教案材料力学

1材

料

力

学航空航天大学等第十四章静不定结构2简要复习lEI§

13.

8

计算图乘法的条件用图乘法计算积分的图乘法杆件为等截面直杆。积分

M

(x)M

(x)

d

x

M

CEI式中，为M(x)弯矩图的面积；M

C

为M

(x)图中与M

(x)图的形心C对应的纵坐标。第十四章 静不定结构§

14.

1

静不定结构概述新课7§

14.

2

用力法解静不定结构力法与位移法力法

位移法力法解静不定例子静不定次数1次静定基相当系统变形协调条件8

X

1

111

X1位移的表示1

1P

1

X1△1X1的表示在B点沿X1的方向加单位力11对线弹性结构，有:代入变形协调条件，得到:1P

011

X

1

1P

X

1

11

09代入变形协调条件，得到:1P

X

1

11

0

011

X

1

1P

lEIM1

(x)M

(x)

d

x1P这就是求解一次静不定问题的力法正则方程。其中每一项的物理意义是位移。△1P

表示:在X1作用点沿X1方向由于外载荷作用而引起的位移。注意：外载荷中不包括X1。可用

积分表示为:10

011

X

1

1PlEI1P可用

积分表示为:

11

表示:在X1作用点沿X1方向由于X1处的单位载荷引起的位移。△1P

表示:在X1作用点沿X1方向由于外载荷作用而引起的位移。注意：外载荷中不包括X1。M1

(x)M

(x)

d

x11lEIM1

(x)M1

(x)

d

x11

11

表示:在X1作用点沿X1方向由于X1处的单位载荷引起的位移。

可用

积分表示为：对本例l

311

3EI

,

Pa

2(3l

a)6EI1PPa

2用积分法，或图乘法可求出由正则方：

X

1

2l3(3l

a)123

N次力法正则方程先以三次静不定问题为例相当系统

i

0 (i

1,

2,

3)变形协调条件:13变形协调条件:

i

0(i

1,

2,

3)1

11

X1

12

X

2

2

21

X1

22

X

23

31

X1

32

X

2

13

X

3

1P

0

23

X

3

2

P

0

33

X

3

3

P

0同理，对N次静不定问题，有11

X1

12

X

221

X1

22

X

2

1n

Xn

Δ1P

2n

Xn0

Δ2

0n1

1

X

Xn

2

2P

nnXn外载荷外载荷单位载荷次数分解载荷

分别例1已知:求解MP1

qa2219用图乘法求系数外载荷的弯矩图单位载荷的弯矩图aM1M2aaMP1

qa22aM1aM2a11M3互乘MP

1

qa21Ma1P6EI

1

[

1

a

1

qa

2

(

a)]EI

3 2

qa4计算常数项△iP△1P

为MP图与M1图互乘△2P

为MP图与M2图互乘a221MP

1

qa22互乘互乘M2aMP1

qa22互乘互乘113MMP互乘113M自乘1

qa22M2aaM1a自乘M2a11M3自乘M2a自乘互乘aM1a互乘互乘aM1a11M3互乘11M3互乘M2a互乘例2已知:求解PPX1PX1P2PX11

6i1i1PEAN

N

l

i

i

i

计算△1P

2(1

2)Pa

EA11i1i

6计算11EA

i

i

i

N

N

l

4(1

2)aEA代入正则方程，解得:1112X

1P

P由叠加原理，各杆的内力:ii1

iN

P

N

X

N例3已知:求解PABa45°45°A45°45°PBX1ABPCAB1CAB1C代入正则方程，得:1X

14EIP2

2

a38

2EIX

Pa

3

0由叠加原理，可得到弯矩方程(0

/

4)2

21BC段

M

X

M

Pa

sin

CA段M

MP

X1M

Pa

sin(

/

4)

Pa

sin

2

2(

/

4

/

2)§

14.

3

对称及称性质的利用对称结构对称载荷对称载荷称载荷对称载荷44。证明：从对称截面截开即要证明，X3

=0由正则方程11

X1

12

X

221

X1

22

X

2

23

X

3

Δ2

P31

X1

32

X

2

33

X

3

Δ3P

13

X

3

Δ1P

0

0

0用图乘法可证明△3P，31和32

均为零。46称载荷时的特点3

对称结构受结论：对称结构受称载荷作用时，在对称截面上，对称内力（弯矩和轴力）为零。注意：上述结论只对对称截面处成立，对其它截面不成立。称

例1已知:求解

PPN0M0M0N80P49N0M0M0N0PACD又因为结构和载荷关于AB对称所以，C、D截面上的内力也关于AB对称。由Y

020N

PC、D截面上的内力相等。由半圆环关于AB的对称性可取四分之一圆环研究。M0N0DA50由半圆环关于AB的对称性可取四分之一圆环研究。M0N0DAPPADCBa对整体，由变形的对称性可知，A、B、C、D截面的转角为零。所以对四分之一圆环AD，可将A处看作受固定端约束。而将D截面转角为零作为变形协调条件。这样，就简化为一次静不定问题。51X1DA2P这样，就简化为一次静不定问题。记未知约束力偶M0为X1，N0

用P/2代替。求解静不定问题正则方程

02M

Pa

(1

cos

)P11

X

1

1P载荷分解外载荷的弯矩方程DA2P1DAM0N0DA2M

Pa

(1

cos

)P载荷分解外载荷的弯矩方程DA2P1DA单位载荷的弯矩方程

M

1用

积分求

△1P

SEIM

M

P

d

s1P

1

/

2

Pa52(

1)

0

(1

cos)

(1)

a

d

EI

2Pa3

2EI

254X

Pa(

1

1

)12

由叠加原理，AD段的弯矩方程M

MP

X1代入正则方程，解得:求AB两点的相对位移外载荷的弯矩方程2

2

Pa

(1

cos

)

Pa(

1

1

)PPADCBa在A、B两点加一对单位力2

Pa(

1

cos

)55M

MP

X1由叠加原理，AD段的弯矩方程2

2

Pa

(1

cos

)

Pa(

1

1

)11ADCBa在A、B两点加一对单位力单位载荷的弯矩方程只需在上式中，令P

=11

2M

a(

1

cos

))21

cos

Pa(

5611ADCBa

单位载荷的弯矩方程

只需在上式中，令P

=11

2M

a(

1

cos

)用

积分求相对位移01

/

2

4a

d

EIM

M2

/

20EI4Pa31

cos(

)(2

)

d

Pa3