2023学年度教案-等比数列的性质

数学·必修5(人教A版)等比数列的性质►基础达标\r(2)＋1与eq\r(2)－1，两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1\f(1,2)解析：设等比中项为b，则b2＝(eq\r(2)＋1)·(eq\r(2)－1)＝1，∴b＝±1，故选C.答案：C2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是()\f(\r(5),2)B．－eq\f(\r(5),2)\f(1－\r(5),2)\f(－1＋\r(5),2)解析：设其中三项为an，an＋1，an＋2(n∈N*)，公比为q，则有an＝an＋1＋an＋2，即an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0.∴q＝eq\f(－1±\r(5),2).∵各项都为正数，∴q＝eq\f(－1＋\r(5),2).答案：D 3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4A．是公比为q的等比数列B．是公比为q2的等比数列C．是公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列答案：B4．已知等比数列{an0，n＝1,2…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：由a5·a2n－5＝2)得a2n＝22n，an＞0，则 an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝答案：C5．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______．解析：由an＋1＞an⇒a1qn＞a1qn－1.∵a1＜0，∴qn＜qn－1⇒qneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,q)))＜0对任意正整数n都成立．∴q＞0且1－eq\f(1,q)＜0解得：0＜q＜1.答案：0＜q＜1►巩固提高6．等比数列{an}中，an∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2A．10B．20C．36D．128解析：log2a1＋lo＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4答案：B7．若等比数列{an}满足a2a4＝eq\f(1,2)，则a1aeq\o\al(2,3)a5＝________.解析：利用等比数列的性质求解．∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝aeq\o\al(2,3)＝eq\f(1,2)，a1·a5＝aeq\o\al(2,3).∴a1aeq\o\al(2,3)a5＝aeq\o\al(4,3)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析：由a1＝1，an＋1(n≥1)，∴an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，即{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以该数列的通项an＝2n＋1－3.答案：2n＋1－39．设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为2，a1·a2·a3·…·a30＝230，求a3·a6·a9·…·a30的值．解析：解法一：∵a1a30＝a2a29＝a3a28＝…＝aa1a2a3…a30∴(a15a16)15＝230，∴a15a∵a3a30＝a6a27＝a9a24＝a12a21＝∴a3a6a9…a30＝(a15a18)5＝(a15a16q2解法二：设a3a6a9…a30＝∴a1q2·a4q2·a7q2…a28q2＝x.∴a1a4a7…a28＝eq\f(x,220).②同理a2q·a5q·a8q…a29q＝x，∴a2·a5·a8…a29＝eq\f(x,210).③由①×②×③得∴a1a2a3…a30＝eq\f(x,220)·eq\f(x,210)·x＝230，∴x3＝260，∴x＝220，∴a3a6a9…a3010．某厂生产微机季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上2月份比原计划多生产10台，3月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？解析：设原计划第一个月生产a台，公差为d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋d＋102＝aa＋2d＋25，,a＋2d＋25＝\f(1,2)3a＋3d－10))⇒a＝d＋70代入得：d2＋15d－250＝0.∴d＝10或d＝－25(舍去)，∴a＝80.∴实际上三个月产量分别为80台，100台和125台，∴该厂第一季度实际生产微机305台．1．准确掌握等比数列的通项公式与定义，由此得出一些等比数列的性质，掌握推导性质的方法比记忆性质