2023学年度 圆的参数方程教案

圆的参数方程教案2教学目标(1)了解曲线的参数方程的含义，参数方程和普通方程的区别．(2)掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用．会把圆的参数方程与普通方程进行互化．(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法．教学重点和难点重点：圆的参数方程，圆的参数方程与普通方程的互化．利用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．难点：参数方程的理解．点与圆、直线与圆、圆与圆位置的判断．教学过程设计(一)学生阅读课本．(P973．圆的参数方程到P98例6前)．(二)导入新课，设圆O的圆心在原点，半径是r．根据三角函数的定义：P点的横坐标x，纵坐标y都是Q的函数．我们把这个方程叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．如果圆的圆心为O1(a，b)，半径为r，我们可以看成是由圆心在原点O，半径为r的圆按向量V=(a，b)平移而得到．即(x，y)=(rcosθ，rsinθ)＋(a，b)=(a＋rcosθ，b＋rsinθ)这个方程表示圆心在(a，b)点，半径为r的圆．消去参数就得到圆的标准方程．(x－a)2＋(y－b)2=r2．相对于参数方程来说，我们前面学过的方程叫曲线的普通方程．例1如图，已知点P是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A是X轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？[分析]这个问题符合我们前面学过的用“转化法”求轨迹的特征，我们先用“转化法”作一下．然后再考虑其它方法．[解法一]设动点M的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，y′)．则(2x－12)2＋(2y)2=16．(x－6)2＋y2=4．∴M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆．[解法二]P点在圆x2＋y2=16上，P点的坐标为(4cosθ，4sinθ)设动点M(x，y)则由此可知，M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆．显然用参数方程表示出P的坐标，直接把圆的条件用进去，使解法简化．例2经过圆x2＋y2=4上任一点P作X轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．于是Q点的坐标为(2cosθ，0)．(三)新课堂练习．2．课本练习题2．(1)(x－1)2＋(y＋3)2=4，(2)(x－2)2＋(y－2)2=1．(四)教师讲授．我们已经研究了圆的三种形式的方程，现在我们来研究圆与点，圆与直线，圆与圆的位置关系．M3(1，0)与圆C的位置关系．把圆C的参数方程化为普通方程，(x－1)2＋(y－2)2=4．即x2＋y2－2x－4y＋1=0．∴M1在圆C的外部．把M2(2，1)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=－2＜0．∴M2在圆C的内部．把M3(1，0)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=0．∴M3在圆上．小结：由上面我们得出判断一个点在圆内、圆外、圆上的基本方法；即把这点M(x0，y0)代入圆的一般式f(x，y)=0的左边，f(x0，y0)＞0点M(x0，y0)在圆外；f(x0，y0)=0点M(x0，y0)在圆上；f(x0，y0)＜点M(x0，y0)在圆内．同学们想想，这是为什么？经过研究大家发现，(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，(x0－a)2＋(y0－b)2－r2＞0，∴f(x0，y0)＞0．类似地可推出M点在圆上，圆内的情况．问题2．K为怎样的值时，圆(x－1)2＋y2=1与直线y=Kx＋2(1)相切，(2)相交，(3)相离圆(x－1)2＋y2=1的圆心为(1，0)，半径为r=1．有些同学通过交点的个数去判断．Δ=(4K－2)2－16(1＋K2)=(－4)(4K＋3)小结：通过以上研究，给我们提供了判断圆与直线位置关系的两条途径．1．从距离考虑：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d=r，圆与直线相切；d＜r，圆与直线相交；d＞r圆与直线相离．2．从交点考虑：设圆与直线组成方程组，得出一个一元二次方程，其判别式为Δ．Δ=0，圆与直线相切；Δ＞0圆与直线相交；Δ＜0圆与直线相离．这两种办法中，方法1更为普遍．而方法2有时计算量过大，应用起来不方便．问题3．a为何值时，圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0与圆x2＋y2=4(1)外切，(2)内切，(3)相交，(4)外离，(5)内含．根据平面几何中两圆位置关系的研究，我们应从两圆连心线的距离与两圆半径间的关系去判断两圆的位置关系．圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0的圆心(－a，2a)，半径R=3．圆x2＋y2=4的圆心(0