高中数学第三章导数及其应用第15课时导数的运算检测选修1-1

学必求其心得，业必贵于专精第15课时导数的运算（限时：10分钟）1．已知函数f（x）＝xsin错误!，则f′错误!＝( )A．－错误!B．0C．1D。错误!剖析：∵f（x)＝xsin错误!＝xcosx，f′（x)＝cosx－xsinx.f′错误!＝cos错误!－错误!sin错误!＝－错误!。答案：A2．以下结论正确的选项是个数为（）y＝ln2,则y′＝错误!；②y＝错误!,则y′｜x＝3＝－错误!;③y＝2x，则y′＝2xln2;④ylog错误!x，则y′＝－错误!.A．0B．1C．2D．31－2－3剖析：对①，y＝ln2是常数函数，y′＝0，故①错误;对②,y＝x2＝x，y′＝－2x＝－2x3,∴y′|x＝3＝－错误!,故②正确;对③，易知其正确;对④，y＝log错误!x,y′＝错误!＝－错误!，故④正确．答案：D3．曲线y＝ex在点A(0,1）处的切线斜率为（)A．1B．2C．eD.错误!剖析：依照导数的几何意义可得，k＝y′|x＝0＝e0＝1。答案：A4．若曲线运动的物体的位移s与时间t的关系为s＝错误!＋22，则t＝2时的瞬时速度t为__________．剖析：s′＝错误!′＋（2t2）′＝错误!＋4t＝错误!＋4t。t＝2时的瞬时速度为s′|t＝2＝错误!＋8＝8。答案：85．已知函数f(x)＝x,g（x）＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x）与曲线y＝g（x)订交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．剖析：∵f（x）＝错误!，g(x）＝alnx,∴f′(x）＝错误!，g′(x)＝错误!.-1-学必求其心得，业必贵于专精设f(x)，g(x）的交点为(x0，y0），则由已知得错误!解得错误!∴切线斜率k＝f′（x0)＝f′（e2）＝错误!，切点为（e2，e),∴切线方程为y－e＝错误!（x－e2），即x－2ey＋e2＝0。（限时：30分钟)1．以下结论：(cosx）′＝sinx；②错误!′＝cos错误!；③若y＝错误!，则y′＝－错误!；④错误!′错误!。其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3剖析：因为(cosx）′＝－sinx，所以①错误；sin错误!＝错误!,而错误!′＝0，所以②错误；－2－3错误!′＝（－x－错误!）′＝错误!x－错误!＝错误!，所以④正确,应选B.答案:B2．曲线y＝－x3＋3x2在点(1，2)处的切线方程为（)A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x剖析：y′＝－3x2＋6x，k＝－3×12＋6×1＝3，又切线过点(1,2),则切线方程为y－2＝3（x－1)，整理得y＝3x－1。答案：A3．若函数f(x）＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于（)A．－1B．－2C．2D．0剖析:∵f′（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，f′（－1)＝－f′（1）＝－2。答案：B4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f(x）＝2exf′（1)＋3lnx，则f′(1）＝(）A．－3B．2eC.错误!D.错误!-2-学必求其心得，业必贵于专精x剖析：∵f′（1）为常数,∴f′(x）＝2ef′（1)＋错误!，∴f′(1)＝2ef′（1）＋3，∴f′(1）＝错误!.答案：D5．若曲线y＝x－错误!在点(a，a－错误!)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝（)A．64B．32C．16D．8剖析：求导得y′＝－错误!x－错误!（x＞0)，所以曲线y＝x－错误!在点（a，a－错误!)处的切线l的斜率k＝y′｜x＝a＝－错误!a－错误!.1由点斜式得切线l的方程为y－a－2＝－错误!a－错误!(x－a），易求得直线l与x轴、y轴的截距分别为3,3－12a，a2所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝错误!×3a×错误!a－错误!＝错误!a错误!＝18,解得a＝64。答案：A6．已知a为实数,f(x)＝(x2－4）（x－a）,且f′(－1）＝0，则a＝__________。剖析：∵（）＝（2－4)(x－)＝3－2－4＋4，fxxaxaxxa∴f′（x）＝3x2－2ax－4.又∵f′（－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝错误!.答案：错误!7．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行,则x0的值为________．剖析：由已知2x0＝－3x错误!,∴x0＝0或－错误!.答案:0或－错误!8．设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′(x），f2（x)＝f1′(x），，fn＋1(x)＝fn′（x），n∈N,则f2013（x)＝__________。剖析：由已知f1（x）＝cosx,f2（x)＝－sinx，f3(x）＝－cosx,f4（x）＝sinx，f5（x)＝cos，依次类推可得f2013（)＝1（)＝cos.xxfxx答案:cosx9．求以下函数的导数．(1)y＝x2；（2）＝x3x＝错误!。＋log3·e;（3）xyy剖析：（1）y′＝22x＋logxxxx33（2)xxx）′＝3xxy′＝（x3·e)′＝(x3)′·e＋x3·（ex2·e＋x3·e.(3）y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!.-3-学必求其心得，业必贵于专精10．已知曲线方程y＝x2，求过点B(3，5）且与曲线相切的直线方程．剖析:设（0,y0）为切点，则切线斜率k＝′（x0)＝2x0，Pxf故切线方程为y－y0＝2x0(x－x0）,2∵P(x0，y0）在曲线上，∴y0＝x0,∴切线方程为：y－x错误!＝2x0(x－x0），又（3,5)在切线上，将（3,5）代入上式得:5－x错误!＝2x0（3－x0)，解得：x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为（1，1）或（5，25),故所求切线方程为y－1＝2×1×(x－1）或y－25＝2×5×(x－5），即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0。11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切,求a、b、c的值．剖析:因为y＝ax2＋bx＋c过点（1，1)，所以a＋b＋c＝1。y′＝2ax＋b，曲线过点（2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1。又曲线过点（2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－