱面及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标例4：设f(x)在(0,+)上有连续的高数下册总复习课件例6：计算再由坐标原点沿x

轴到B(2,0)。解：其中，L为由点A(1,1)沿曲线到坐标原点，分析：应用格林公式补充：例6：计算再由坐标原点沿x轴到B(2,0)。解五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、幂级数的收敛域，幂级数求和函数，傅里叶级数的收敛定理。（1）数项级数收敛性判别1.正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件几何级数、P

级数和调和级数2.交错级数：莱布尼茨定理3.任意项级数：绝对收敛和条件收敛。五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、（1）数项级数收任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点